参考答案：
1．B
【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.
【详解】的斜率为，故倾斜角为.
故选：B
2．D
【分析】关于平面对称，则坐标和坐标不变，坐标变为相反数.
【详解】关于坐标平面的对称点为.
故选：D
3．D
【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】联立两直线方程，即，
由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.
故选：D
4．C
【分析】利用向量基底的定义和共面向量的充要条件逐一判断即可求解.
【详解】因为是空间的一组基底，所以不共面，不共线，
因为，若，则，
显然这样的不存在，所以不共线，
对于A，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故A错误；
对于B，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故B错误；
对于C，因为，若，显然这样的不存在，
所以不能用与表示，不共面，
故能构成基底向量，故C正确；
对于D，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故D错误.
故选：C.
5．C
【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.
【详解】由题意,，，，
所以．
故选：C．
6．A
【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.
【详解】圆的圆心 半径为 ，由得，
设圆心关于直线对称点的坐标为，则
，解得,
所以对称圆的方程为.
故选：A.
7．B
【分析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
即，即
故选：B
8．A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
9．AB
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.
【详解】向量，，则，A正确；
显然，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，即有，D错误.
故选：AB
10．AC
【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.
【详解】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D不正确；
令，得或，弦长为8，故B不正确.
故选：AC
11．AB
【分析】运用圆与直线有关知识逐项分析可以求解.
【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限，得到斜率截距，故点在第二象限，正确；
对于B，由直线整理得，所以无论a取何值点都满足直线方程，正确；
对于C，将方程配方得，表示的图形是一个点，错误；
对于D，斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为，错误；
故选：AB.
12．ACD
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
当为中点时，，
所以,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
因为，所以，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；
若，则，又,
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
因为，所以平面平面，故C正确；
因为，易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
13．
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
14．或
【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.
【详解】由于，所以，
，解得或.
故答案为：或
15．/
【分析】由表示动点与定点之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为，，可得直线的方程为，
又由表示动点与定点之间的距离，
由点到直线的距离公式，可得，
又由，则过点与垂直的直线的斜率为，
此时直线方程为，即，
联立方程组，解得，满足题意，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．/
【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，
设二面角为，则，故二面角的余弦值为；
故答案为：
17．(1)；
(2)或
【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；
（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P，即可求得参数m
【详解】（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，即；
（2）当截距为0时，直线的方程为；
当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为.
综上，直线的方程为或
18．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）通过对变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距，利用弦心距 半径与半弦长的关系计算即得结论
【详解】（1），，
又曲线表示圆，，即，
所以m的取值范围为；
（2）由（1）可知，圆心坐标为，
又直线，圆心到直线的距离，
直线截得的弦长为，，
解得：
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量即可结合点面距离公式求解，或者利用等体积法求解.
【详解】（1）方法一：∵平面，，∴，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系
∵，，∴
平面的一个法向量，
故，∴
又∵平面，∴平面
方法二：（1）取中点，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为四边形是矩形，，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解法一：，，
设面的一个法向量为
，取，则，故
，
解法二：
因为，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为到平面的距离，
所以，
设到平面的距离，取中点为，
则四边形为平行四边形，故,所以平面，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
所以
所以点到平面的距离为
21．(1)16
(2).
【分析】（1）点斜式求出直线方程，得到A、B两点坐标，可计算的面积；
（2）设直线的斜率为，表示出直线方程，得到A、B两点坐标，由求直线l的斜率k的取值范围.
【详解】（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
整理得：，
所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，
故的面积为.
（2）根据题意，直线的斜率存在且，
所以直线的方程为：，
整理得：
所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，
所以，解得 ，
所以的面积，
由于的面积满足，
所以，整理得：，
解不等式得：，
故直线的斜率的取值范围.
22．(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理可得答案；
（2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得．
【详解】（1）取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
，
在中，，
；
（2）因为，，，平面，，
所以平面，过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点．
答案第1页，共2页江津区 2023-2024 学年度高二上数学半期测试卷
一、单选题（每题 5分共 40 分）
1．直线 x 3y 1 0的倾斜角为（ ）
A．0 B．30 C． 45 D．60
2．点 P 1, 2,5 关于坐标平面 xOz的对称点为（ ）
A． -1,-2,-5 B． 1, 2,-5 C． -1,-2,5 D． 1,2,5
3．设直线 l1 : x 3y 7 0与直线 l2 : x y 1 0 的交点为 P，则 P到直线 l : 2x y 1的
距离为（ ）．
1
A． 5 B C 2 5 D 5． ． ．5 5 5
4． a ,b ,c 是空间的一组基底，则可以与向量 p a b,q a 2b构成基底的向量（ ）
A a B C a
． ．b ． c
D． a b
5．已知直线 l1 : 2x 2y 1 0,l2 : 4x ny 3 0 ，l3：mx 6y 1 0，若 l1//l2且 l1 l3 ，则
m n的值为（ ）
A． 10 B．10 C． 2 D．2
6．圆C : (x 1)2 (y 1)2 2 关于直线 l : y x 1对称后的圆的方程为（ ）
A． (x 2)2 y2 2 B． (x 2)2 y2 2
C． x2 (y 2)2 2 D．x 2 (y 2)2 2
7．如图，四棱锥 P OABC的底面是矩形，设OA a，OC b，OP c，E是棱 PC上
一点，且 PE 2EC，则 BE xa yb zc ，则 x y z （ ）
1 5
A．1 B． 1 C． D．
3 3
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABLYYUogCgABBAAAgCQwUgCkOQkAACCKoOwEAIMAABABNABAA=}#}
8．已知点 A(2, 3)，B( 3, 2)．若直线 l :mx y m 1 0与线段 AB相交，则实数m的
取值范围是（ ）
3 3
A． ,
4
[4, ) B． , 4 4
1 , 3C． D． 4,
5 4
二、多选题（每题 5分共 20 分漏选得 2 分错选得 0 分）
9．已知向量a 1,1,1 ，b 1,0,2 ，则下列正确的是（ ）
πA． a b 0,1,3 B． a 3 C． a b 0 D． a,b 4
10．已知圆M 的一般方程为 x2 y2 8x 6y 0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M 的圆心为 4, 3 B．圆M 被 x轴截得的弦长为 10
C．圆M 的半径为 5 D．圆M 被 y轴截得的弦长为 8
11．下列说法正确的有（ ）
A．若直线 y kx b经过第一、二、四象限，则 (k,b)在第二象限
B．直线 y ax 3a 2过定点 (3, 2)
C．方程 x2 y2 2x 1 0 表示的图形是圆
D．斜率为 2，在 y轴截距为 3的直线方程为 y 2x 3
12．如图，在边长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 BB1，B1C1的中
点，G是棱CC1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当G为CC1中点时，直线 AG 平面 A1EF
B．当G为CC1中点时，直线 AG与 EF 所成的角为30
C．若H是棱 AA1上的动点，且C1G AH，则平面 ACD1 平面 B1HG
D．当G在棱CC1上运动时，直线 AG与平面 AA 1D1D所成的角的最大值为 45
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABLYYUogCgABBAAAgCQwUgCkOQkAACCKoOwEAIMAABABNABAA=}#}
三、填空题（每题 5分共 20 分）
13．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
14．已知直线 l1 : 2ax y 1 0与直线 l2 : a 1 x ay 2 0垂直，则实数 a的值
为 ．
15．若 A 4,0 ， B 0,5 ，点 P x, y 2在线段 AB（含端点）上移动，则 x 3 y2 的
最小值为 .
16．在菱形 ABCD中， A 60 ，将 ABD沿对角线 BD折起，若二面角 A BD C为
直二面角，则二面角 A BC D的余弦值为 .
四、解答题（17 题 10 分其余每题 12 分共 70 分）
17．已知直线 l过点 P(2, 2) .
(1)若直线 l与3x y 6 0垂直，求直线 l的一般式方程；
(2)若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的一般式方程.
18．如图在边长是 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为 AB， A1C的中点．
（1）求异面直线 EF与CD1所成角的大小．
（2）证明： EF 平面 A1CD．
19．已知曲线C : x2 y2 2x 4 y m 0和直线 l : x 2y 4 0．
(1)当曲线 C表示圆时，求 m的取值范围；
(2)当曲线 C表示圆时，被直线 l截得的弦长为 2 5，求 m的值．
试卷第 3页，共 4页
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20．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是矩形， AB∥EF， AB 2EF 2，
AE AD 1， EA 平面 ABCD .
(1)若点G是 AC的中点，求证： FG / /平面 AED；
(2)求点D到平面 AFC的距离.
21．直线 l过点 P（3,2）且与 x轴、y轴正半轴分别交于 A、B两点．
(1)若直线 l的斜率为 2，求 AOB的面积；
75
(2)若 AOB的面积 S满足12 S ，求直线 l的斜率 k的取值范围；
4
22．如图甲，在矩形 ABCD中， AB 2AD 2 2 ，E为线段DC的中点，三角形 ADE
沿直线 AE折起，使得DC 6，O点为 AE的中点，连接 DO、OC，如图乙．
(1)求证：DO OC；
π
(2)线段 AB上是否存在一点H，使得平面 ADE与平面DHC所成的角为 ？若不存在，
4
说明理由；若存在，求出H点的位置．
试卷第 4页，共 4页
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答案第 1页，共 1页
{#{QQABLYYUogCgABBAAAgCQwUgCkOQkAACCKoOwEAIMAABABNABAA=}#}
