(共30张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
学习任务 1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象)
2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象)
3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话：
(1)“有之则必然，无之则未必然”；
(2)“无之则必不然，有之则未必然”．
这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容．
知识点 充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p__q p___q
条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件
q不是p的____条件
充分
必要
充分
必要
提醒 对充分、必要条件的理解
(1)前提p q，有方向，条件在前，结论在后．
(2)“ p是q的充分条件” “ q是p的必要条件” “ q的一个充分条件是p” “ p的一个必要条件是q”，这四种表述形式等价．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件． ( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． ( )
(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立． ( )
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． ( )
√
√
×
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 充分条件的判断
类型2 必要条件的判断
类型3 充分条件与必要条件的应用
类型1 充分条件的判断
【例1】 (源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
[解] 因为p q，所以p是q的充分条件．
(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
[解] 因为p q，所以p是q的充分条件．
[解] 因为p q，所以p是q的充分条件．
反思领悟 充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题．
(2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A B，则p是q的充分条件．
[跟进训练]
1．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有( )
A．若x＜1，则x＜2
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1
D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
√
√
√
ABC [由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以本选项不符合题意．故选ABC．]
类型2 必要条件的判断
【例2】 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；
(3)若a是无理数，则a是无限不循环小数；
[解] 因为无理数是无限不循环小数，
所以p q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[解] 若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p q，所以q是p的必要条件．
反思领悟 必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)可利用集合间的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
[跟进训练]
2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
√
√
√
BCD [对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0 a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD．]
类型3 充分条件与必要条件的应用
【例3】 已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围．
思路导引：若P的充分条件为Q判断P与Q的推出关系求实数m的取值范围
[解] 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集．
当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝ ，满足题意，
当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得
解得0＜m＜，
综上，m的取值范围是．
[母题探究]
已知集合P＝{x|－2＜x＜1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围．
[解] 由题意得，P是Q的子集，
则解得－≤m≤0．
反思领悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟进训练]
3．(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
[解] 解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分条件，∴B A．
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝．
所以m＝－或m＝．
(2)已知M＝{x|a－1xa＋1}，N＝{x|－3x8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
[解] 因为N是M的必要条件，
所以M N．
于是从而可得－2≤a≤7．
故a的取值范围为－2≤a≤7．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
1
2
3
4
B [因为p是q的充分条件，所以p q，
所以q是p的必要条件．故选B．]
√
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2 C．4 D．16
1
2
3
4
B [由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．]
√
3．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x2
A [只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3．]
1
2
3
4
√
1
2
3
4
4．用符号“ ”与“ ”填空：
(1)x2＝1____x＝1；(2)a，b都是偶数____a＋b是偶数．
(1) (2) [(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1 x＝1．
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数 a＋b是偶数．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若“p q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
[提示] p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
[提示] 不同．若p是q的充分条件，则p q；若p的充分条件是q，则q p．
3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？
[提示] 定义法和集合关系法．(共37张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
学习任务 1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(数学抽象)
2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(数学运算)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
老赵邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老赵说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老赵愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？
知识点 充要条件
(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为____条件．
p q
q p
充要
充要
提醒 命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p q且q p；
②充分不必要条件，即p q且q p．
③必要不充分条件，即p q且q p．
④既不充分也不必要条件，即p q且q p．
思考 “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
充要条件 设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
充要条件
(2)“x5”是“x3”的_________________．
必要不充分条件 设A＝{x|x5}，B＝{x|x3}，因为A?B，所以“x5”是“x3”的必要不充分条件．
必要不充分条件
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 充分、必要、充要条件的判断
类型2 充要条件的证明
类型3 充要条件的应用
类型1 充分、必要、充要条件的判断
【例1】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
[解] x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b；q：ac＞bc．
[解] 两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
[解] a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．
反思领悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q” 以及“若q，则p” 的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也具有传递性．
[跟进训练]
1．(1)设p：实数a，b满足a>1且b>1；q：实数a，b满足则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
A 因为a>1且b>1，所以 即p q成立；
反之，若a，b满足 如a＝3，b＝，但不满足 a>1且b>1，即q p不成立，
所以p是q的充分不必要条件．故选A．
(2)(多选)(2022·广东揭阳期末)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是( )
A B C D
√
√
BD 由题知，A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；
C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．
类型2 充要条件的证明
【例2】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
注：a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)．
[证明] 先证必要性成立：若a＋b＝1，
则a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝1·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝0．
再证充分性成立：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
由ab≠0, 得a≠0且b≠0．
∴a2－ab＋b2＝＋≠0．
∴只有a＋b－1＝0, 即有a＋b＝1．
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
反思领悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
[跟进训练]
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0．
证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
类型3 充要条件的应用
【例3】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
思路导引：p是q的必要不充分条件{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3．
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0m≤3}．
[母题探究]
本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B．
反思领悟 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
[跟进训练]
3．从①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x≤x≤＋3}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值范围；若a不存在，请说明理由．
已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知，A≠ ，B＝{x|1≤x≤3}．
当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A?B，即或解得2≤a≤3．
所以实数a的取值范围是2≤a≤3．
当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A?B，即或无解．
故不存在a满足题意．
当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A?B，即或该不等式组无解，
故不存在a满足题意．
综上可知，a的取值范围为{a|2≤a≤3}．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．“x∈Q”是“x∈N”的( )
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
1
2
3
4
A [因为x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件，故选A．]
√
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1
2
3
4
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．]
√
3．若“xa”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
B [因为“xa”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．故选B．]
1
2
3
4
√
4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
1
2
3
4
m＝－2 [函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
m＝－2
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分、必要条件间存在怎样的关系？
[提示]
条件p与结论q的关系 结论
p q，且q p p是q的充分不必要条件
q p，且p q p是q的必要不充分条件
p q，且q p，即p q p是q的充要条件
p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件
2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？
[提示] 需要证明充分性和必要性两个方面．
