(共31张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习任务 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模)
2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100．
知识点1 基本事实
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么______ a－b＞0 ______
如果a－b等于0，那么______ a－b＝0 ______
如果a－b是负数，那么______ a－b＜0 ______
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
a＞b
a＞b
a＝b
a＝b
a＜b
a＜b
知识点2 重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当______时，等号成立．
≥
a＝b
1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是( )
A．若a不是负数，则a≥0
B．若x不大于3，则x<3
C．若m与4的差是负数，则m－4<0
D．若x与2的和是非负数，则x＋2>0
AC [x不大于3可表示成x≤3; x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．]
√
√
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
a＝1
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 用不等式(组)表示不等关系
类型2 比较两数(式)的大小
类型3 不等关系的实际应用
类型1 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 (1)某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为( )
A． B．
C． D．0.8×5x＋2×4y≤50
√
A [买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，则价格为(0.8×5x)元．
买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，则价格为(2×4y)元．
∵某同学拿50元钱买纪念邮票，∴0.8×5x＋2×4y≤50．
又知，每种邮票至少买两套，故x≥2，y≥2且x∈N＋，y∈N＋，
综上，有不等式组
故选A．]
(2)京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车的速度为v1，
民航飞机的速度为v2，
普通客车的速度为v3．
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1、v3的关系：v1＞3v3．
反思领悟 利用不等式(组)表示不等关系的注意点
(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示．
(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[跟进训练]
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0
这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
类型2 比较两数(式)的大小
【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1．
[母题探究]
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
反思领悟 比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个代数式作差．
(2)变形：对差进行变形．
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)作出结论．
这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断差的符号→作出结论．
变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化．
[跟进训练]
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋．
∵≥0，∴＋≥＞0．
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．
类型3 不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工包车前往某地参观学习．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受全票价的7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
思路导引：分别建立费用表达式比较两数大小．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx．
因为y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
反思领悟 解决决策优化型应用题，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．
[跟进训练]
3．甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度为；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2(v1≠v2)，平均速度为，则的大小关系为( )
A．＞ B．＜
C．＝ D．无法确定
√
B [第一种方案：设总路程为2s，则＝＝．
第二种方案：设时间为2t，则＝＝，
＝－＝＝＞0，
∴，故选B．]
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
√
1．某路段竖立的“ ”的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )
A．v<60 B．v>60
C．v≤60 D．v≥36
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
1
2
3
4
√
3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A [v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A．]
1
2
3
4
√
4．若实数a>b，则a2－ab______ba－b2．(填“>”或“<”)
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．]
1
2
3
4
>
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示] a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较大小的一般步骤是什么？
[提示] 第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
第四步：下结论．(共28张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时 等式性质与不等式性质
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习任务 1．掌握等式和不等式的基本性质．(数学抽象)
2．运用不等式的性质解决有关问题．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口面积为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0)．
问题：显而易见，如果增加窗口面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加窗口面积为m，其中m>0)
知识点 不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b ______．
(2)传递性：a＞b，b＞c ______．
(3)可加性：a＞b ____________．
(4)可乘性：a＞b，c＞0 _______；a＞b，c＜0 ________．
(5)加法法则：a＞b，c＞d ____________．
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ________．
(7)乘方法则：a＞b＞0 ________________________．
b＜a
a＞c
a＋c＞b＋c
ac＞bc
ac＜bc
a＋c＞b＋d
ac＞bd
an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
提醒 应用不等式应注意：
(1)一定要搞清不等式成立的前提条件；
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 如果a>b，c>d，那么a－c>b－d． ( )
(2)如果a>b，c>d，那么ac>bd． ( )
(3)当x>－3时，一定有<－． ( )
(4)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3． ( )
√
×
×
×
2．设x>1，－1x>－y>y [∵－1－y>y．]
x>－y>y
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 利用不等式性质判断命题真假
类型2 利用不等式性质证明简单不等式
类型3 不等式性质的应用
类型1 利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
√
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0 ＞ ＞，
故B为假命题；
＞，
故C为假命题；
ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有＜，故B错误．
取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错误．]
反思领悟 利用不等式判断正误的两种方法
(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
[跟进训练]
1．(多选)若<0，则下面四个不等式成立的有( )
A．|a|>|b| B．bBCD [∵<0，∴b|a|，a＋b故选BCD．]
√
√
√
类型2 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0．
两边同乘以，得＜．
又e＜0，∴＞．
[母题探究]
本例条件不变的情况下，求证：＞．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，∴＞．
反思领悟 利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，
∴ac>bc．
又∵e>f，
∴e＋ac>f＋bc，
即f－ac类型3 不等式性质的应用
【例3】 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
思路导引：2[解] 因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2．
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2．
又因为＜＜，
所以＜＜，即＜＜2．
反思领悟 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
提醒：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
[跟进训练]
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b．
[解] －1[解] 由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3， ②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．(多选)若a＞b，c＞d，则下列不等关系中一定成立的是( )
A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
1
2
3
4
√
√
√
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
1
2
3
4
D [可利用特殊值排除法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．]
√
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [∵xa2．∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．又ax－a2＝>ax>a2．故选B．]
1
2
3
4
√
4．已知601
2
3
4
{x－y|27{x－y|27由28回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
[提示] 不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
2．对不等式变形时，要注意什么？
[提示] 对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．