(共46张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习任务 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象)
2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算)
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象)
必备知识·情境导学探新知
01
已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0．
问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标．
(2)一元二次方程的根是什么？
(3)问题(1)中的交点横坐标与问题(2)中的根有何内在联系？
(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？
(5)能否利用问题(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？
知识点1 一元二次不等式的概念
定义 只含有一个______，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式
一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数
未知数
2
知识点2 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的______叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
思考 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？
[提示] 不是．是图象与x轴交点的横坐标．
实数x
知识点3 从函数观点看一元二次不等式
Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________ _____________ ___
{x|xx2}
R
Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ __ __
提醒 一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根．
{x|x11．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式． ( )
(2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式． ( )
×
×
2．二次函数y＝x2－5x的图象如图所示．
(1)若y>0，则x满足的条件是___________；
(2)若y≤0，则x满足的条件是___________．
x<0或x>5
0≤x≤5
3．不等式x2＋3x＋6<0的解集为________．
[∵Δ＝9－4×6＝－15<0，
∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为 ．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 一元二次不等式的求解
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
类型3 三个“二次”的关系
类型1 一元二次不等式的求解
【例1】 (源自苏教版教材)解下列不等式：
(1)x2－7x＋12>0；
[解] 方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4．
根据y＝x2－7x＋12的图象(图(1))，可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}．
图(1)
(2)－x2－2x＋3≥0；
[解] 不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．
根据y＝x2＋2x－3的图象(图(2))，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．
(2)
(3)x2－2x＋1<0；
(4)x2－2x＋2>0．
[解] 方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．
根据y＝x2－2x＋1的图象(图(3))，可得原不等式的解集为 ．
[解] 因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．
根据y＝x2－2x＋2的图象(图(4))，可得原不等式的解集为R．
(3)
(4)
发现规律 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)______．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)______．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)______．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
化标准
判别式
求实根
(4)______．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)______．根据图象写出不等式的解集．
画草图
写解集
[跟进训练]
1．解下列不等式：
(1)4x2－20x<－25；
[解] 不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是 ．
(2)(x－3)(x－7)<0；
[解] 由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3(3)－3x2＋5x－4<0；
[解] 不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R．
(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1．
[解] 不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0．
因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是．
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
角度1 对判别式Δ进行讨论
【例2】 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
[解] Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ<0，即－4(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于2(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于2(x＋1)2>0，故x≠－1．
(3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0，∴xx2．
综上，当－4当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
角度2 对根的大小进行讨论
【例3】 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0．讨论a与1的大小．
(1)a＞1时，不等式的解为1＜x＜a；
(2)a＝1时，不等式的解集为空集；
(3)a＜1时，不等式的解为a＜x＜1．
综上可知，a＞1时解集是{x|1＜x＜a}；a＝1时，解集为 ；a＜1时解集为{x|a＜x＜1}．
角度3 对二次项系数进行讨论
【例4】 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
[解] (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－．
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为．
反思领悟 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1．当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．
若<1，即a>1，则若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为．
类型3 三个“二次”的关系
【例5】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2思路导引：
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[母题探究]
本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0，
解得－反思领悟 解决这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决．
不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系．
[跟进训练]
3．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1
2
3
4
A [只有③是一元二次不等式，故选A．]
√
2．(2022·广东广州期末)不等式3x2－x－2≥0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
1
2
3
4
C [3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)≥0，解得x≤－或x≥1．故选C．]
√
3．(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )
A．b＋c＝－1
B．方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1
C．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1}
D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}
1
2
3
4
√
√
√
ABD [方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1，所以－b＝－2＋1＝－1，即b＝1，c＝(－2)×1＝－2，所以b＋c＝－1．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>1}，不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}，所以选项A，B，D正确．故选ABD．]
1
2
3
4
4．若0 [∵01>m，
故原不等式的解集为．]
1
2
3
4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？
[提示] (1)化成标准形式，(2)计算判别式Δ，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集．
2．含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？
[提示] (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0．
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13．由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？
[提示] 由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．(共29张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的应用
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习任务 1．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模)
2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象)
关键能力·合作探究释疑难
01
类型1 解简单的分式不等式
类型2 不等式的恒成立问题
类型3 一元二次不等式的实际应用
类型1 解简单的分式不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)<0；
[解] 原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1故原不等式的解集为．
(2)≥0；
[解] 原不等式可化为≤0，
∴∴
即－故原不等式的解集为．
(3)>1．
[解] 原不等式可化为－1>0，
∴>0，即>0，
则x<－2．
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
反思领悟 简单的分式不等式的解法
[跟进训练]
1．解下列不等式：
(1)≥0；
[解] 不等式≥0可转化成不等式组
解得x≤－1或x>3．
即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)<3．
[解] 不等式<3可改写为－3<0，即<0．
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1所以原不等式的解集为{x|－1类型2 不等式的恒成立问题
【例2】 若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
思路导引：
[解] 当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1．
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得
即－反思领悟 不等式恒成立的情况
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
[跟进训练]
2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解] ①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，
得
解得1类型3 一元二次不等式的实际应用
【例3】 (源自北师大版教材)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策；由政策协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500．
(1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系；
[解] 依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝(x－10)(－10x＋500)(10≤x≤50)．
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
[解] 由每月获得的利润不小于3 000元，得
(x－10)(－10x＋500)≥3 000．
化简，得x2－60x＋800≤0．解得20≤x≤40．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000．
由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}．
反思领悟 利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数．
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)求解所列出的不等式(组)．
(4)结合题目的实际意义确定答案．
[跟进训练]
3．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
[解] 依题意得
y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－6 000x2＋
2 000x＋20 000(0(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] 要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当
即解得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0学习效果·课堂评估夯基础
02
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－11
2
3
4
B [原不等式
∴－1≤x<1．]
√
2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4C．a≤－4或a≥4 D．a<－4或a>4
1
2
3
4
A [依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A．]
√
3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
1
2
3
4
√
C [由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]
4．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是______________．
1
2
3
4
{k|－3{k|－3(2)当k－1≠0时，由题意可知
解得－3综上可知－3回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
2．试简述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件．
[提示]
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0