(共43张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
学习任务 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象)
2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象)
3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
如果将2005年某国创新指数记为100，近些年来该国创新指数的情况如下表所示．
以y表示年度值，i表示该国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
年度 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
某国 创新 指数 148.2 152.6 158.2 171.5 189.5 196.3 212.0 228.3 242.6
知识点 函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数
实数集
任意一个数x
唯一确定
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 ________的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合___________
自变量x
{f (x)|x∈A}
提醒 理解函数的概念抓住以下4点：
(1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)” “y＝h(x)”都可以．
(2)“A，B”是非空的数集，定义域为空集的函数是不存在的．
(3)函数定义中强调 “三性”：任意性、存在性、唯一性．
(4)定义域、值域的结果应该写成集合的形式．
思考 1．在函数的定义中，符号y＝f (x)是表示f 与x的乘积吗？
[提示] y＝f (x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．
思考 2．f (x)与f (a)的区别与联系是什么？
[提示] f (a)表示当x＝a时函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．f (a)是f (x)的一个特殊值．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y． ( )
(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． ( )
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． ( )
×
×
×
×
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 函数关系的判断
类型2 求函数值
类型3 求函数的定义域
类型1 函数关系的判断
【例1】 (1)(2022·四川省德阳市第三中学月考)设集合 M＝，N＝，那么下面的 4 个图形中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
√
A 对图①，由图知：0≤x≤1，不符合函数的定义域，故图①错误；
对图②，由图知：0≤x≤2，0≤y≤2，图象符合函数的定义，故图②正确；
对图③，由图知：0≤y≤3，不符合函数的值域，故图③错误；对图④，不符合函数定义，不是函数图象，故图④错误．故选A．
(2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是( )
A．f ：把x对应到3x＋1
B．g：把x对应到|x|＋1
C．h：把x对应到
D．r：把x对应到
AB A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB．
√
√
反思领悟 判断一个对应关系是否为函数的方法
[跟进训练]
1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝N*，对应法则f ：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
[解] 对于A中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，故不是函数．
(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
[解] 对于A中的元素±1，在f 的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
(3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，对应法则f ：对A中的元素开方与B中的元素对应；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f ：对A中元素求面积与B中元素对应．
[解] 对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系．
[解] 集合A不是数集，故不是函数．
类型2 求函数值
【例2】 (源自湘教版教材)已知定义域为R的函数f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式：
(1)f (2)＋g(3)；
(2)f (a2)－g(a)；
[解] f (2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12；
[解] f (a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1；
(3)f (f (f (0)))．
[解] 因为f (0)＝0＋1＝1，
所以f (f (0))＝f (1)＝1＋1＝2，
从而f (f (f (0)))＝f (2)＝2＋1＝3．
反思领悟 函数求值的方法
(1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝，g(x)＝
(1)求f (3)，f (4)，f (g(3))；
[解] f (3)＝＝－，f (4)＝＝－，
f (g(3))＝f ＝＝
(2)求f (g(x))．
[解] 因为f (x)＝，g(x)＝，
所以f (g(x))＝f ＝＝
类型3 求函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)f (x)＝2＋；
(2)f (x)＝(x－1)0＋；
(3)f (x)＝·；
(4)f (x)＝－
思路导引：从f (x)由几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思考使f (x)有意义的条件，进而进行解答．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f (x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
发现规律 求函数定义域的常用方法
(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母______．
(2)若f (x)是偶次根式，则被开方数____________．
(3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
不为零
大于或等于零
(4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的____．
(5)若f (x)是实际问题的解析式，则应____________，使实际问题有意义．
交集
符合实际问题
[跟进训练]
3．求函数y＝＋的定义域．
[解] 要使函数有意义，只需
即
∴x≤－或2≤x<4，
∴函数的定义域为
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．函数f (x)＝的定义域为( )
A．{x|x≥－3} B．{x|x>－3}
C．{x|x≥－3，且x≠1} D．{x|x>－3，且x≠1}
1
2
3
4
C [要使函数f (x)＝有意义，
则解得x≥－3且x≠1，
所以函数f (x)＝的定义域为{x|x≥－3，且x≠1}．]
√
2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是( )
A B C D
1
2
3
4
ACD [根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选ACD．]
√
√
√
3．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A∈R，B∈R，y＝±
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
B [A错误，显然存在x∈A，对应的y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．]
1
2
3
4
√
4．若f (x)＝，则f (3)＝________，f (f (－2))＝________．
1
2
3
4
－
－ [∵f (x)＝，
∴f (3)＝＝－
∵f (－2)＝＝－，
∴f (f (－2))＝f ＝＝]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？
[提示] (1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
2．f (x)与f (a)相同吗？两者存在怎样的联系？
[提示] f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
3．求函数y＝f (x)的定义域常注意哪些问题？
[提示] (1)分母是否为零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0中x是否为0；(4)实际意义．
阅读材料·拓展数学大视野
04
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
欧拉于1734年首先使用字母f 表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件允许的话，去查阅更多的有关资料吧！(共35张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第2课时 函数的概念(二)
学习任务 1．会判断两个函数是不是同一个函数．(数学抽象)
2．能正确使用区间表示数集．(数学抽象)
3．会求一些简单函数的值域．(直观想象、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
有人将“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为我们这个时代的新四大发明．高铁之所以被称为“高铁”，是因为普快和快速列车的运行速度一般控制在80～120千米/时，特快列车的运行速度控制在120～140千米/时，而高铁的运行速度控制在200～350千米/时．
问题：用集合表示上述三类列车的运行速度的范围稍显麻烦，还有其他表示方法吗？
知识点1 区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ________
{x|a[a，b]
(a，b)
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 ____________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
(－∞，＋∞)
思考 1．(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？
[提示] (1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．
知识点2 同一个函数
如果两个函数的定义域____，并且对应关系________，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
相同
完全一致
思考 2．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一个函数？对应关系和值域相同呢？
[提示] 都不是同一个函数．对于f1(x) ＝x和f2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数；对于f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数．
知识点3 常见函数的值域
(1)一次函数f (x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为__，值域是__．
(2)二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__，
当a>0时，值域为____________，当a<0时，值域为_____________.
(3)反比例函数y＝(a≠0) 的定义域是________, 值域为_________．
R
R
R
{x|x≠0}
{y|y≠0}
1．用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为___________；
(1)[10，100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10，100]，(2)为(1，＋∞)．]
(2){x|x>1}用区间表示为___________．
[10，100]
(1，＋∞)
2．(1)函数f (x)＝x2＋1的值域为_________；
(3)函数y＝的值域为__________．
(2)函数f (x)＝－x2＋1的值域为__________；
[1，＋∞)
(－∞，1]
{y|y≠0}
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 区间的应用
类型2 同一个函数的判断
类型3 求函数的值域
类型1 区间的应用
【例1】 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1[解] (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|－2发现规律 用区间表示数集的关键点
(1)区间左端点值____右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用__括号，不含端点值的一端用__括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用__括号．
小于
中
小
小
[跟进训练]
1．(1)集合{x|0(2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是__________．
(0，1)∪[2，4] {x|0(－3，2) 由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3所以实数a的取值范围是(－3，2)．
(0，1)∪[2，4]
(－3，2)
类型2 同一个函数的判断
【例2】 下列各组函数：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝·，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________．(填序号)
③⑤
③⑤ [①不是同一个函数，定义域不同，
f (x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R．
②不是同一个函数，对应关系不同，f (x)＝，g(x)＝
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，对应关系，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R．
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．]
反思领悟 判断两个函数是否为同一个函数的步骤
[跟进训练]
2．(2022·江苏海安市曲塘中学月考)下列函数：①y＝；②y＝＋＋1；③y＝1(－1≤x≤1)；④y＝x0，其中与函数y＝1是同一个函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
√
A [y＝，定义域为{x|x≠0}，与函数y＝1不是同一个函数；y＝＋＋1满足x≥1且x≤1，则x＝1，与函数y＝1的定义域为R不同，与函数y＝1不是同一个函数；y＝1(－1≤x≤1)与函数y＝1的定义域不同，不是同一个函数；y＝x0定义域为{x|x≠0}，与函数y＝1不是同一个函数．故选A．]
类型3 求函数的值域
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
(3)y＝；
(4)y＝2x－
思路导引：看函数类型―→想函数的图象特征―→求最值．
[解] (1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，
∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，
∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，结合函数y＝2＋的图象可得原函数的值域为
反思领悟 求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
[跟进训练]
3．求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
[解] ∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．
∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3．
∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12，3]．
(2)y＝x＋
[解] 设u＝，则u≥0，
∴x＝．∴y＝＋u＝(u＋1)2．
∵u≥0，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．区间[5，8)表示的集合是( )
A．{x|x≤5或x>8} B．{x|5C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}
1
2
3
4
√
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( )
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
1
2
3
4
A [当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．故选A．]
√
3．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f (x)＝与g(x)＝x
B．f (x)＝x与g(x)＝
C．f (x)＝x0与g(x)＝
D．f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
1
2
3
4
√
√
CD [对于A，f (x)＝＝－x与g(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
对于B，g(x)＝＝|x|与f (x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
对于C，f (x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．
对于D，f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．故选CD．]
1
2
3
4
4．将函数y＝的定义域用区间表示为_________________．
1
2
3
4
(－∞，0)∪(0，1]
(－∞，0)∪(0，1] [由
解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．区间[a，b]中a，b满足什么条件？
[提示] 区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a2．如何判断两个函数是不是同一个函数？
[提示] 判定两个函数是否是同一个函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一个函数．
3．求函数值域的常用方法有哪些？
[提示] (1)观察法；(2)配方法 ；(3)分离常数法；(4)换元法．(共37张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学习任务 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(直观想象、数学运算)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
(1)某高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若该高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如图是某国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)(2)(3)分别是用什么法表示函数的？
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
知识点 函数的表示法
数学表达式
图象
表格
提醒 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示． ( )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示． ( )
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． ( )
×
×
×
2．已知函数f (x)由下表给出，则f (3)＝________．
x 1≤x<2 2 2f (x) 1 2 3
3 [∵当23
3．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其定义域是__________．
[－2，3] [由图象可知f (x)的定义域为[－2，3]．]
[－2，3]
4．若反比例函数f (x)满足f (3)＝－6，则f (x)的解析式为__________.
f (x)＝－
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 函数的三种表示方法
类型2 图象的画法及应用
类型3 函数解析式的求法
类型1 函数的三种表示方法
【例1】 (源自苏教版教材)购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域．
[解] (1)解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}．
(2)列表法：如表所示．
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3)图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示．
反思领悟 函数的三种表示需注意的问题
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f (x)．
[解] 用图象法表示函数y＝f (x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f (x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
类型2 图象的画法及应用
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
[解] 列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
(2)y＝；
[解] 列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[解]列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1，8)．
反思领悟 描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[跟进训练]
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
[解] y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
[解] y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②实线部分．
类型3 函数解析式的求法
角度1 换元法(配凑法)求函数解析式
【例3】 已知f (＋1)＝x－2，求f (x)．
[解] 法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
角度2 用待定系数法求函数解析式
【例4】 已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝16x－25，求f (x)．
[解] 设f (x)＝kx＋b(k≠0)，
则f (f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f (x)＝4x－5或f (x)＝－4x＋．
角度3 方程组法(消元法)求函数解析式
【例5】 已知函数f (x)对于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，求f (x)．
思路导引：欲求f (x)，必须消去已知方程中的f (－x)，不难想到再寻找一个方程，可由x与－x的关系，用－x去替换已知式中的x，便可得另一个方程，然后联立解之．
[解] 由题意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x 代替x可得f (－x)－2f (x)＝1－2x，联立可得消去f (－x)可得f (x)＝x－1．
反思领悟 求函数解析式的4种常用方法
(1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入
f (g(x))，求f (t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)是二次函数，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，
求f (x)的解析式；
[解] 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f (x＋1)＋f (x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝
2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以所以
所以f (x)＝x2－2x－1．
(2)若2f ＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．
[解] f (x)＋2f ＝x，令x＝，得f ＋2f (x)＝．
于是得关于f (x)与f 的方程组
解得f (x)＝－(x≠0)．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．由下表给出函数y＝f (x)，则f (f (1))等于( )
1
2
3
4
B [由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2．故选B．]
√
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2 C．4 D．5
2．已知函数f (x＋1)＝3x＋2，则f (x)的解析式是( )
A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4
1
2
3
4
A [令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．∴f (x)＝3x－1．故选A．]
√
3．f (x)的图象如图所示，则f (x)的定义域为________________，值域为___________．
[－2，4]∪[5，8] [－4，3] [由函数的图象可知，f (x)的定义域为[－2，4]∪[5，8]，f (x)的值域为[－2，3]∪[－4，2.7]，即[－4，3]．]
1
2
3
4
[－2，4]∪[5，8]
[－4，3]
4．已知二次函数f (x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x)的解析式为__________________．
f (x)＝－(x＋2)2＋3 [由题意可设f (x)＝a(x＋2)2＋3，又f (－3)＝2，
∴a(－3＋2)2＋3＝2，
∴a＝－1．
∴f (x)＝－(x＋2)2＋3．]
1
2
3
4
f (x)＝－(x＋2)2＋3
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的常用表示方法有哪三种？
[提示] 列表法、解析法和图象法．
2．函数的图象一定是一条光滑的曲线吗？
[提示] 不一定，函数的图象有可能是一些离散的点．
3．求函数解析式的常用方法有哪些？
[提示] (1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法(或消元法)．(共36张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第2课时 分段函数
学习任务 1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(数学抽象、数学运算)
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(数学建模)
必备知识·情境导学探新知
01
国家电网依据不同的时间段来收取电费：一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些．反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等．这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴．
知识点 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数．
提醒 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成． ( )
(2)分段函数有多个定义域． ( )
(3)分段函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． ( )
(4)函数f (x)＝|x|可以用分段函数表示． ( )
√
×
×
×
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 分段函数的求值问题
类型2 分段函数的图象及应用
类型3 分段函数的实际应用
类型1 分段函数的求值问题
【例1】 已知函数f (x)＝
(1)求f (－5)，f (1)，f ；
[解] 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，
知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (1)＝3×1＋5＝8，f ＝f ＝f ＝3×＋5＝．
(2)若f (a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
[解] 因为a2＋2≥2，
所以f (a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f (a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是．
[母题探究]
1．本例条件不变，若f (a)＝3，求实数a的值．
[解] 当a≤－2时，f (a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2当a≥2时，f (a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．
综上可得，当f (a)＝3时，a的值为－或2．
2．本例条件不变，若f (x)>2x，求x的取值范围．
[解] 当x≤－2时，f (x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x≥2时，f (x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ ．
综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
反思领悟
1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[跟进训练]
1．(多选)(2022·广东石门高级中学月考)已知函数f (x)＝则关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4)
C．f (1)＝3
D．若f (x)＝1，则x的值为±1
√
√
BD [由题意知函数f (x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1类型2 分段函数的图象及应用
【例2】 已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①．
由图①中函数取值的情况，
结合函数φ(x)的定义，
可得函数φ(x)的图象如图②．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
① ②
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
[解] 由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
图②
反思领悟 分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材)设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如当x＝3.14时，[x]＝[3.14]＝3；当x＝－3.14时，[x]＝[－3.14]＝－4．于是，我们把y＝[x]叫做取整函数．请画出取整函数y＝[x]的图象．
[解] 依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z．它的图象如图．
类型3 分段函数的实际应用
【例3】 (源自湘教版教材)某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100 kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费．
(1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式；
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
月份 1 2 3 合计
计费金额/元 114 75 45.6 234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
思路导引：
[解] (1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x；
当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
所以y＝
(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，
说明月用电量不超过100 kW·h；
当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h．
因此用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，
有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h．
因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h．
发现规律 分段函数的建模
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用________模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要______．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的________，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
分段函数
分段画
各分界点
[跟进训练]
3．某市出租车的收费标准如下表：
里程 收费标准
不超过3公里的部分 10元(起步价)
超过3公里但不超过8公里的部分 每公里2元
超过8公里的部分 每公里3元
(1)设里程为x公里时乘车费用为y元，请根据题意完善下列解题过程：
①当0②当3③当x>8时，y＝________．
综上，y关于x的函数关系式是
y＝
[解] 根据收费标准列式，可得：
当0当3当x>8时，y＝10＋(8－3)×2＋3(x－8)＝3x－4，
所以y＝
(2)若计价器中显示的里程数为5公里，问乘客需支付多少费用？
(3)若某乘客支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少公里？
[解] 由(1)知x＝5时，y＝2×5＋4＝14．
[解] 由函数式知x>3时，y随x的增大而增大，而2×8＋4＝20，
所以y＝32时，3x－4＝32，x＝12，即该乘客的乘车里程是12公里．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知函数f (x)＝则f (3)的值是( )
A．1 B．2 C．8 D．9
1
2
3
4
A [f (3)＝3－2＝1．故选A．]
√
2．函数f (x)＝|x－1|的图象是( )
1
2
3
4
B [f (x)＝|x－1|＝故选B．]
√
A B
C D
A．[－5，0]∪[2，6)，[0，5]
B．[－5，6)，[0，＋∞)
C．[－5，0]∪[2，6)，[0，＋∞)
D．[－5，＋∞)，[2，5]
3．函数y＝f (x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f (x)的定义域、值域分别是( )
C [由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5，0]∪[2，6)，值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞)．]
1
2
3
4
√
4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为_______________．
1
2
3
4
f (x)＝ [当0≤x≤1时，设f (x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f (x)＝2x；
当1综上f (x)＝]
f (x)＝
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求分段函数的定义域和值域？
[提示] 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．画分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示] 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心圈还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
3．分段函数求值时应注意哪些问题？
[提示] 分段函数求值时应注意找准自变量所在的区间．