(共32张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习任务 1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．(直观想象)
2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题．(直观想象)
必备知识·情境导学探新知
01
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的____叫做正(余)弦曲线 (0，0)
(π，0)
(2π，0)
(0，1)
(π，－1)
(2π，1)
图象
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展． ( )
(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． ( )
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． ( )
(4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． ( )
(5)将余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移个单位长度即可得到正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象． ( )
×
√
×
×
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 正弦(余弦)函数图象的初步认识
类型2 用“五点法”作三角函数的图象
类型3 正弦(余弦)函数图象的应用
类型1 正弦(余弦)函数图象的初步认识
【例1】 下列叙述中正确的个数是( )
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．故选D．]
√
反思领悟 正、余弦曲线的对称性
函数 对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z
y＝cos x(x∈R) x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1．
[跟进训练]
1．(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是( )
A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin (－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
BCD [由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．]
√
√
√
类型2 用“五点法”作三角函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
[解] ①取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
②描点连线，如图所示．
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[解] ①取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1＋cos x 0 －1 －2 －1 0
②描点连线，如图所示．
反思领悟 作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
[跟进训练]
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
[解] 取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
类型3 正弦(余弦)函数图象的应用
【例3】 利用正弦函数的图象，求满足sin x≥，x∈[0，2π]的x的集合．
思路导引：
[解] 在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象，如图，
由函数的图象知，sin ＝sin ．
根据图象可知，sin x≥的解集为．
[母题探究]
1．在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
[解] 在x∈[0，2π]上的解集为．
所以x∈R时，不等式的解集为
．
2．求不等式cos x≤，x∈R的解集．
[解] 作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．
反思领悟 利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的3个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
[跟进训练]
3．利用正弦曲线，求满足sin x≤的x的集合．
[解] 首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和．
观察图象可知，在[0，2π]上，当x≤，或≤x时，不等式sin x≤成立．
所以sin x≤的解集为
．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．(多选)用“五点法”画y＝3cos x，x∈[0，2π]的图象时，下列是关键点的是( )
A． B． C．(π，0) D．(2π，3)
1
2
3
4
BD [五个关键点依次为(0，3)，，(π，－3)，，(2π，3)．故选BD．]
√
√
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
1
2
3
4
B [根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．]
√
3．函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
B [y＝sin (－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称．故选B．]
1
2
3
4
√
A B
C D
4．不等式cos x0，x∈[0，2π]的解集为___________．
1
2
3
4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．画正(余)弦曲线的五个关键点分别是什么？
[提示] 正弦曲线：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦曲线：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．余弦曲线与正弦曲线的形状完全一样吗？如何通过平移余弦曲线得到正弦曲线？
[提示] 余弦曲线与正弦曲线形状相同；平移方法不唯一，如由y＝cos x的图象向右平移个单位长度可得y＝sin x的图象．(共32张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学习任务 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)
2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
必备知识·情境导学探新知
01
明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1 函数的周期性
(1)周期函数：设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个________T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的____，那么这个最小____就叫做f (x)的最小正周期．
非零常数
f (x＋T)＝f (x)
非零常数T
正数
正数
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 _________________ 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π ___
奇偶性 ______ ______
2kπ(k∈Z且k≠0)
2π
奇函数
偶函数
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sin ＝sin ，则是函数y＝sin x的一个周期． ( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期． ( )
×
×
2．函数y＝sin 的最小正周期为_____，该函数是_____函数(填奇偶性)．
2π 偶 [y＝sin ＝cos x，故此函数的最小正周期为2π且是偶函数．]
2π
偶
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 三角函数的周期
类型2 三角函数奇偶性的判断
类型3 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
类型1 三角函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：(1)f (x)＝cos ；
[解] 法一(定义法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)，即f (x＋π)＝f (x)，
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵y＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
【例1】 求下列函数的周期：(2)f (x)＝|sin x|．
[解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期为π．
法二(图象法)：
作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π．
反思领悟 求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
(2)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
[解] 因为7sin (x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π．
(2)y＝sin 2x，x∈R；
[解] 因为sin 2(x＋π)＝sin (2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π．
1．求下列函数的最小正周期：
(3)y＝|cos x|，x∈R．
[解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
类型2 三角函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
[解] 显然x∈R，f (x)＝cos ，
∵f (－x)＝cos ＝cos ＝f (x)，
∴f (x)是偶函数．
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(2)f (x)＝＋；
[解] 由得cos x＝，
∴f (0)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f (x)既是奇函数又是偶函数．
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(3)f (x)＝．
[解] ∵1＋sin x≠0，
∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
反思领悟
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
[跟进训练]
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；(2)f (x)＝cos sin ．
[解] (1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．
(2)f (x)的定义域为R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．
类型3 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
D y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．故选D．
√
(2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f 等于( )
A．－ B． C．－ D．
D f ＝f ＝f
＝f ＝f ＝f ＝sin ．
√
[母题探究]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解] f ＝f ＝f
＝－f ＝－sin ＝－．
反思领悟 与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[跟进训练]
3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是( )
A B
C D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
√
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 023)＝________．
3 ∵f (x)为周期是3的偶函数，
∴f (2 023)＝f (3×674＋1)＝f (1)＝f (－1)＝3．
3
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．函数y＝sin 的最小正周期为( )
A．π B．2π C．4π D．
1
2
3
4
C [T＝＝4π．故选C．]
√
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
1
2
3
4
A [f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]
√
3．函数f (x)＝7sin 是( )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
A [∵f (x)＝7cos x，∴T＝3π，为偶函数．故选A．]
1
2
3
4
√
4．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则
f (5)＝________．
－3 [由已知得f (x＋3)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f (5)＝f (2)＝
f (－1)＝－f (1)＝－3．]
1
2
3
4
－3
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
[提示] 不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示] 函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(共34张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性与最值
学习任务 1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算)
2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该工具包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)几个循环路径．正弦曲线、余弦曲线也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它们的哪些性质？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
解析式 y＝sin x y＝cos x
值域 __________ __________
单调性 在_______________________上单调递增，
在_______________________上单调递减
[－1，1]
[－1，1]
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
解析式 y＝sin x y＝cos x
最值 x＝_____________时，ymax＝1； x＝_______________ 时，ymin＝－1 x＝__________时，ymax＝1；x＝______________时，ymin＝－1
＋2kπ，k∈Z
－＋2kπ，k∈Z
2kπ，k∈Z
π＋2kπ，k∈Z
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数． ( )
(2)存在x∈R满足cos x＝1.2． ( )
(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0． ( )
(4)函数y＝sin x的增区间恰好是y＝sin (－x)的减区间． ( )
×
×
√
√
2．函数y＝－2cos x的最大值为____，此时x＝_______________．
2 π＋2kπ，k∈Z [当x＝π＋2kπ，k∈Z时y＝－2cos x取得最大值2．]
3．函数y＝sin x的图象的对称轴方程为________________，对称中心为________________．
2
π＋2kπ，k∈Z
x＝＋kπ，k∈Z
(kπ，0)，k∈Z
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 求正弦函数、余弦函数的单调区间
类型2 利用三角函数的单调性比较大小
类型3 正弦函数、余弦函数的最值问题
类型1 求正弦函数、余弦函数的单调区间
【例1】 求函数y＝2sin 的单调区间．
[解] 令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin 也单调递增．
由z∈(k∈Z)，得x－∈(k∈Z)，即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
[母题探究]
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
[解] 由例题知f (x)＝2sin 的单调递增区间为k∈Z．
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
∴函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解] y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z．
反思领悟 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)求函数y＝cos 的单调递增区间．
[解] cos ＝cos ．
令z＝2x－，函数y＝cos z的单调递增区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z．
由π＋2kπ≤2x－≤2π＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
因此，函数y＝cos 的单调递增区间是，k∈Z．
类型2 利用三角函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin ；
[解] ∵－＜－＜－，且y＝sin x在上是单调递增的，
∴sin ＞sin ．
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(2)sin 196°与cos 156°；
[解] sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°．
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(3)cos 与cos ．
[解] cos ＝cos π＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π＝cos ＝cos ．
∵0＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是单调递减的，
∴cos π＜cos ，即cos ＜cos ．
反思领悟 三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
[跟进训练]
2．比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；
[解] cos ＝cos ，cos ＝cos ，因为0＜＜π，
而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ＞cos ，即cos ＞cos ．
2．比较下列各组数的大小：
(2)cos 1，sin 1．
[解] 因为cos 1＝sin ，
而0＜－1＜1＜，且y＝sin x在上单调递增，所以sin ＜sin 1，即cos 1＜sin 1．
类型3 正弦函数、余弦函数的最值问题
角度1 正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例3】 求函数y＝2cos ，x∈的值域．
[解] ∵－x，∴02x＋，
∴－cos 1，
∴函数y＝2cos ，x∈的值域为(－1，2)．
角度2 二次函数型三角函数最值(值域)问题
【例4】 求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
思路导引：
[解] y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx
＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sin x－2)2＋5．
所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4．
所以ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是．
发现规律 三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的______，注意对______的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得________的范围，然后求得_________________________的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝______，转化为二次函数y＝___________求最值，t的范围需要根据______来确定．
有界性
a正负
ωx＋φ
sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))
sin x
at2＋bt＋c
定义域
[跟进训练]
3．求函数y＝cos2x－sinx，x∈的最值．
[解] y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－＋．
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
1
2
3
4
D [对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．]
√
2．y＝2cos x的值域是( )
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[－2，0] D．R
1
2
3
4
A [因为x∈R，所以y＝2cos x∈[－2，2]．故选A．]
√
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
1
2
3
4
＞
＞ [sin ＝sin ＝sin ，
因为0＜，y＝sin x在上是单调递增函数，所以sin ＜sin ，即sin ＞sin ．]
4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间为_______________________．
1
2
3
4
(k∈Z)
(k∈Z) [求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数y＝1－sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示] 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
[提示] 比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示] 单调性法、配方法或换元法等．(共36张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
学习任务 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)
2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
类比借助单位圆绘制函数y＝sin x图象的方法，先画出y＝tan x的图象，进而借助图象分析函数性质，这就是本节课的知识，让我们来一起学习．
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域 _________________________________
解析式 y＝tan x
值域 ___
周期 ___
奇偶性 ______
对称中心 ______________
单调性 在每一个区间___________________上都单调递增
R
π
奇函数
，k∈Z
，k∈Z
思考 正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？
[提示] 不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R． ( )
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． ( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． ( )
√
×
×
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 正切函数的图象
类型2 正切函数的周期性、奇偶性与对称性
类型3 正切函数的单调性
类型1 正切函数的图象
【例1】 函数y＝tan 在一个周期内的图象是( )
√
A B C D
A [法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
法二：当x＝时，tan ＝0，排除C、D．
当x＝时，tan ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
反思领悟 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[跟进训练]
1．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③
√
D y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D．
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－
AD 令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，∴直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan 的图象不相交，令k＝－1，得x＝－，令k＝0，得x＝．
√
√
类型2 正切函数的周期性、奇偶性与对称性
【例2】 (1)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
√
A 由题意可知，自变量x的取值范围为．
又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故选A．
(2)y＝tan 的最小正周期为__；对称中心为_____________
________．
(k∈Z)
(k∈Z) T＝，令2x＋(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)．
所以对称中心为(k∈Z)．
反思领悟 与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[跟进训练]
2．(1)函数y＝tan 的一个对称中心是( )
A．(0，0) B． C． D．(π，0)
C 令x＋，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z．令k＝2，可得函数的一个对称中心为．
√
(2)函数f (x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
D f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)为偶函数，T＝．故选D．
√
类型3 正切函数的单调性
角度1 比较大小
【例3】 (源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
[解] 由于 －－π－3.1－3－π，
且函数y＝tan x 在区间上单调递增，
因此tan (－3.1)tan (－3)．
【例3】 (源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(2)tan ，tan ．
[解] 由于－＋π＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan tan ．
角度2 求正切函数的单调区间
【例4】 求函数y＝3tan 的单调区间．
[解] y＝3tan ＝－3tan ，
由－＋kπ＜2x－＋kπ，k∈Z得，
－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以y＝3tan 的单调递减区间为，k∈Z．
反思领悟
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπωx＋φ＋kπ，k∈Z即可；当ω0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[跟进训练]
3．(1)函数y＝tan 的单调递增区间为___________________．
，k∈Z
，k∈Z 由kπ－x－kπ＋，k∈Z，得kπ－xkπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；②tan π________tan ．
>
>
①> ②> ①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在上单调递增，所以tan 220°>tan 200°．
②tan π＝tan ＝tan ，tan ＝tan ＝tan ，
因为－，
y＝tan x在上单调递增，所以tan ，
即tan π>tan ．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．函数y＝2tan 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
1
2
3
4
B [T＝．故选B．]
√
2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的定义域是
C．f (x)在上单调递增
D．y＝f (x)的图象的对称中心是，k∈Z
1
2
3
4
√
√
√
ACD [f (x)的定义域为，B错误；f (－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f (x)，∴f (x)是奇函数，A正确；令－＋kπ2x＋kπ，k∈Z，则－＋x＋，k∈Z，故f (x)在上单调递增，C正确；令2x＝，k∈Z，则x＝，k∈Z，故y＝f (x)的图象的对称中心是，k∈Z，D正确．故选ACD．]
1
2
3
4
3．不等式tan x≥1的解集为_______________________________．
1
2
3
4
[因为tan x≥1＝tan ，
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z．]
4．比较大小：tan ________tan ．
1
2
3
4
[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0，y＝tan x在上单调递增，
所以tan tan ，即tan tan ．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
定义域 R
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
值域 R [－1，1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个
