唐山市十县一中联盟2023-2024学年度第一学期期中考试
高二数学答案
本试卷共4页，22题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】由直线一般式方程得到直线的斜率，再由求解倾斜角.
【详解】直线的斜率
，
∴.
故选：C
【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.
2. 向量，若与垂直，则的值为（）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直，数量积为0即可求得.
【详解】因为与垂直，所以，即，解得.
故选：C
3. 直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得求所围成三角形的面积.
【详解】令，则；令，则；
所以两坐标轴所围成三角形的面积为.
故选：D
4. 在四面体中，，为重心，点在线段上，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】为的重心，则为中线三等分点，在用向量的加法法则表示即可.
【详解】因为为的重心，所以为的三等分点，,
==.
故选：A
5. 若点在圆上，则直线与圆的位置关系是（）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用点线距离公式求圆心与直线的距离，结合半径长即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由圆圆心为，半径为2，
所以到直线的距离，
又在圆上，则，故，
所以直线与圆相切.
故选：B
6. 已知圆：与圆：外离，则的取值范围（）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆的方程得到两圆的圆心和半径，根据两圆的位置关系为外离得到圆心距大于半径之和，进而列出不等式可得.
【详解】圆：，圆心坐标为，半径为
圆：即，
则，圆心坐标为，半径为，
因圆与圆外离，所以圆心距大于半径之和，即，
得，
故选：D
7. 在空间四边形中，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解.
【详解】在四面体中，因为，
设，且，，
则，
在上的投影向量为.
故选：B
8. 已知，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.
【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方，
易知圆心，半径，点C到直线的距离，则.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，分别为的中点，则下列说法不正确的是（）
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正方体的性质，结合线面垂直、平行的判定及平面的基本性质判断各项的正误即可.
【详解】由题设，，则，
由面，面，则，
又，面，故面，
面，故平面平面，A对；
由面，面，则，又，
，面，则面，
面，则面面，
根据平面的基本性质知：与在面内必有交点，与在面内必有交点，
所以面与面必有交线，故平面平面不成立，B错；
由面即为面，故平面与平面有交线，C错；
由，面，面，则面，
同理可证面，而，面，
所以面面，而面与面相交，故平面平面不成立，D错.
故选：BCD
10. 已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（）
A. 直线恒过定点
B. 当时，最长
C. 当时，弦最短
D. 最短弦长
【答案】AC
【解析】
【分析】由直线方程求定点可判定A，由弦长公式可判定B、C、D.
【详解】直线方程可化为，当，
故直线恒过定点，A正确；
易知圆心，半径，
显然当直线过圆心时，最长，则，
故B错误；
当时，此时弦最短，即，
故C正确；
当时，则弦长，故D错误.
故选：AC
11. 在正四棱台中，，点分别在直线与上，则（）
A. 该四棱台的体积为
B. 该四棱台外接球的表面积为
C. 线段长度的最小值为
D. 点到平面的距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，得到正四棱台的高，得到体积；B选项，作出辅助线，找到球心的位置，利用勾股定理得到方程，求出外接球的半径，得到表面积；C选项，作出辅助线，得到线段长度取最小值时的位置，求出最小值；D选项，利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】A选项，过点分别作⊥，⊥于点，
因，所以，
因为，所以，
过点分别作⊥平面于点，⊥平面于点，
由对称性可知，，
由勾股定理得，
故该四棱台的体积为，A错误；
B选项，连接相交于点，连接相交于点，
连接，则四棱台外接球的球心在直线上，
连接，则，
因为，所以，
由A选项知，，设，则，
由勾股定理得，即，
解得，故，
故该四棱台外接球的表面积为，B正确；
C选项，过点作⊥平面于点，则在线段上，连接，
则，
由几何关系知，当与点重合，且三点共线时，取得最小值，
最小值为1，故的最小值为，C错误；
D选项，连接，则点到平面的距离即为三棱锥的高，
其中由A选项，可知正四棱台高为，侧高为2，
故，，
故三棱锥的高为，D正确.
故选：BD
12. 已知，点满足，设点的轨迹为曲线，则（）
A. 过点作曲线的切线，切线长为
B. 当三点不共线时，则
C. 在上存在点，使得
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设动点坐标，根据可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知是内角的角平分线，即可得出结论；C选项，可以求得动点的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.
【详解】设P点坐标为，由，则，化简得
，所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆.
A选项，过点作曲线的切线，切线长为，A选项正确.
B选项，当三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，是内角的角平分线，所以.故B选项正确.
C选项，因为，设，则，化简得轨迹为，所以动点的轨迹为圆心，半径为的圆，圆心距
，所以两圆位置关系为内含，所以在上不存在点，使得，故C错误.
D选项，因为，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知三点共线，则__________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用空间向量的共线定理计算即可.
【详解】由题意可知：，
由三点共线可知.
故答案为：0
14. 直线与直线之间的距离为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先将两直线前面的系数化为一致，再根据两直线间的距离公式计算结果即可.
【详解】由题知：，即，
，即，
所以与之间的距离为：.
故答案为：
15. 已知空间向量，若共面，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理建立等式，得到关于的式子，将带入中，利用二次函数图象性质即可求得最值.
【详解】因为共面，所以，
即，
即，解得，
所以，，
因为，所以的最小值为.
故答案为：
16. 已知圆与圆，则
①当时，两圆的公切线方程为__________．
②若两圆相交于两点，且，则__________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】①由题可得两圆内切，则有唯一公切线，后求得两圆交点坐标，即可得答案；②两圆方程相减可得直线AB方程，后由其长度，可得答案.
【详解】①当时，圆.
因两圆圆心距为，恰为两圆半径差，则两圆内切，即两圆有唯一公切线.
，又，
则，
即两圆公共点为C，则公切线过点C，
因，则切线斜率为，故公切线方程为：；
②两圆方程相减可得两圆公共弦方程.
因，圆O半径为1，则点到直线AB距离为.
则由点到直线距离公式，可得或.
故答案为：；或.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 中，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】(1)求出边的斜率，即可得到高线的斜率，用点斜式即可求得方程.
(2)设圆的方程为一般式，代入点的坐标即可求出方程.
【小问1详解】
直线的斜率
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为．
【小问2详解】
设的外接圆的方程为，
则
解得
所以的外接圆的方程为．
18. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】(1)在点建立基底，，分别表示向量，计算出向量数量积即可判断垂直.
(2)表示向量，用夹角余弦公式代入计算即可.
【小问1详解】
设，则，
．
．
（1），
，
，即．
【小问2详解】
，
，
，
异面直线与所成角为．
19. 已知点在圆上运动，点为线段的中点，设点的轨迹为曲线，
（1）求曲线的轨迹方程．
（2）过点作曲线的切线，求切线的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）设，根据已知得，再由在圆上，代入整理可得曲线的轨迹方程；
（2）由（1）并讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求参数，即可得切线方程.
【小问1详解】
设，因为点为线段的中点，
所以，即，
因为点在圆上运动，
所以，化简得，
所以曲线的轨迹方程为．
【小问2详解】
由（1）知曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
当切线斜率不存在时：，满足题意；
当切线斜率存在时，设，即．
由与圆相切，得，解得．
所以切线的方程为，即．
综上，切线的方程为或．
20. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】(1) 取的中点，连接，构造平行四边形可以证得线面平行.
(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式即可求得线面角.
【小问1详解】
取的中点，连接，
分别为的中点，
，且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面．
【小问2详解】
取的中点，则．
以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
．
所以，
设平面的法向量为．
则即
取，则．
又，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为．
21. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点，沿将翻折到，连接，得到如下图2的五棱锥，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题设可得、，则，由线面垂直的判定证得平面，进而可证结论；
（2）根据已知证平面，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可.
【小问1详解】
点分别是边的中点，则．
菱形的对角线互相垂直，即．
所以，则．
由平面平面，
所以平面，故平面．
【小问2详解】
设，连接，，
所以，故为等边三角形．
．
在中，，
在中，则．
平面，平面，
平面．
以为原点，、、为、、轴，建立空间直角坐标系，
则．
．
设平面的法向量为，由，得
令，得，则平面的一个法向量为．
由（1）知平面的一个法向量为，
设面与面的夹角为，则．
所以平面与平面的夹角的余弦值．
22. 已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．
（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；
（2）若，求证：直线恒过定点．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可；
（2）分类讨论结合韦达定理与斜率公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可设切线的方程为．
所以圆心到切线的距离为，
即，解得，
所求的切线方程为或；
【小问2详解】
①当直线斜率存在时，设直线．
将直线代入圆的方程得，
又，
则．
即，
即，
即，
即，
整理得，
即，
所以或．
当时，直线恒过点，不满足题意，舍去；
当时，由得．
直线恒过点，满足题意．
②当直线斜率不存在时，不妨设直线，
则．
则，
所以与圆无交点，不满足题意，舍去．
综上：直线恒过点．
1唐山市十县一中联盟2023-2024学年度第一学期期中考试
高二数学
本试卷共4页，22题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 向量，若与垂直，则的值为（）
A. B. 1 C. D. 3
3. 直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（）
A. B. C. 3 D. 6
4. 在四面体中，，为重心，点在线段上，且，则（）
A. B.
C. D.
5. 若点在圆上，则直线与圆的位置关系是（）
A. 相离 B. 相切
C.相交 D. 不确定
6. 已知圆：与圆：外离，则的取值范围（）
A. B. C. 或 D.
7. 在空间四边形中，，则在上投影向量为（）
A. B. C. D.
8. 已知，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，分别为的中点，则下列说法不正确的是（）
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
10. 已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（）
A. 直线恒过定点
B. 当时，最长
C. 当时，弦最短
D. 最短弦长
11. 在正四棱台中，，点分别在直线与上，则（）
A. 该四棱台的体积为
B. 该四棱台外接球的表面积为
C. 线段长度的最小值为
D. 点到平面的距离为
12. 已知，点满足，设点的轨迹为曲线，则（）
A. 过点作曲线的切线，切线长为
B. 当三点不共线时，则
C. 在上存在点，使得
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知三点共线，则__________．
14. 直线与直线之间的距离为__________．
15. 已知空间向量，若共面，则的最小值为__________．
16.已知圆与圆，则
①当时，两圆的公切线方程为__________．
②若两圆相交于两点，且，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 中，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
18. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角．
19. 已知点在圆上运动，点为线段的中点，设点的轨迹为曲线，
（1）求曲线的轨迹方程．
（2）过点作曲线的切线，求切线的方程．
20. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点，沿将翻折到，连接，得到如下图2的五棱锥，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
22. 已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．
（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；
（2）若，求证：直线恒过定点．
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