黑龙江省名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 971.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-15 09:38:23 | ||
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文档简介
黑龙江省名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的）
1.等差数列中，，公差，则479是数列的第（ ）
A.123项 B.97项 C.85项 D.187项
2.完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A.6种 B.10种 C.4种 D.60种
3.等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（ ）
A. B. C. D.
4.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567
5.已知，，则（ ）
A.0.12 B.0.18 C.0.21 D.0.42
6.，分别为双曲线的左，右焦点，过的直线与双曲线左支交于，两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知是可导的函数，且对于恒成立，则下列不等式关系正确的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分）
9.下列命题，错误的是（ ）
A.若随机变量服从正态分布，且，则
B.100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数服从二项分布
C.将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化
D.在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果.若越小，则模型的拟合效果越好
10.若则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品，设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，.下列说法正确的是（ ）
A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7
B.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g~168g的概率为0.05
C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480
D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g~168g的个数的方差为136.5
12.已知函数，则（ ）
A.若的最小正周期为，则
B.若，则在上的最小值为
C.若在上单调递增，则
D.若在上恰有2个零点，则
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数，是的导函数，则______.
14.直线与曲线相切，则______.
15.函数在上为减函数，在上为增函数，则______.
16.为不超过的最大整数，设为函数，，的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则______.
四、解答题：（共70分，解答需要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
17.设函数在处取得极值.
（1）求、的值；
（2）求的单调区间.
18.已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的极值.
19.已知椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.
20.已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，.
（1）求数列与的通项公式
（2）求数列的前项和.
21.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.已知椭圆过点，两个焦点为，，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
参考答案：
1.A
【分析】由题意可得等差数列的通项公式，令，即可求得.
【详解】因为等差数列中，，公差，所以，则，所以，即，解得.故选：A.
2.B
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据分类加法计数原理，.故选：B.
3.B
【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.
【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为.故选：B
4.B
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】记事件表示“清明节当天下雨”，表示“第二天下雨”，由题意可知，，，所以.故选：B.
【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力
5.A
【分析】由条件概率可得，，即可求出答案.
【详解】由
.故选：A.
6.A
【分析】根据双曲线的定义以及可得边的关系，结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意得，
设，则，，，，
在中，由勾股定理得，解得，则，，
在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，
故选：A.
7.C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.
8.C
【分析】构造，求导得到其单调性，从而比较出大小关系，得到正确答案.
【详解】A选项，设，则，
∵，∴，即在上单调递减，
∴，即，即，故选项A不正确；
D选项，，即，即，故选项D不正确；
B选项，，即，即，故选B不正确.
综上：C选项正确.故选：C
9.BCD
【分析】利用正态分布的性质即可判断选项A；根据二项分布的特点判断选项B；根据随机变量的性质判断选项C；根据一元线性回归模型分析即可判断选项D.
【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布，因为，则，又因为，所以，故选项A正确；
对于B，根据二项分布的性质可知，100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数不满足二项分布，故选项B错误；
对于C，将随机变量进行平移，均值也随之平移，方差不发生改变，故选项C错误；
对于D，在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果.若越大，则模型的拟合效果越好，故选项D错误，故选：BCD.
10.BC
【分析】令，则，再利用赋值法判断A、C，利用展开式的通项判断B，对式子两边求导，再利用赋值法判断D.
【详解】因为，
令，则，令，可得，故A错误；
令，可得，令，可得，
两式相加可得，所以，故C正确；
将两边对求导可得，
再令，可得，故D错误；
二项式展开式的通项为，所以，故B正确；故选：BC
11.BCD
【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163g的个数求解判断；D.由质量在163g~168g的个数求解判断.
【详解】解：因为，所以，所以A错误.
因为，所以，所以B正确.
，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数.所以，所以C正确.
因为，所以，又因为，所以，则，
所以，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g~168g的个数，所以，所以D正确.故选：BCD
12.AC
【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求在上的值域可判断B；由，可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
时，，所以，
故在上的最小值为，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C正确；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.故选：AC.
13.0
【分析】由导数的运算公式求得，代入即可求解.
【详解】由导数的运算公式可得，所以.故答案为：0.
14.e
【分析】设切点，根据导数几何意义可得切线方程，由此可构造方程求得结果.
【详解】设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴切线方程为：，即，
∴，解得：，∴.故答案为：e.
15.
【分析】分析可知为函数的极值点，可得出，即可求得实数的值，再结合极值点的定义验证即可.
【详解】因为在上为减函数，在上为增函数，
所以，为函数的极值点，且，
所以，，解得，且当时，，
由可得；由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，合乎题意.
因此，.故答案为：.
16.
【分析】通过规律找出，再裂项相消求和即可.
【详解】因为时，，，即；
时，，，即；
时，，，5，即；
时，，，10，11，即；
…
以此类推，，
故，
故.故答案为：
17.（1），
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出，；（2）结合第一问得到单调区间.
【详解】（1），由题意得：，，
解得：，，此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，所以，.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为
18.（1）（2）的极小值为，无极大值.
【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.
【详解】（1），令，解得：，
故函数的单调递减区间是
（2）令得：故在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值，，
所以的极小值为，无极大值.
19.（1）（2）
【分析】（1）依题意可得，，即可求出、，再根据求出，即可求出椭圆方程；
（2）设，，利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程.
【详解】（1）解：由已知，，∴，，
所以，所以椭圆方程为.
（2）解：设直线与椭圆交于，两点，则且，
两式相减并化简得.又，，
所以，即，所以直线的方程为.
20.（1），（2）
【分析】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式
（2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前项和
【详解】（1）解：设的公差为，则，所以解得，所以；
由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴.
所以.所以.
（2）由题得.所以
则
两式相减得
所以.
21.（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）
连接交与点，连接，
∵为矩形，∴为的中点，∵为的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）
如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则.
22.（1）；（2）3.
【分析】（1）由已知中焦点坐标，可得值，进而根据椭圆过点，代入求出，可得椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值.
【详解】（1）∵椭圆的两个焦点为，，故，且椭圆的坐标在轴上
设椭圆的方程为：∵椭圆过点，∴
解得，或∴椭圆的方程为：
（2）设直线的方程为：，，，
则由得：则，
∴令，则，
∵在上单调递增，故当时，取最小值，此时取最大值3，
当时取等号，即当时，的面积最大值为3.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及椭圆内三角形面积的最值问题，其中“联立方程，设而不求，韦达定理”是常用步骤，综合运用了对勾函数的单调性求最值，属于中档题.
数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的）
1.等差数列中，，公差，则479是数列的第（ ）
A.123项 B.97项 C.85项 D.187项
2.完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A.6种 B.10种 C.4种 D.60种
3.等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（ ）
A. B. C. D.
4.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567
5.已知，，则（ ）
A.0.12 B.0.18 C.0.21 D.0.42
6.，分别为双曲线的左，右焦点，过的直线与双曲线左支交于，两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知是可导的函数，且对于恒成立，则下列不等式关系正确的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分）
9.下列命题，错误的是（ ）
A.若随机变量服从正态分布，且，则
B.100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数服从二项分布
C.将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化
D.在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果.若越小，则模型的拟合效果越好
10.若则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品，设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，.下列说法正确的是（ ）
A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7
B.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g~168g的概率为0.05
C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480
D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g~168g的个数的方差为136.5
12.已知函数，则（ ）
A.若的最小正周期为，则
B.若，则在上的最小值为
C.若在上单调递增，则
D.若在上恰有2个零点，则
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数，是的导函数，则______.
14.直线与曲线相切，则______.
15.函数在上为减函数，在上为增函数，则______.
16.为不超过的最大整数，设为函数，，的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则______.
四、解答题：（共70分，解答需要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
17.设函数在处取得极值.
（1）求、的值；
（2）求的单调区间.
18.已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的极值.
19.已知椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.
20.已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，.
（1）求数列与的通项公式
（2）求数列的前项和.
21.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.已知椭圆过点，两个焦点为，，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
参考答案：
1.A
【分析】由题意可得等差数列的通项公式，令，即可求得.
【详解】因为等差数列中，，公差，所以，则，所以，即，解得.故选：A.
2.B
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据分类加法计数原理，.故选：B.
3.B
【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.
【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为.故选：B
4.B
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】记事件表示“清明节当天下雨”，表示“第二天下雨”，由题意可知，，，所以.故选：B.
【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力
5.A
【分析】由条件概率可得，，即可求出答案.
【详解】由
.故选：A.
6.A
【分析】根据双曲线的定义以及可得边的关系，结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意得，
设，则，，，，
在中，由勾股定理得，解得，则，，
在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，
故选：A.
7.C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.
8.C
【分析】构造，求导得到其单调性，从而比较出大小关系，得到正确答案.
【详解】A选项，设，则，
∵，∴，即在上单调递减，
∴，即，即，故选项A不正确；
D选项，，即，即，故选项D不正确；
B选项，，即，即，故选B不正确.
综上：C选项正确.故选：C
9.BCD
【分析】利用正态分布的性质即可判断选项A；根据二项分布的特点判断选项B；根据随机变量的性质判断选项C；根据一元线性回归模型分析即可判断选项D.
【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布，因为，则，又因为，所以，故选项A正确；
对于B，根据二项分布的性质可知，100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数不满足二项分布，故选项B错误；
对于C，将随机变量进行平移，均值也随之平移，方差不发生改变，故选项C错误；
对于D，在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果.若越大，则模型的拟合效果越好，故选项D错误，故选：BCD.
10.BC
【分析】令，则，再利用赋值法判断A、C，利用展开式的通项判断B，对式子两边求导，再利用赋值法判断D.
【详解】因为，
令，则，令，可得，故A错误；
令，可得，令，可得，
两式相加可得，所以，故C正确；
将两边对求导可得，
再令，可得，故D错误；
二项式展开式的通项为，所以，故B正确；故选：BC
11.BCD
【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163g的个数求解判断；D.由质量在163g~168g的个数求解判断.
【详解】解：因为，所以，所以A错误.
因为，所以，所以B正确.
，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数.所以，所以C正确.
因为，所以，又因为，所以，则，
所以，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g~168g的个数，所以，所以D正确.故选：BCD
12.AC
【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求在上的值域可判断B；由，可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
时，，所以，
故在上的最小值为，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C正确；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.故选：AC.
13.0
【分析】由导数的运算公式求得，代入即可求解.
【详解】由导数的运算公式可得，所以.故答案为：0.
14.e
【分析】设切点，根据导数几何意义可得切线方程，由此可构造方程求得结果.
【详解】设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴切线方程为：，即，
∴，解得：，∴.故答案为：e.
15.
【分析】分析可知为函数的极值点，可得出，即可求得实数的值，再结合极值点的定义验证即可.
【详解】因为在上为减函数，在上为增函数，
所以，为函数的极值点，且，
所以，，解得，且当时，，
由可得；由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，合乎题意.
因此，.故答案为：.
16.
【分析】通过规律找出，再裂项相消求和即可.
【详解】因为时，，，即；
时，，，即；
时，，，5，即；
时，，，10，11，即；
…
以此类推，，
故，
故.故答案为：
17.（1），
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出，；（2）结合第一问得到单调区间.
【详解】（1），由题意得：，，
解得：，，此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，所以，.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为
18.（1）（2）的极小值为，无极大值.
【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.
【详解】（1），令，解得：，
故函数的单调递减区间是
（2）令得：故在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值，，
所以的极小值为，无极大值.
19.（1）（2）
【分析】（1）依题意可得，，即可求出、，再根据求出，即可求出椭圆方程；
（2）设，，利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程.
【详解】（1）解：由已知，，∴，，
所以，所以椭圆方程为.
（2）解：设直线与椭圆交于，两点，则且，
两式相减并化简得.又，，
所以，即，所以直线的方程为.
20.（1），（2）
【分析】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式
（2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前项和
【详解】（1）解：设的公差为，则，所以解得，所以；
由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴.
所以.所以.
（2）由题得.所以
则
两式相减得
所以.
21.（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）
连接交与点，连接，
∵为矩形，∴为的中点，∵为的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）
如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则.
22.（1）；（2）3.
【分析】（1）由已知中焦点坐标，可得值，进而根据椭圆过点，代入求出，可得椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值.
【详解】（1）∵椭圆的两个焦点为，，故，且椭圆的坐标在轴上
设椭圆的方程为：∵椭圆过点，∴
解得，或∴椭圆的方程为：
（2）设直线的方程为：，，，
则由得：则，
∴令，则，
∵在上单调递增，故当时，取最小值，此时取最大值3，
当时取等号，即当时，的面积最大值为3.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及椭圆内三角形面积的最值问题，其中“联立方程，设而不求，韦达定理”是常用步骤，综合运用了对勾函数的单调性求最值，属于中档题.
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