黑龙江省牡丹江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

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牡丹江市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
2023.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．函数的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平行六面体的所有棱长都为1，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数m满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数m按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．46 B．42 C．41 D．25
7．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ）
A．， B．
C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知p：，恒成立；q：，恒成立，则（ ）
A．“”是p成立的充分不必要条件 B．“”是p成立的必要不充分条件
C．“”是q成立的充分不必要条件 D．“”是q成立的必要不充分条件
10．已知函数，则（ ）
A．函数有三个零点
B．若函数有两个零点，则
C．若关于x的方程有四个不等实根，，，，则
D．关于x的方程有7个不等实数根
11．已知等比数列的公比为整数，是数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．
C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公差为的等差数列
12．关于函数，m为常数，则（ ）
A．若，则
B．当时，方程恰好只有一个实数根
C．若，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数在处的切线方程为______．（结果写成一般式）
14．已知a，b都是正数，且，则的最小值为______．
15．设数列满足，，则______．
16．已知平面向量，，满足：，，，，则向量，的夹角为______；向量在向量上投影数量的取值范围是______．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
记函数的导函数为，已知，．
（1）求实数k的值；
（2）求函数在上的值域．
18．（本小题满分12分）
在①，②，③
这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，然后解答问题．
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________．
（1）求角C；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）
19．（本小题满分12分）
已知数列的首项，前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，记，若对任意正整数n，不等式恒成立，求整数m的最大值．
20．（本小题满分12分）
现有一空地，将其修建成如图所示的八边形形状的公园．已知图中四边形是周长为4的矩形，与B，与D均关于直线AC对称，直线交CD于点P，直线交AB于点Q．设，四边形AQCP的面积为S．根据规划，图中四边形AQCP区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，阴影部分区域面积最大．
21．（本小题满分12分）
如图，已知几何体ABCDFE，底面ABCD为矩形，，平面ABCD，平面平面ABCD，点P在EF上，且，，，，．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求平面PBA与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知函数有两个极值点，．其中，e为自然对数的底数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若恒成立，求的取值范围．
高三数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．BC 10．ABD 11．BD 12．ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15．1036 16．（1） （2）
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（1）
因为 所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，
所以，，
所以函数在上的值域为．
18．解：（1）若选择①：由①及正弦定理得：
即又
∴ 且C是三角形内角，∴
若选择②：由②及正弦定理得，
所以，
即，由，∴，
∴又C是三角形内角，
若选择③：由③可知：
∴ ∴
∴ 又C为三角形内角，∴
（2）由已知及余弦定理可得
由为锐角三角形可得且，
解得，所以面积
19．解：（1）由．
当时，
两式相减得：，
整理得：
所以，，
所以，是以1为首项，公差为3的等差数列．所以
（2）由（1）得，
所以
，
则问题转化为对任意正整数n使不等式恒成立．
设，
则
所以，故的最小值是．
由，所以，则整数m可取的最大值为14
20．解：（1）因为与B关于直线AC对称，所以与全等，
同理由与D关于直线AC对称可得与全等
所以有与，，均全等
所以，又因，则
在中，即
所以，解得
又因为解得
所以
所以
即
（2）由（1）可知用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积为
而
当且仅当，即时，等号成立
所以当时，用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积最大
21．（1）证明：因为平面平面ABCD，平面ADFE，所以平面ABCD
因为平面ABCD，平面平面，平面ADFE 所以，即
因为四边形ABQO为矩形，所以，
又因为平面ABCD，，由三垂线定理得
在中，因为，得，
由等面积法得，所以，即
又，所以，所以四边形AOPE为平行四边形，从而
又平面ABCD，所以平面ABCD
（2）解：由（1）可得，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则有
，，，
，，
设平面PAB的一个法向量为，则令得
设平面PCB的一个法向量为，则令得
所以平面PBA与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
22．解：（1）由于
令，则
解得；解得
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且
当时，在上的最小值，所以在上单调递增，
没有极值点，与已知不符，不符合题意
当时，当时，，
又因为在上单调递减，所以在上有唯一实根，
不妨令其根为，所以有时，，
又因为当时，恒成立．所以有时，，
此时有且仅有一个极值点，与已知不符
当时，在上单调递减，，
所以存在唯一实数使得
即时，；时，，所以有极大值点为
又在上单调递增，，当，
所以存在唯一实数使得
即当时，；时，，所以有极小值点为
所以此种情况符合题意，综上所述实数a的取值范围为
（2）由（1）可知，不等式变为
由（1）可得，令，则有，解得，
所以可整理为，令，
则在恒成立，由于，
令，
则，
令，
，显然在递增，
又有，，所以存在使得，
且易得在递减，递增，又因为，所以，
而，
所以存在使得，且易得在递减，递增，
又，则时，，，时，，，
所以易得在上递减，在上递增，则，
所以的取值范围为