晋江市五校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学科试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B A B C B D BC AC BD ABD
13、 5 14、 15、 16、3
17、解：(1)， 2
故． 4
由题意，可设． 6
由，得， 7
所以，解得． 9
因此点的坐标为 10
18、解：根据题意，分种情况讨论：
当斜率不存在时，过点的直线的方程是，与圆相切，满足条件，
当斜率存在时，设直线方程：，即， 3
直线与圆相切时，，解可得，
此时，直线的方程为； 5
所以，满足条件的直线方程是或； 6
根据题意，若，则圆心到直线的距离， 8
则直线的斜率一定存在，设直线方程：，即， 9
则，解可得或， 11
所以满足条件的直线方程是或． 12
19、解：(1)证明：
，
所以共面，且为公共点， 5
所以四点共面； 6
(2)， 7
， 8
， 10
，
， 11
． 12
20、（1）取的中点，连接， 1
分别为的中点，∴，
又为的中点，底面为矩形，∴，
∴，故四边形为平行四边形，
∴ 3
又∵平面，平面， 4
∴ 5
由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 6
∵，所以， 7
故，设平面的法向量，
则，得， 9
设与平面所成角为，
则， 11
故与平面所成角的正弦值为. 12
21、解：设点的坐标为，根据题设条件有，
所以有， 1
化简，得． 2
所以， 3
， 4
由题知，当时，最小，此时，， 5
则四边形面积的最小值为． 6
设，由切线的几何性质，可知，两点在以为直径的圆上，
此圆的方程为， 8
而直线是此圆与圆的相交弦所在直线，
由两圆方程相减可得的方程为， 10
联立
所以直线恒过定点，定点为． 12
22、（1）如图，
取中点，连接和，由已知得，且．
因为分别为的中点，所以，且
所以，且．
所以四边形是平行四边形．
所以． 1
因为翻折的，易知．
所以翻折后，．
又因为，，
所以．
因为，
所以． 3
因为，所以．
因为是等边三角形，点是中点，所以
又因为，．
所以．
因为，所以． 5
（2）（方法一）如图，
过点作，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 6
设，则
则， 7
因为．所以是平面的法向量， 8
设面的法向量为，则
，即 ，解得．
取，得． 9
因为二面角为，
所以， 10
解得，所以，． 11
记直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 12
（方法二）如图，
连接，因为，，所以．
又因为，，．所以．
因为，所以，，所以是二面角的平面角，故． 7
由是边长为2的等边三角形，得，
在中，，所以． 8
过点作，垂足为，
因为平面，，所以.
又因为，平面，且，
所以．
连接，则即为直线与所成的角． 10
在中，，，得，由等面积法得，解得．
在中，，，所以． 11
在中，， 12
所以直线与平面所成角的正弦值为．
选填题详解
1．【详解】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为. 故选：B.
2、【详解】，，得，解得：，所以
故选：C
3、【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，故选：B．
4、解：点在坐标平面内的射影的坐标为，，故选A．
5、【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率
则过点的直线l的方程为，即
则点到直线l的距离故选：B
6、解：圆的方程为，
过点作圆的切线方程，
显然，切线斜率存在，
设切线方程为，即．
则，
解得：．
则的取值范围为．故选C．
7．【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，,
令，则，而
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.故选：B
8．【详解】由，要使最大只需到中点距离最大，
又且，
令，则，整理得，
所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，
故，而，故.
故选：D
9、【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；故选：BC
10、【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与 无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．
11、解：由题意，的欧拉线即的垂直平分线，
，，
的中点坐标为，
，
则的垂直平分线方程为，即．
由“欧拉线”与圆相切，
到直线的距离，
，则圆的方程为：，
圆心到原点的距离为，
则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设过与圆相切的直线方程为，即，
由，解得，
的最小值是，故C错误
的圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
，解得，故D正确．故选：．
12、【详解】在选项A中，∵，
且，
∴，
∴同理，
∵，且,
∴直线，故A正确；
在选项B中，
∵，，
∴，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，
所以.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
13、【详解】由条件可知，，解得．故答案为：5
14、【详解】由直线截距式方程知：，
所以中点坐标为，且，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
化为一般方程为.
15、【详解】由可化为，转化为点到点的距离的平方，
因为点为直线上的动点，
由原点到直线的距离为，
所以最小值为．
16、【详解】由已知直线，
则原点到直线的距离为，
由直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为2，
满足条件的直线即为圆和圆的公切线，
圆和圆外切，
这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
满足条件的直线有3条.
故答案为：3.晋江市五校2023-2024学年高二上学期期中联考数学科试卷
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2．请将各题答案填写在答题卡上.
3．测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
第Ⅰ卷
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
A．1 B．2 C．4 D．8
3、过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4、在空间直角坐标系中，点是点在平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
5、已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6、已知圆的方程为为圆上任意一点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9、如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10、已知直线其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11、瑞士著名数学家欧拉在年轻时提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是( )
A. 圆上的点到原点的最大距离为
B. 圆上存在三个点到直线的距离为
C. 若点在圆上，则的最小值是
D. 若圆与圆有公共点，则
12、如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、经过两点的直线的一个方向向量为，则_______
14、直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为_______
15、若点为直线上的动点，则的最小值为_______
16、已知直线与圆相切，则满足条件的的个数是_______个.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（本小题10.0分）已知向量,，为坐标原点，点。
求
若点在直线上，且，求点的坐标．
18、（本小题分12分）已知圆的方程为．
求过点且与圆相切的直线的方程；
直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
19、（本小题分12分）如图所示，在平行六面体中，分别在和上，且．
证明：四点共面；
若，求的值．
20、（本小题分12分）如图，已知，底面为矩形，，分别为的中点．
(1)求证：
(2)求与平面所成角的正弦值．
21、（本小题分12分）平面上两点、，则所有满足且不等于的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆已知圆上的动点满足：其中为坐标原点，点的坐标为．
在直线上任取一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值；
在的条件下，证明直线恒过一定点并写出该定点坐标．
22、（本小题分12分）如图1，在中，，是的中位线，沿将进行翻折，使得是等边三角形（如图2），记的中点为．
(1)证明：．
(2)若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
