河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期11月联考数学试题（含解析）

河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期11月联考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A．{3，8} B．{3，7，8} C．{3，4，8} D．{2，3，4，7，8}
2．“且”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组函数中，为同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤0 B．a≥3 C．a≤2 D．a≥1
6．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，c≠0，则
C．若，a，b同号，则 D．若，则
10．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．用表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ）
A．， B．当时，的最小值为2
C．不等式解集是 D．方程的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数（且a≠1）的图象恒过定点______．
14．已知集合恰有7个真子集，则m的取值范围是______．
15．若，且，则实数______．
16．已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，求的值．
18．（12分）已知集合，，全集．
（1）求；
（2）若且，求a的取值范围．
19．（12分）已知，命题，；命题，．
（1）写出命题p的否定，并求为真时，实数a的取值范围；
（2）若命题p，q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知二次函数．
（1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，恒大于零，求实数a的取值范围．
21．（12分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本C（x）（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）
（1）求2023年的利润P（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在区间上的最大值为．
（i）求实数a的值；
（ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期11月联考
数学参考答案及评分意见
1．C【解析】因为集合，，所以．故选C．
2．C【解析】当且时，成立，反过来，当时，例：，，不能推出且．所以“且”是“”的充分不必要条件．故选C．
3．D【解析】要使原函数有意义，则解得，且x≠1，∴函数的定义域为．故选D．
4．B【解析】对于A，由，得或x≥1，所以的定义域为；由得x≥1，所以的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，A错；
对于B，的定义域为R，的定义域为R，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以B正确；
对于C，的定义域为，的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以C错；
对于D，的定义域为，的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D错．故选B．
5．B【解析】“，”为假命题，则“，”为真命题，只需在上的最大值小于等于2a即可．而函数的最大值．，故2a≥4，解得a≥2．因为，但a≥2推不出a≥3，所以a≥3是“，”为真命题的一个充分不必要条件，故B正确，其他三个选项均不符合题意．故选B．
6．B【解析】若函数的定义域为R，则对任意恒成立．
当时，不等式化为，恒成立；
当a≠0时，需即．综上所述，实数a的取值范围是．故选B．
7．B【解析】函数当x≥b时，函数，图象开口向下，关于对称，所以在[b，+∞）上单调递减；
当时，函数，图象开口向上，关于对称，所以在上单调递减，在上单调递增．
若在区间上单调递增，则有解得3≤b≤4．故选B．
8．C【解析】，因为函数在R上是增函数，所以，即．又，所以，因此．故选C．
9．BCD【解析】若，当c≤0时可得ac≥bc，故A错误；
若，c≠0，则，，故B正确；
若，则，又因为a，b同号，故，所以，则，故C正确；
若，则，，故D正确．故选BCD．
10．AC【解析】函数是偶函数，又在区间上单调递减，故A符合；函数为奇函数，故B不符合；函数是偶函数，又在区间上单调递减，故C符合；函数既不是奇函数，也不是偶函数，故D不符合．故选AC．
11．CD【解析】如图，设，，由题意知，即，，所以，化简得，因此矩形绿地的周长当且仅当时取等号．故矩形菜地的周长可能为米，米．故选CD．
12．ACD【解析】对于选项A：设x的整数部分为a，小数部分为b，则，得，故A正确；
对于选项B：当时，，当且仅当，即时，等号成立，这与矛盾，故B错误；
对于选项C：由不等式可得，，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴，即原不等式的解集为，故C正确；
对于选项D：由知，x2为整数且，解得，可知，可得x≥0，因为，即，由，解得，可得；由，解得或（舍去），可知，即或．当时，，可得；当时，，可得，所以方程的解集为，故D正确．故选ACD．
13．（2，5）【解析】根据题意，函数中，令，解得，此时，即函数的图象恒过定点（2，5），故答案为（2，5）．
14．【解析】由题设知：集合A中有3个元素，即有3个不同解，所以有2个不为0的不同解，则解得且m≠0，故答案为．
15．9【解析】∵，∴，又∵，∴，由换底公式得，即，即，解得．故答案为9．
16．1012【解析】因为为奇函数，所以．因为为偶函数，所以，所以．又因为，所以①，所以，所以②，①+②得，所以，所以，又因为，所以．故答案为1012．
17．解：（1）原式
．
（2）原式
（3）因为，则，
所以．
18．解：（1）因为，，
所以．
因为，所以或．
（2）因为，，
所以，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以或解得2故a的取值范围是．
19．解：（1）由题意，．
若为真，即对恒成立，所以只需，解得a≤2，
即实数a的取值范围是．
（2）由（1）可得，为真时，a≤2．所以，若命题p为真，则；
若命题q为真，则对于恒成立，因此只需，即，解得．
因为命题p，q有且只有一个为真，
若p真q假，则有或解得a≥4；
若p假q真，则有解得．
综上，p，q有且只有一个为真时，a的取值范围是．
20．解：（1）因为的解集为，，
所以，
解得，即实数a的取值范围是．
（2）因为在上恒成立，所以．
而函数的图象开口向上，对称轴方程是．
当即时，对称轴在区间左侧，
所以，解得，
此时a无解；
当，即时，对称轴在区间内部，
所以，解得．
当即时，对称轴在区间右侧，
所以，所以，
此时a无解．综上，．
21．解：（1）∵
∴当时，，
当x≥40时，．
故
（2）由（1）得
当时，，
∴；
当x≥40时，，
当且仅当，即时等号成立，故．
∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
22．解：（1）由题意得．
当时，可得到在和上单调递增．
（2）（i）若在区间上的最大值为．
①当时，函数在区间上单调递减，
∴，解得（舍去）；
②当时，函数在区间上单调递增，
∴，解得．
综上，．
（ii）由（i）知，，且在区间上单调递增．
∴，即，∴在区间上的值域为．
函数，当且仅当，即时取等号，
在上为减函数，在上为增函数．
令，则，∴．
在区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形，等价于，．
①当时，在上单调递增，
∴，由，得，
∴；
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
∴，由，得，
∴；
③当时，在上为减函数，在上为增函数，
∴，由，得，
∴；
④当b≥1时，在上单调递减，
∴，由，得，
∴．
综上，实数b的取值范围为．