山东省滨州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

滨州市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式：成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．关于函数，其中a，，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0；丁：方程有两个根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且．若C是圆O上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，单位圆上角x的始边为x轴正半轴，终边射线OP交单位圆于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，将点M的射线OP的距离表示为x的函数，则在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．若，则
D．若，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A．的模长为 B．z在复平面内对应的点在第四象限
C．为纯虚数 D．在复数范围内，z是方程的一个解
10．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截ABCD面面积为；
B．与的夹角60°；
C．该圆台的体积为；
D．沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为5cm．
12．已知抛物线C：的焦点为F，直线（且）交C与A、B两点，直线OA、OB分别与C的准线交于M、N两点，（为O坐标原点），下列选项错误的有（ ）
A．且，
B．且，
C．且，
D．且，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数在上的最大值为6，则实数______．
14．已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则______．
16．四棱锥的底面ABCD是矩形，侧面底面ABCD，，，则该四棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在中，．
（1）求B；
（2）若，，且，求BC边上的高．
18．已知数列的前n项和，是公比大于0的等比数列，且满足，．
（1）求和的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求证：；
（3）对任意的正整数n，设数列满足，求数列的前n项和．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E为AD的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面PCD；
（3）在线段PC上是否存在点M，使得平面PEB 请说明理由．
20．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求函数的值域；
（3）若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
21．已知椭圆G：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若过点的直线与横圆G交于两点A、B，设点，求的范围．
22．已知函数，．
（1）若对任意时，成立，求实数a的最大值；
（2）若，求证：；
（3）若存在，使得成立，求证：．
滨州市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C B C B C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部先对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 BCD AC ACD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1 14． －1.25 15．4 16．20π
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解（1）由及正弦定理可得，
即，
即，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以．
（2）因为，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，所以
因为，所以．
因为，所以，．
过A作CB延长线的垂线，垂足为D，
则BC边上的高．
18．解：（1）由且，
则，
而也满足上式，故；
所以，设，公比为q且，则
（负值舍），所以．
（2）由（1）知：，
所以，
而，所以．
（3）由，则，
令，则，
所以，
综上，
19．解：（1）因为，E为AD中点，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，
因此．
（2）由（1）知，平面ABCD，平面ABCD，所以．
在矩形ABCD中，，
又因为，AD，平面PAD，所以平面PAD．
平面PAD，所以．
又因为，，CD，平面PCD，所以平面PCD．
因为平面PAB，所以平面平面PCD．
（3）存在M为PC中点时，平面PEB．
证明：取PB中点为F，连接DM，FM，
因为M为PC中点，∴，且．
在矩形ABCD中，E为AD中点，所以，且．
所以，且，所以四边形EFMD为平行四边形，
因此，，又因为面PEB，面PEB，所以面PEB．
20．解：（1），
所以函数最小正周期π
（2）当时，，，
则，，，
因此，函数在区间上的值域为．
（3）∵，，
由得，
若函数在上有且仅有两个零点，则，π，
则，解得．即．
21．解：（1）依题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）当直线AB斜率为0时，，，，，
所以，所以，
当直线AB斜率不为0时，设，，直线AB的方程为：，
联立方程组可得，得到，
，
由根与系数的关系得到，，
，所以
而，
所以
当时，，
当时，，因为，
当且仅当时取等，，
，所以．
故的范围为：．
综上所述：的范围为：
22．解：（1），，∴，
∴令解得，∴在单减，在上单增，
∴在取得极小值，也是最小值，
∵时，成立．
∴只需即可，∴实数a的最大值为1．
（2）证明：设，，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
∴，即．
（3）法一：
证明：∵存在时，便得成立，
∴，∴，
令，由可知，
由（2）知在上单调递减，
∴即，
∴，即，
∴，由知，
∴即，∴
法二：∵，，
∴，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∵存在时，使得成立，
∴，且，，
∴
令，，
∴，
∴在上单调递增，
又∵，∴，即即，
∵，，在上单调递增，∴即·