湖北省宜昌市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

宜昌市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数，其中i是虚数单位，则的虚部为( )
A. 2 B. C. 1 D.
2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是( )
A. A与B为互斥事件 B.
C. A与B为相互独立事件 D. A与B互为对立事件
4.直线过点，则直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则该组数据的方差是( )
A. 5 B. C. D.
7.已知满足，且两条直线方程分别为，，试判断两条直线位置关系是( )
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交且不垂直
8.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若十个学生参加知识竞赛的得分分别为90，82，87，93，90，92，88，87，90，85，则下列说法正确的是( )
A. 极差为11 B. 众数为90 C. 平均数为88 D. 中位数是90
10.已知点与直线，下列说法正确的是( )
A. 过点P且直线l平行的直线方程为
B. 过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C. 点P关于直线l的对称点坐标为
D. 直线l关于点P对称的直线方程为
11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥SO的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
12.已知的内接四边形ABCD中，，，，下列说法正确的是( )
A. 四边形ABCD的面积为
B. 该外接圆的直径为
C.
D. 过点D作交BC于点F，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的20组如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 237 989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.
14.平行于直线，且与 l的距离是1的直线方程为__________.
15.已知圆柱体体积是1，设M，N分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积是__________.
16.如图，已知为等边三角形，点 G是的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段 AC交于点设，，且设的周长为，的周长为，设，记，则__________，的值域为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知坐标平面内两点，
当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围;
若直线MN的方向向量为，求m的值.
18.在中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，且
求
若，BD为角B的平分线，点D在上，且，求的面积.
19.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
求图中a的值，以及该组数据的众数和中位数;
若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和的三组中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.
20.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作
若，，求的斜坐标;
在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如下图所示.
①若，求向量的斜坐标;
②若，且，求
21.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面
为三角形内含边界的一个动点，且，求M的轨迹的长度;
在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面所成角的正弦值为若存在，求的值;若不存在，说明理由.
22.如图所示， P是以AB为直径的圆的下半圆弧上的一动点异于A、B两点，C、D分别为A、B在过点P的直线l上的射影、B在直线l的上方，记，，且直线
若，求面积S的最大值及S取得最大值时的值;
若，用m表示向量、在向量方向上的投影向量的模长之和，试问、满足什么条件时， m有最大值
若，，，求的值.
宜昌市2023-2024学年高二上学期期中考试数学参考答案
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念，共轭复数的定义，属于基础题.
由题意，先求出 ，进而可得其虚部.
【解答】
解：，
的虚部是
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.
利用投影向量的定义即可求解.
【解答】解：由题意，得，
则向量在向量上的投影向量是
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查事件的判断，考查古典概率的计算，属基础题.
确定全部事件和A，B，AB事件，再逐个判断即可.
【解答】
解：抛掷两枚质地均匀的硬币的全部事件：
正，正，正，反，反，正，反，反，共4个，
事件“第一枚硬币反面向上”包括反，正，反，反，共2个，
事件“第二枚硬币正面向上"包括反，正，正，正，共2个，
事件AB包括反，正，共1个，
因为A与B有公共事件反，正，
故A与B为不是互斥事件，也不是对立事件
满足，故A与B为相互独立事件
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的截距式方程的应用，利用基本不等式求最值，属中档题．
根据已知可得 ，l与x、y正半轴围成的三角形的面积为 ，利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.
【解答】
解：因为直线l： 过点 ，
则 ，即 ，
则直线l与x、y正半轴的交点坐标分别为，，且，，
直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积为 ，
因为 ，
当且仅当即，时等号成立，
所以直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了棱柱与棱台体积求解，属于中档题.
设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3 m ，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.
【解答】
解：设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3 m ，由上到下的三个几何体体积分别记为 ，
则 ，
，
，
所以
故选：D

6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一组数据的百分位数、方差和众数，考查运算求解能力，是基础题．
该组数据的第60百分位数是众数的倍，求出，从而该组数据的平均数为，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，
该组数据的第60百分位数是众数的倍，
，解得，
该组数据的平均数为，
该组数据的方差是
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查判断两条直线位置关系，涉及正弦定理，属于基础题.
由对数运算得，且，，，再利用正弦定理判断两直线的位置关系.
【解答】
解：因为满足，
则，则，且，，
直线：与直线：的方程分别化为：
，
即直线和直线的斜率分别为，
又由正弦定理知
此两条直线重合．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
根据题意，求出平面的法向量，直线l的方向向量，再计算直线l与平面所成角的正弦值即可．
【解答】
解：由题意知，平面的方程为，直线l方程为 ，
所以平面的法向量为 ，直线l的方向向量为 ，
所以直线l与平面所成角的正弦值为
故选
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键.
根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案.
【解答】
解：A、这组数据的极差是，正确;
B、这组数据的众数是90，正确;
C、这组数据的平均数是，错误;
D、将这组数据从小到大排列：82，85，87，87，88，90，90，90，92，93，
这组数据的中位数是，错误.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用待定系数法求直线方程，训练了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的方程的求法，属中档题．
【解答】
解：对于A：过点P且直线l平行的直线方程为，
则，则，即直线方程为，故A正确；
对于B：当直线不过原点时，过点P且截距相等的直线为，则，即，此时与直线l一定垂直，
当直线过原点时，此时直线为，不与直线l垂直，故B错误；
对于C：设点P关于直线l的对称点坐标为，
可得，①
斜率 ，②．
由①②解得：，
则点P关于直线l的对称点坐标为，故C正确；
对于D：直线l关于点P对称直线方程为，
由题意， ，得或舍去
直线方程为，故D正确．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查圆锥的几何性质，空间几何体中的最值问题，属于中档题
解题时根据圆锥侧面积公式可判断A，
根据三棱锥体积公式判断B，
利用特殊值判断C，
通过翻折计算判断
【解答】
解：易知圆锥母线长为
A：圆锥 SO的侧面积 ，故A错误；
B：因为三棱锥 高为定值，所以底面三角形ABC面积最大时，体积最大，
即此时B到AC距离最大，BO与AC垂直时最大，
此时 ，故B对；
C：当可取时，三角形SAB为正三角形，则 ，故C错误；
D：，则三角形ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，
此时三角形SAB为正三角形，将平面SAB翻折到与平面ABC重合，连接SC，则 的最小值为SC，
此时 ，
根据余弦定理可知
故D对；
故选
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系，三角形面积公式及向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知结合向量数量积的性质，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：对于A，连接AC，
由题意得，解得，
所以，，
所以，
故，
，
故四边形ABCD的面积为，A正确；
对于B，设外接圆半径为R，则，
故该外接圆的半径，B错误；
对于C，连接BD，过点O作于点G，过点B作于点E，则由垂径定理得，
由题意得，即，
解得，所以，
所以，且，
所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，故，C正确；
对于D，由C选项可知，
故，且，因为，
由题意得DO为的平分线，故，
由A可知，显然为锐角，
故，，
所以，
所以，D错误．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查随机模拟方法估计概率，属于基础题．
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的共6组，根据概率公式，得到结果．
【解答】
解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，
利用计算器产生了如题中所给的20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：
191、271、932、812、393，237共6组随机数，
所求概率为
故答案为
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查直线方程的相关知识，属于基础题.
先设一下所求直线方程，再根据两条平行直线间的距离公式，求出常数项即可.
【解答】
解：设所求直线方程为，
则，或，
即所求直线方程为或
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆柱与圆锥的体积计算，属于中档题.
解题时先理解题目意思，知道两个圆锥的公共部分是2个小圆锥的组合体，设圆柱的底面半径和高为r和h，可得小圆锥的底面半径和高为和，即可求解.
【解答】
解：易知以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，
则这两个圆锥体公共部分是两个小圆锥组合体，
设圆柱的底面半径和高分别为r和h，可得小圆锥的底面半径和高分别为和，
因为圆柱体体积是1，所以，
则2个小圆锥组合体体积为
16.【答案】3 ；
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算法则，平面向量基本定理等知识，也考查了二次函数的性质，属于较难题.
连接AG并延长，交BC于F，可得 ，变形可得 ，根据D，G，E三点共线，即可得的值；
设 的边长为1，求出与周长之比，故得的表达式，根据的范围，利用二次函数性质，即可得答案.
【解答】
解：连接 AG并延长，交 BC于点 F，则 F为 BC中点，
，又G为重心，
，
又三点共线，，
设的边长为1，则，
在中，，

，
，
，
.
，，
又，
，
，
故答案为3；
17.【答案】解：直线MN的倾斜角为锐角，则，
又，
即，解得
直线MN的方向向量为，
所以，解得
【解析】本题考查直线斜率公式、倾斜角与斜率关系，属于基础题.
若倾斜角为锐角，则斜率大于0，从而求出m的取值范围；
由直线MN的方向向量可得斜率，故可得m的值.
18.【答案】解：由正弦定理可得
，
所以，
在中，，，
所以，
因为，所以
由，
得，
即①
由余弦定理得，
所以②
由①②得或舍去，
所以
【解析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题.
由已知正弦定理化简可得，可求得
由可得再由余弦定理可得ac，可求得的面积.
19.【答案】解：由图可知：，所以，
众数为85，
设中位数为x，由图象可知
则，，即中位数为76；
由图可知分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，
所以若按分层抽样从这三组中抽6人，
则分数在的人数为2人，分数在的人数为3人，分数在的人数为1人，
抽取的6人中分数在内的有2人，记这2人分别为a，b，
分数在内的有3人，记这3人分别为c，d，e，
分数在内的有1人，记这1人分别为f，
从6人中随机抽取2人的情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，，ef共15种，
其中2人均在内的情况为ab，2人均在内的情况为cd，ce，de，
2人的成绩在同一区间的情况共4种，
所以2人的成绩在同一区间的概率为
【解析】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，属于中档题．
根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合众数定义和中位数公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从中分别抽取2人，3人，1人，分析即可得到答案.
20.【答案】解：，
，
的斜坐标为
设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
；
②由题，
由，知，
由，知：
，解得，
则
【解析】本题考查向量的运算，考查向量的斜坐标，向量运算法则，向量数量积的运算，向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力．
由，利用新定义能求出的斜坐标；
设分别为与同方向的单位向量，则，
①，由此能求出结果；
②由题，由，知，由，能求出t，进而求出结果.
21.【答案】解：作交于H，连接AH，
由题意知平面ABC，平面ABC，
所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以，
又平面，
所以，
因为，且，，
所以，
则M的轨迹为线段CH，
又三角形中，，，
所以等腰三角形底边上的高为，
所以；
存在.
证明：以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，
令，则，，
设，
所以，
所以
，
解得或舍，
所以
【解析】本题主要考查的是线面垂直与面面垂直的判定与应用及线面角的求法，属于中档题．
结合线面垂直与面面垂直的判定与性质判断出轨迹再求长度；
以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求出直线DP与平面所成角的正弦值，进而求出的值即可．
22.【答案】解：由AB为直径得圆周角，
，
，
所以当，即时，
法一由与相似得，又，
所以
，
，
所以当时，m的最大值等于
法二显然所求投影向量也等于向量在向量方向上的投影，
所以

当即向量共线时，m有最大值2，此时
由相似三角形得，由直角三形得，
所以


【解析】本题考查了向量在平面几何中的应用，属困难题.先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再写出三角形面积表达式进一步得解；
利用平面向量的投影向量的知识求出模长进而得解；
先解直角三角形，再由三角恒等变换进一步得解.