四川省绵阳市涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

绵阳市涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
考试时间:120分钟 总分:150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2.已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ）

A．150，15 B．150，20 C．200，15 D．200，20
5.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为10，则椭圆C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与互斥 B．与相互独立
C． D．A与互斥
8．若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
11．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（ ）
A． B．
C． D．
12．对于平面直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”：，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个圆
C．若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个椭圆
D．若点在线段上，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为 .
14．如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量 ．（用表示）
15．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是 ．
16.已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点和.
18．已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
19．南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．
(1)求出;
(2)估计测试成绩的平均分；
(3)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
21．甲、乙两人组成“九章队”参加南山中学实验学校数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
22.如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

(1)证明：面面；
(2)若为上的一点，点到面的距离为，求的值及平面和平面夹角的余弦值.
绵阳市涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题答案
1-8 DBAD CABB 9.ABC 10.AC 11.BC 12.AD
13【答案】 14【答案】
15.【答案】9 16.【答案】8
12.【答案】AD
【详解】由题意可得：当，，时
，所以A正确；
不妨设，，由题意可得，此时表示的几何图形是正方形，
所以BC错误；
设且，
所以
，所以D正确．
故选：AD
16.【答案】
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
若求的最大值，转化为求的最大值，
设关于直线的对称点为B，设B坐标为，
则 ，解得，故B，
因为，可得，
当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
17.【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由已知,，，得：，，从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，.
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为.
18.【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：
解得：
则圆的方程为：
（2）当直线的斜率不存在时，则有：
故此时直线与圆相切，满足题意
当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为
直线的方程为：
则有：
解得： ，此时直线的方程为：
综上可得，直线的方程为：或
【答案】
(1)，．
(2)；
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，即，
又，所以，．
（2）测试成绩的平均分为：.
（3）成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，
再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为．
20.【答案】(1)；
(2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【详解】（1）由题意得，∴；
（2）设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
21.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，
.
（2）设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，
所以，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．
22.【答案】(1)证明见详解；
(2)，
【详解】（1）
如图所示，在梯形中，取中点，连接，
易知四边形为平行四边形，可得，即，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以面面；
（2）
取的中点，则，
因为，所以，结合（1）的结论，
可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，
即，
设面的一个法向量为，
则有，令，
即，则点到面的距离为，即；
易知平面的一个法向量可为，
设平面和平面夹角为，易知,
所以.