2024人教A版数学必修第一册（课时检测双练）1.4.2充要条件（含解析）

　1.4.2充要条件
一、选择题
1．(2022·湖北江夏一中月考)设a，b∈R，则“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2022·山东高密三中月考)若“－1A． B．
C． D．
3．(2022·湖南株洲二中月考)设a，b∈R ，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　)
A．a，b都为1
B．a，b都不为1
C．a，b中至少有一个为1
D．a，b都不为0
4．(多选)(2022·山东师范大学附中月考)“x>3”的必要不充分条件可以是(　　)
A．x>0 B．x≥2
C．x≥3 D．x>5
5．(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C．A∩B≠B是B A的必要不充分条件
D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
二、填空题
6．写出x>1的一个必要不充分条件________．
7．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________．
8．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件．
三、解答题
9．已知集合M＝{x|－1＜x＜4}，N＝{x|x－a＞0}．
(1)当a＝1时，求M∩N，M∪N；
(2)若x∈M是x∈N的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
10．(2022·山东省青岛第五十八中学月考)ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
11．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有(　　)
A．A∪B＝B B．( UA)∩B＝
C．( UA) ( UB) D．A∪( UB)＝U
12．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件．(将正确的序号填在横线上)
①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．
13．已知p：x－3＜0，q：2x－3＜m.
(1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若p是q的必要条件，则实数m的取值范围为________．
14．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
15．在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
1．A　[若a0，
即>ab，若>ab，
即－ab＝＝>0，
则a－b>0或a－b<0，
所以若a，b∈R，则“aab”的充分不必要条件．故选A.]
2．B　[不等式－13．C　[由ab＋1＝a＋b，可得a－1b－1＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C.]
4．ABC　[由x>3，可得构成集合M＝{x|x>3}，结合选项可得集合{x|x>0}，{x|x≥2}，{x|x≥3}，可知集合M是以上三个集合中任意一个集合的真子集，所以x>0，x≥2，x≥3都是x>3的必要不充分条件．故选ABC.]
5．AD　[选项A：根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件，故选项A为真命题；选项B：两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等，故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故选项B为假命题．选项C：A＝{1，2，3}，B＝{0，2，3}，满足A∩B≠B，但B A不成立．当B A成立时，则A∩B＝B，所以A∩B≠B不成立．所以A∩B≠B是B A的既不充分也不必要条件，故选项C为假命题．选项D：当x＝1，y＝2时，满足“x或y为有理数”，但“xy为有理数”不成立；当x＝y＝2时满足“xy为有理数”，但“x或y为有理数”不成立，故选项D为真命题．故选AD.]
6．x>0(答案不唯一)　[设p：x>1，欲求的条件为q，根据必要不充分条件的定义，由p q成立，而qD /p，因此x>a，只要a<1，都能作为条件q，不妨取a＝0，得x>1 x>0；反之，不成立．]
7．两组对边分别平行　一组对边平行且相等
8．充分不必要　[若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，
即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．]
9．解：(1)因为a＝1，所以N＝{x|x＞1}，
所以M∩N＝{x|1＜x＜4}，
M∪N＝{x|x＞－1}．
(2)若x∈M是x∈N的充分不必要条件，
则有M?N，
因为N＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}．
∴a≤－1.
10．C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a|a<－1}?{a|a<0}，故C正确．故选C.]
11．BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件．
故选BCD.
]
12．①　[由题意知，“无皮” “无毛”，所以“有毛” “有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①.]
13．(1){m|m＞3}　(2){m|m≤3}　[由x－3＜0，得x＜3；由2x－3＜m，得x＜(m＋3)．
(1)若p是q的充分不必要条件，则 }?，
∴(m＋3)＞3，解得m＞3.
(2)若p是q的必要条件，则 ，
∴(m＋3)≤3，解得m≤3.]
14．证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．
当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
所以等式成立。
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，
所以等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
15．解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}．
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
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