2024人教A版数学必修第一册（课时检测双练）1.5.1全称量词与存在量词（含解析）

1.5.1全称量词与存在量词
一、选择题
1．(多选)下列命题是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
2．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，|x|＝0 B． x∈R，2x－10＝1
C． x∈R，x3>0 D． x∈R，x2＋1>0
3．若命题“p： x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≥1} B．{m|m＞1}
C．{m|m＜1} D．{m|m≤1}
4．(多选)(2022·山东师范大学附中月考)下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　)
A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．有些实数是无限不循环小数
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
5．(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，且P≠Q，则下列选项中正确的是(　　)
A． x∈Q，有x∈P
B． x∈Q，使得x P
C． x∈P，使得x Q
D． x Q，有x P
二、填空题
6．命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
7．下列命题：
①对于一切x<0，都有|x|>x；
②不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
③已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．
8．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________．
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后用符号表示，并判断真假．
(1)对任意实数a，b，若a>b，则<；
(2)有些实数a，b能使＝成立．
10．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是(　　)
A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}
11．(多选)(2022·江苏常州月考)命题“ x<9，a≥x”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9 B．a>9
C．a≥10 D．a≥8
12．已知命题p： x≥－，2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值范围为________．
13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
14．选择合适的量词( ， )，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题．
(1)x>2；
(2)x是偶数；
(3)若x是无理数，则x2是无理数；
(4)a2＋b2＝c2.(这是含有三个变量的语句，则用p(a，b，c)表示)
15．是否存在整数m，使得命题“ x≥－，－5<3－4m1．ABD　[原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，C为全称量词命题，故选ABD.]
2．C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]
3．B　[命题p： x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.]
4．AD　[对于选项A，所有的二次函数图象都是抛物线，图象关于对称轴对称，故A是真命题；对于选项B，平行四边形的对角线不一定相等，故B是假命题；对于选项C，不是全称量词命题；对于选项D，由线段垂直平分线的性质可知D是真命题；故选AD.]
5．BD　[由题意得P Q且P≠Q.
对于A，B， x∈Q，使得x P，故A错误，B正确；
对于C， x∈P，有x∈Q，故C错误；
对于D， x Q，有x P，故D正确．故选BD.]
6．存在量词命题　假　[命题p是存在量词命题，
因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式Δ＝22－4×5<0，即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]
7．①②　[命题①显然为真命题；②由于对于 x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立，故②为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故③为假命题．]
8．{k|k>0}　[一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0.]
9．解：(1)全称量词命题．
用符号表示： a，b∈R，若a>b，则<；
当a＝1，b＝－1时，＝1，＝－1，则>，可知该命题为假命题．
(2)存在量词命题．
用符号表示： a，b∈R，a－b＝a＋b；
当a＝b＝0时，a－b＝a＋b，可知该命题为真命题．
10．D　[因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对 a∈M，都有a A，所以a<－3.故选D.]
11．BC　[若命题“ x<9，a≥x”是真命题，则a≥9，因此，命题“ x<9，a≥x”是真命题的一个充分不必要条件是a>9、a≥10.故选BC.]
12．{a|a≥1}　[因为p为真命题，即方程2x＋2－a＝0，在x≥－，范围内有实根，所以a＝2x＋2≥2×＋2＝1，
∴a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1}．]
13．(答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．]
14．解：(1) x∈R，x>2.
(2) x∈Z，x是偶数．
(3) x∈R，若x是无理数，则x2是无理数．
(4) a，b，c∈R，a2＋b2＝c2.
15．解：假设存在整数m，使得命题“ x≥－，－5<3－4m因为当x≥－时，x＋1≥，
所以－5<3－4m<，解得又m为整数，所以m＝1，
故存在整数m＝1，使得命题“ x≥－，－5<3－4m1/5