2024人教A版数学必修第一册（课时检测双练）2.1.1不等关系与不等式（含解析）

2.1.1不等关系与不等式
一、选择题
1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)
A．T<40 　　　　B．T>40　　　　C．T≤40 　　　　D．T≥40
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　)
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为(　　)
A．＜ B．＞
C．＜ D．＞
5．已知c＞1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是(　　)
A．x＞y
B．x＝y
C．x＜y
D．x，y的关系随c而定
二、填空题
6．若x∈R，则与的大小关系为________．
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
8．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________．
①　　　　　　　　②
三、解答题
9．(源自苏教版教材)比较两数(a2＋1)2与a4＋a2＋1的大小．
10．(多选)下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋2>2a
B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋b2≥ab
D．(a＋3)(a－5)>(a＋2)(a－4)
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：各自先饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
12．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为________．
13．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝______时取得最小值．
14．(2022·广东深圳实验学校高中部月考)(1)已知a1，a2，b1，b2是实数，求证：
()≥(a1 b1 ＋ a2 b2 )2；
(2)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝2，求证：a2＋b2＋c2≥.
15．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
1．C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.故选C.]
2．C　[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.故选C.]
3．A　[M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故选A.]
4．B　[糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故a＋m,b＋m＞a,b．故选B.]
5．C　[用作商法比较，由题意x，y＞0，
∵＝,＝＜1，且y＞0∴x＜y.故选C.]
6．≤　[∵－＝＝≤0，∴≤．]
7．8(x＋19)>2 200　[因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车现在每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．]
8．(a2＋b2)>ab　[由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝ (a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即 (a2＋b2)>ab.]
9．解：因为(a2＋1)2－(a4＋a2＋1)
＝a4＋2a2＋1－a4－a2－1
＝a2.
当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2＝a4＋a2＋1；
当a≠0时，a2>0，所以(a2＋1)2>a4＋a2＋1.
10．ABC　[A中，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故A正确；B中，a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故B正确；C中，a2＋b2－ab＝a2－ab＋b2＋b2＝＋b2≥0，故C正确；D中，因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)·(a－4)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)，故D错误．]
11．A　[由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A.]
12．2≤d≤23　[最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长23．故2≤d≤23．]
13．2　±1　[根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立．]
14．证明：(1)(a21＋a22)(b21＋b22)－(a1b1＋a2b2)2
＝a21b21＋a21b22＋a22b21＋a22b22－a21b21－2a1b1a2b2－a22b22
＝a21b22＋a22b21－2a1b1a2b2＝(a1b2－a2b1)2≥0，
当且仅当a1b2－a2b1＝0时，取等号，
∴对任意实数a1，a2，b1，b2，
(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2成立.
(2)∵a＋b＋c＝2，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝4.
∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2
＝3(a2＋b2＋c2)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝4，
∴a2＋b2＋c2≥．
15．解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a0，于是>．又≥10%，因此>≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
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