辽宁省鞍山市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

鞍山市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学科试卷
一 选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知椭圆，则椭圆C离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知直线与圆相交于两点，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则两直线间距离为
D.当时，直线不过第三象限
5.椭圆内有一点，设该椭圆某条弦过点且以为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.下列命题中正确的是（ ）
A.对空间任意一点，不共线的三点，若（其中为实数），则四点共面
B.若，则存在唯一的实数，使
C.若空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D.若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为
7.设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥N-CME的体积不是定值
B.直线到平面的距离是
C.存在点，使得
D.面积的最小值是
二 多选题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选的对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.若椭圆的焦距为2，则（ ）
A.3 B.5 C.2 D.1
10.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，面，则（ ）
A.
B.与平面所成角为
C.二面角的余弦值为
D.直线与所成角的余弦值为
11.下列四个命题表述正确的是（ ）
A.倾斜角相等的两条直线，斜率也相等
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
C.曲线与曲线恰有三条公切线，则
D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则弦长度的最小值为
12.已知为坐标原点，分别为双曲线，的下 上焦点，的实轴长为6，且到双曲线渐近线的距离为为在第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的离心率为
C.
D.点到轴的距离为
三 填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则__________.
14.已知抛物线的方程为，若倾斜角为锐角的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且，则直线的倾斜角为__________.
15.若点在圆上，则的最小值为__________.
16.已知点在曲线上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为__________.
四 解答题（本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆C交于A B两点.
（1）求线段的长；
（2）若为椭圆左顶点，求的面积.
18.已知直线和圆
（1）若直线过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
19.如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20已知抛物线的焦点为，且经过点
（1）求抛物线C方程及其准线方程；
（2）过作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.
21.已知四棱锥的底面为菱形，且.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
22.已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点.
（1）求曲线的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）设点在直线上，过的两条不同的直线分别交曲线于和两点，且，求直线与直线的斜率之和.
高二数学期中考试答案
1-8CDBCDCBC
9.AB 10.ABD 11.BCD 12.AD
13. 16.5
17.解：（1）联立，或，
当时，，
当时，，不妨设，
（2）由得，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
18.解：（1）当直线过原点时，直线的方程是，
即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是
.
综上，所求直线的方程为或
（2）若过点的直线斜率不存在，则方程为
，此时圆心到直线的距离为
，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即
则圆心到直线的距离为
，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为
或.
19.（1）证明：连接，因为平面，
以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
20.（1）解：因为点在上，所以
，解得，
所以的方程为，准线方程为.
（2）证明：易知直线的斜率存在，设直线的方程
为，联立，
得，
设点，则.
直线的方程为，令，得
，所以.同理得
设以线段为直径的圆与轴的交点为，
则，
因为，则，即
，
所以，解得或.
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点
和.
21.（1）证明：取中点，连接如图，
因为底面为菱形，且，
所以为等边三角形，故，
因为，所以.
又因为平面，
所以平面，
平面，所以.
因为是的中点，所以.
（2）证明：因为，以分别为轴，轴，过作轴，
建立如图空间直角坐标系，
过作于点，由（1）得平面，，
平面，
所以平面，由
得：，
，
因为为正四面体，为的中心，有，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
同理可得平面的一个法向量为，
则.
所以二面角的正弦值为.
22.解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的右支，且，得，故曲线的方程为；
（2）设，由题意建立方程组，消去，得，
直线与双曲线右支交于两点，
则，
解得，所以的取值范围是.
（3）设且，
由题知，直线与直线的斜率都存在且不相等，
设直线的方程为.
联立消去并整理得.
又直线与曲线必有两个不同的交点，
所以，
所以.
由得
所以
.
设直线的方程为，
同理可得.
因为，即，
所以，所以或（舍去），
所以，即直线的斜率与直线的斜率之和为0.