安徽省“皖中联考”2023-2024学年高二上学期期中质检数学试题（含解析）

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安徽省“皖中联考”2023-2024学年高二上学期期中质检
数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.不存在
2.已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知分别为椭圆的左 右顶点，点在上，若是一内角为的等腰三角形，则（ ）
A. B.1 C. D.2
4.关于圆有四个命题：①点在圆内；②点在圆上；③圆心为；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
5.如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.点到直线的最大距离为（ ）
A. B. C.2 D.
7.在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
8.若圆与圆相切，则的最小值为（ ）
A. B. C.2 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则（ ）
A.直线的方程为
B.点到直线的距离为
C.为等腰直角三角形
D.的面积为5
10.已知曲线为椭圆，则（ ）
A.
B.若的焦点在轴上，则的焦距为
C.若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为
D.若的焦点在轴上，则的离心率为
11.已知圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，且相交于点，则（ ）
A.当在两坐标轴上截距相等时，的方程为或
B.点的轨迹方程为
C.当时，点的坐标为或
D.当时，直线的方程为或
12.已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲 乙 丙 丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论：
甲：当时，存在，使得；
乙：当时，存在，，使得；
丙：当时，满足的的关系为；
丁：当时，满足的点围成区域的面积为.
其中得出错误结论的同学有（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.小明研究一张坐标纸中四点的关系时，发现直线与的方向向量互相垂直，则__________.
14.两平行直线与之间的距离为__________.
15.如图，三棱柱的所有棱长均相等，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
16.已知分别为椭圆的左 右焦点，过轴上的点与的直线与交于点，且不在线段上，，则的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求点的坐标.
18.（12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，平面，.
（1）证明：四点共面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）
如图，直三棱柱的底面为等边三角形，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
在一公园内有一如图所示的绿化空地，为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点处建一个八角亭，点到直线的距离为，到直线的距离为，过再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线分别交于两点，其中，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题：
（1）求之间两路的长；
（2）在内部选一点，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆的方程.
21.（12分）
如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，.
（1）证明：平面平面；
（2）若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
22.（12分）
已知椭圆经过两点.
（1）求的方程；
（2）设为的上顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在点的下方，点在线段上，若，证明：.
参考答案及解析
一 选择题
1.A 【解析】因为平行于轴，
所以直线的倾斜角为.故选项.
2.D 【解析】由，得，解得3，
所以.故选D项.
3.C 【解析】由椭圆的对称性可知，为的上或下顶点，且，
如图所示.不妨设为的上顶点，所以，则.
故选C项.
4.D 【解析】若②③正确，则
所以，显然点在圆内，①正确，圆的半径为，④错误，符合题意；
若③④正确，则圆的方程为，显然点不在圆上，②错误，
点在圆外，①错误，不合题意；其他两命题组合无法确定圆的方程，
无法对剩余命题判断真伪.故选D项.
5.C 【解析】因为，
所以.又，
所以，所以.故选C项.
6.B 【解析】直线的方程
可化为，
由解得则直线恒过定点，
所以点到直线的最大距离为.故选B项.
7.C 【解析】取的中点分别为，连接，与交于点，
则，连接，则，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面.以为坐标原点，过作平行于的直线为轴，
在平面内过作垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，在等腰三角形中，
，易知梯形为等腰梯形，过作，则，则，则，
所以，
当时，取得最小值.故选C项.
8.B 【解析】由题得圆，
圆：.当圆与圆外切时，，所以，又，
当且仅当时等号成立，所以；当圆与圆内切时，
，所以，
又，当且仅当时等号成立，所以.
综上可知，的最小值为.故选B项.
二 选择题
9.ABC 【解析】直线的方程为，
整理得项正确；直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，则点到直线的距离为项正确；易知，
则，所以，又，所以，
所以为等腰直角三角形，项正确；
由上述可知，的面积为，D项错误.故选项.
10.BD 【解析】由题意可知
解得或项错误；当的焦点在轴上时，，所以的焦距为，B项正确；
当的焦点在轴上时，，所以，则，所以，则的短轴长的取值范围是，项错误；当的焦点在轴上时，，
所以的离心率为，项正确.故选BD项.
11.BCD 【解析】当不过原点时，设直线的方程为，
将代入解得，此时的方程为.
当过原点时，直线的方程为，此时为圆的一条直径，过分别
作圆的切线，则，不满足题意，A项错误；设，连接，则，所以以为直径的圆的方程为，即，与相减得直线的方程为，
又在直线上，则，所以，
因此点的轨迹方程为，B项正确；当时，点在圆上，联立解得或，所以点的坐标为或项正确；
设与的交点为，由图可知，所以，
即，所以，当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，由，得，
所以直线的方程为，当直线的斜率不存在时，
也满足题意，项正确，故选项.
12.ACD 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
由，
得，所以点为底面内一点（包含边界），
则，设.
对于甲同学，当时，，，
若，则，整理得，
显然方程无解，则点不存在，所以不存在，使得，A项正确；
对于乙同学，当时，，点关于平面的对称点为，则，连接，则，所以，所以存在点，使得，所以存在，使得，B项错误；
对于丙同学，当时，，由，得，即，所以点的轨迹为中平行于边的中位线，当为该中位线的中点时，，当不为该中位线的中点时，，C项正确；对于丁同学，当时，，由，得0，整理得，所以点的轨迹为正方形的内切圆，其区域的面积为，D项正确.故选项.
三 填空题
13.-5 【解析】由题意可知，整理得.
14. 【解析】由两直线与平行可知，
所以两直线之间的距离.
15. 【解析】设三棱柱的所有棱长均
为，由，
得，得，
又，所以.，又，
所以，故异面直线与所成角的余弦值为.
16. 【解析】如图，设，则.
由椭圆的定义可知，因为点在轴上，
分别为的左 右焦点，所以.由，
得，则，所以
.由，得，
整理得，则，所以，故.
四 解答题
17.解：（1）由解得
所以点的坐标为，
又为边的中点，所以，
又边上的高所在的直线方程为，
其斜率为-2，所以直线的斜率为，
所以边所在的直线方程为，
即.
（2）设关于直线方程对称的点为，
则解得，
则，
又角的平分线所在的直线方程为，
所以点在直线上，
所以直线的方程为，
即，
联立解得
故点的坐标为.
18.（1）证明：因为平面平面，
平面，
所以，
又四边形为正方形，所以.
以为坐标原点，所在直线分别为轴
轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，
得，
则.
所以，
，
设，
则解得，
所以，
故四点共面.
（2）解：设平面的法向量为，
由得
取，则，
又，
所以点到平面的距离
.
19.（1）证明：连接，则.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，
以过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
，
因为，
所以，所以，
因为平面平面，
所以平面.
（2）解：过点作，垂足为，易知，
因为平面平面，
所以平面，
由，得
，
即，所以，
则，
.
设平面的法向量为，
由得
令，则，
设平面的法向量为，
由得
令，则，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）因为，
所以直线的方程为，
由点到直线的距离为，可设点
由题意可知，
解得，
所以，
又，则，
所以的方程为，
由解得
则，
故之间甬路的长为
.
（2）由（1）可知，，
当喷洒区域面积最大时，圆与直线均相切，
易知的内切圆的圆心在的平分线上，
则在直线上.
设圆心，则半径，
由，
得
所以，
因此喷洒区域的最大面积.
则圆心，半径，
所以圆的方程为.
21.（1）证明：连接与交于点，连接，
则，
又分别为的中点，所以，
则，
因为，
所以平面，
又平面，所以，
在菱形中，，
则在中，由余弦定理得
，
因为，所以，
则，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，
过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
由（1）可知，平面平面，易知，
所以，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设，
则，
设与平面所成角为，
显然当时，，不满足题意，
所以，所以，
所以
，
当，即时，取得最大值为.
22.（1）解：由题意可知
解得或（舍去），
故的方程为.
（2）证明：由（1）可知，设，
，直线的方程为，
联立得，
则，
所以，
.
由，得，
所以，则，
所以点在线段的垂直平分线上，
即.
易知，设，
所以，
则.①
又在直线上，所以，
则，
所以，
则，
整理得，②
由①②得，所以，则，
所以，
故.