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课时达标·效果检测
一、选择题
1.(2014·大连高二检测)弹簧振子在做简谐振动的过程中,振子通过平衡位置时
( )
A.速度值最大 B.回复力的值最大
C.加速度值最大 D.位移最大
【解析】选A。振子通过平衡位置时速度最大,回复力、加速度、位移都为零,故只有A项正确。
2.对于弹簧振子的回复力与位移的关系图像,下列图像中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】选C。根据公式F=-kx,可判断回复力与位移的关系图像是一条直线,斜率为负值,故C正确。
3.如图所示,在水平方向上振动的弹簧振子的受力情况是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.重力、支持力和弹簧的弹力
B.重力、支持力、弹簧的弹力和回复力
C.重力、支持力和回复力
D.重力、支持力、摩擦力和回复力
【解析】选A。回复力是按力的作用效果命名 ( http: / / www.21cnjy.com )的,不是性质力,在对物体进行受力分析时是对性质力进行分析,因此不能添加上回复力。回复力可以是几个力的合力,也可以是某个力的分力,故选项B、C、D错误,选项A正确。
4.如图为一弹簧振子的振动图像,由此可知( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大
B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小
C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小
D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大
【解析】选B。由图知t1和t3时刻,振子分 ( http: / / www.21cnjy.com )别处于正向最大位移和负向最大位移处,速度为零,动能为零;弹簧形变最大,振子所受弹力最大。可见选项A、C均错。由图知t2和t4时刻,振子处于平衡位置,速度最大,动能最大;弹簧无形变(弹簧水平放置,振子在水平方向振动时),振子所受弹力最小。可见选项B正确,选项D是错误的。
5.做简谐运动的弹簧振子质量为0.2kg, ( http: / / www.21cnjy.com )当它运动到平衡位置左侧20cm时受到的回复力是4N;当它运动到平衡位置右侧40cm时,它的加速度为( )
A.20m/s2,向右 B.20m/s2,向左
C.40m/s2,向右 D.40m/s2,向左
【解析】选D。加速度方向指向平衡位置,因此方向向左。由力和位移的大小关系F=kx可知,当x=40cm时,F=8N,a==40m/s2。
二、非选择题
6.如图所示,光滑的水平面上放有一弹簧振子,轻弹簧右端固定在滑块上,已知滑块质量m=0.5kg,弹簧劲度系数k=240N/m,将滑块从平衡位置O向左平移,将弹簧压缩5cm,静止释放后滑块在A、B间滑动,则:
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(1)滑块加速度最大是在A、B、O三点中哪点 此时滑块加速度多大
(2)滑块速度最大是在A、B、O三点中哪点 此时滑块速度多大 (假设整个系统具有的最大弹性势能为0. 3J)
【解析】(1)由于简谐运动的加速度a==-x,故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点,加速度大小a=x=×0.05m/s2=24m/s2。
(2)在平衡位置O滑块的速度最大。
根据机械能守恒,有Epm=m
故vm==m/s=1.1m/s。
答案:(1)A点或B点 24m/s2 (2)O点 1.1m/s
一、选择题
1.(2014·湖南师大附中高二检测)如图为某个弹簧振子做简谐运动的图像,由图像可知( )
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A.由于在0.1s末振幅为零,所以振子的振动能量为零
B.在0.2s末振子具有最大势能
C.在0.4s末振子具有的能量尚未达到最大值
D.在0.4s末振子的动能最大
【解析】选B。简谐运动的能量是守恒的,故A、C错;0.2s末、0.4s末位移最大,动能为零,势能最大,故B对,D错。
2.(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法中正确的是
( )
A.振子在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等,弹性势能相等
B.振子从最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧弹力始终做负功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D.振子在运动过程中,系统的机械能守恒
【解题指南】解答本题时应注意以下问题:
(1)先画草图,正确理解运动情景。
(2)找到平衡位置,分析振子受力以及弹簧所处的状态。
(3)速度相同时的两个位置一定关于平衡位置对称。
(4)分析弹力做功时要明确弹力方向与运动方向的关系,分析总的机械能时要注意守恒的条件。
【解析】选C、D。振子在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时弹簧长度明显不等,A错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对振子施加的力指向平衡位置,做正功,B错;振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒,故C、D对。
3.(2014·淄博高二检测)如图所示,图甲为以O点为平衡位置,在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为该弹簧振子的振动图像,由图可知下列说法中正确的是( )
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A.在t=0.2s时,弹簧振子可能运动到B位置
B.在t=0.1s与t=0.3s两个时刻,弹簧振子的速度相同
C.从t=0到t=0.2s的时间内,弹簧振子的动能持续地增加
D.在t=0.2s与t=0.6s两个时刻,弹簧振子的加速度相同
【解析】选A。t=0.2s时,振子的位移为正的最大,但由于没有规定正方向,所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点,A正确。t=0.1s时速度为正,t=0.3s时速度为负,两者方向相反,B错。从t=0到t=0.2s的时间内,弹簧振子远离平衡位置,速度减小,动能减小,C错。t=0.2s与t=0.6s两个时刻,位移大小相等,方向相反,故加速度大小相等,方向相反,D错。
4.(多选)甲、乙两弹簧振子,振动图像如图所示,则可知( )
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A.两弹簧振子完全相同
B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C.振子甲速度为零时,振子乙速度最大
D.振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
【解析】选C、D。由题图可知f甲∶f乙=1∶2,因此振子不相同,A选项不正确,D选项正确。由图可知C正确。因F甲=k甲x甲,F乙=k乙x乙,由于k甲和k乙关系未知,因此无法判断出F甲∶F乙=2∶1,所以B不正确。
【变式训练】在水平方向上做简谐运动的质点,其振动图像如图所示。假设向右的方向为正方向,则物体的位移向左且速度向右的时间段是( )
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A.0～1s内 B.1～2s内
C.2～3s内 D.3～4s内
【解析】选D。由于规定向右 ( http: / / www.21cnjy.com )为正方向,则位移向左表示位移与规定的正方向相反,这段时间应为2～3s内或3～4s内。因为要求速度向右,因此速度应为正,则满足条件的时间间隔为3～4s内,D正确。
二、非选择题
5.如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M。
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(1)简谐运动的能量取决于 ,本题中物体振动时 能和
能相互转化,总 守恒。
(2)关于振子的振动过程有以下说法,其中正确的是 。
A.振子在平衡位置,动能最大,势能最小
B.振子在最大位移处,势能最大,动能最小
C.振子在向平衡位置运动时,由于振子振幅减小,故总机械能减小
D.在任意时刻,动能与势能之和保持不变
【解题指南】(1)简谐运动是一种无能量损失的振动,它只是动能与势能间的转化,总机械能守恒。
(2)其能量只由振幅决定,即振幅不变,振动系统的能量不变。
【解析】(1)简谐运动的能量取决于振幅 ( http: / / www.21cnjy.com ),本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化,总机械能守恒。(2)振子在平衡位置两侧往复振动,在最大位移处速度为零,动能为零,此时弹簧的形变量最大,势能最大,所以B正确;在任意时刻只有弹簧的弹力做功,所以机械能守恒,D正确;到平衡位置处速度达到最大,动能最大,势能最小,所以A正确;振幅的大小与振子的位置无关,所以选项C错误。
答案:(1)振幅 动 弹性势 机械能 (2)A、B、D
6.两根质量均可不计的弹簧,劲度系数分别为k1、k2,它们与一个质量为m的小球组成弹簧振子,静止时,两弹簧均处于原长,如图所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
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【解析】以平衡位置为坐标原点建立坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标轴,设左右两边弹簧的弹力分别为F1、F2,振子在平衡位置时F合=F1+F2=0,当振子离开平衡位置时,因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的力。设离开平衡位置的正位移为x,则振子所受的合力为F=-(k1x+k2x)=-(k1+k2)x=-kx。所以,弹簧振子的运动为简谐运动。
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【总结提升】简谐运动的证明过程
要证明一个物体的实际运动过程是一个简谐运动过程,可以按以下步骤进行:
(1)首先找到它的平衡位置,即物体在此处能长期静止的位置。
(2)对物体在平衡位置进行受力分析,依据平衡条件列出力的关系式。
(3)当物体离开平衡位置时,假设离开平衡位置的位移为x。
(4)对物体在该位置进行受力分析,求其合力表达式。
(5)对上面得到的两个关系式进行整理,最终得到F=-kx的形式,也就证明了物体的运动是简谐运动。
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3 简谐运动的回复力和能量
学习
目标 1.理解简谐运动的运动规律,掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。
2.掌握简谐运动回复力的特征。
3.对水平的弹簧振子,能定性地说明弹性势能与动能的转化过程。
一、简谐运动的回复力
1.回复力:
项 目 内 容
定 义 振动质点受到的总能使其回到_________的力
方 向 指向_________
表达式 F=____
平衡位置
平衡位置
-kx
2.简谐运动的动力学特征:如果质点所受的力与它偏离平衡位
置位移的大小成_____,并且总是指向_________,质点的运动就
是简谐运动。
正比
平衡位置
【自我思悟】
1.弹簧振子在平衡位置时受力有何特点
提示:水平弹簧振子和竖直弹簧振子在平衡位置时所受合外力都为零,均处于平衡状态。
2.通过对弹簧振子受力情况的分析,思考弹簧振子的加速度有何特点
提示:根据牛顿第二定律得,弹簧振子的加速度
即弹簧振子的加速度与位移成正比,方向与位移的方向相反(即总是指向平衡位置)。
二、简谐运动的能量
1.振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系:
弹簧振子运动的过程就是_____和_____互相转化的过程。
(1)在最大位移处,_____最大,_____为零。
(2)在平衡位置处,_____最大,_____最小。
2.简谐运动的能量特点:在简谐运动中,振动系统的机械能___
___,而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种
_______的模型。
动能
势能
势能
动能
动能
势能
守
恒
理想化
【自我思悟】
1.为什么说简谐运动中机械能守恒
提示:在简谐运动中忽略了空气阻力和各种摩擦力,只有重力和系统弹力做功,所以机械能守恒。
2.在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有几个 动能最大的位置有几个
提示:在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有两个,分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个,就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。
【盲区扫描】
1.回复力是效果力不是性质力。
2.回复力的方向总是与位移的方向相反。
3.回复力的方向与速度方向可能相同,也可能相反,振子加速运动时相同,减速运动时相反。
4.回复力F＝－kx和加速度a＝ x是简谐运动的动力学特征和运动学特征。
5.在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化。
6.振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
一、对回复力和加速度的理解 深化理解
1.回复力的来源:
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
2.关于k值:公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
3.加速度的特点：根据牛顿第二定律得 表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
【微思考】
(1)弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力如何变化 从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢
提示:由回复力F=-kx可知:从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力逐渐增大,方向一直指向平衡位置。从最大位移处向平衡位置运动的过程中,回复力逐渐减小,方向一直指向平衡位置。
(2)怎样证明某一个振动是否为简谐运动
提示:只要机械振动的回复力满足F=-kx,此振动即为简谐运动。
【题组通关】
【示范题】如图所示,挂在竖直弹簧下面的小球,用手向下拉一段距离,然后放手,小球上下振动。试判断小球的运动是否为简谐运动。
【解题探究】(1)弹簧的弹力是否等于小球的回复力
提示:不等于。小球的回复力应等于弹簧弹力和小球重力的合力。
(2)小球的位移大小是否等于弹簧的伸缩量
提示:不相等,平衡位置是回复力为零的位置,不是弹簧弹力为零的位置,因此小球的位移大小不等于弹簧的伸缩量。
【规范解答】小球静止时的位置为其运动时的平衡位置,设此时弹簧伸长量为x0,由力的平衡条件可知kx0=mg,向下再拉长x,释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为:F=k(x+x0)-mg=kx,考虑到力的方向和位移方向的关系,应有:F=-kx。由此可见,小球的运动为简谐运动。
【通关1+1】
1.关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是( )
A.可以是恒力
B.可以是方向不变而大小变化的力
C.可以是大小不变而方向改变的力
D.一定是变力
【解析】选D。回复力特指使振动物体回到平衡位置的力,对简谐运动而言,其大小必与位移大小成正比,故D正确。
2.(多选)如图所示,物体m系在两弹簧之间,
弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,
两弹簧均处于自然状态,今向右拉动m,然后
释放,物体在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),则下列判断正确的是( )
A.m做简谐运动,OC=OB B.m做简谐运动,OC≠OB
C.回复力F=-kx D.回复力F=-3kx
【解析】选A、D。两弹簧为原长时,m所受的合力为零,此位置为平衡位置。设将m向右拉x,则弹簧1对m产生拉力F1=k1x=kx,弹簧2对m产生压力F2=k2x=2kx,二力均指向平衡位置,合力为回复力,大小为F=F1+F2=3kx,方向与位移方向相反,所以m做简谐运动。回复力F=-3kx,且简谐运动正、负最大位移大小相等,则OC=OB。故A、D正确。
【变式训练】1.关于简谐运动以下说法正确的是( )
A.简谐运动公式F=-kx中k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的原长
B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向有时相同,有时相反
C.做简谐运动的物体每次经过同一位置时速度一定相同
D.做简谐运动的物体速度方向与位移方向有时相同,有时相反
【解析】选D。公式F=-kx中的k是指回复力正比于位移的比例系数,x指振子离开平衡位置的位移,A错;加速度方向始终与回复力方向相同,故加速度方向与位移方向总相反,B错;物体经过同一位置时,可能向平衡位置运动,也可能远离平衡位置运动,速度方向与位移方向可能相同,也可能相反,C错、D对。
2.如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A
与B一起做简谐运动的过程中,关于A受力说
法中正确的是( )
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
【解析】选D。物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用。摩擦力提供回复力,所以其大小和方向都随时间变化,D选项正确。
【素养升华】
判定是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点,沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外),对振动物体进
行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解,求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合
F=-kx(或a=- x),若符合,则为简谐运动,否则不是简谐运动。
二、简谐运动中各个物理量的变化规律 规律方法
1.根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下:
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位 移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速 度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.各个物理量对应关系不同:位置不同,位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。
【微思考】
(1)简谐运动中在最大位移处和平衡位置处各物理量的特点是什么
提示:在最大位移处,x、F、a、Ep最大,v=0,Ek=0;在平衡位置处,x=0,F=0,a=0,Ep最小但不一定为零,v、Ek最大。
(2)对竖直弹簧振子来说,振动能量包含哪几种形式的能量
提示:动能、弹性势能、重力势能。
【题组通关】
【示范题】(多选)如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是( )
时刻
状态
物理量 0 T/4 T/2 3T/4 T
甲 零 正向
最大 零 负向
最大 零
乙 零 负向
最大 零 正向
最大 零
丙 正向
最大 零 负向
最大 零 正向
最大
丁 负向
最大 零 正向
最大 零 负向
最大
A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v
B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v
C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v
D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v
【解题探究】(1)做简谐运动的物体运动到关于平衡位置对称的两点时,描述运动的各物理量有什么特点
提示:关于平衡位置对称的这两点速度、加速度、回复力、位移的大小分别相等。
(2)做简谐运动的物体从平衡位置向最大位移处移动时,v、x、a、F的大小怎样变化
提示:速度减小、位移增大、加速度和回复力增大。
【规范解答】选A、B。本题可结合如图
所示的弹簧振子的振动情况具体分析。
在振子从平衡位置(t=0)向右(正方向)运动到正向最大位移的
过程中,其速度为正且由最大值减小到零,A正确;在振子从负向
最大位移处运动,经 周期回到平衡位置时,振子向右运动,速
度为正且增大,B正确;若振子从正向最大位移向平衡位置运动
时,振子的速度为负且逐渐增大,C错误;若振子从平衡位置向负
向最大位移处运动,则振子的速度为负且逐渐减小,D错误。
【通关1+1】
1.(多选)关于质点做简谐运动,下列说法中正确的是( )
A.在某一时刻,它的速度与回复力的方向相同,与位移的方向相反
B.在某一时刻,它的速度、位移和加速度的方向都相同
C.在某一段时间内,它的回复力的大小增大,动能也增大
D.在某一段时间内,它的势能减小,加速度的大小也减小
【解析】选A、D。如图,设O为质点做
简谐运动的平衡位置,它由C经过O到B,
又由B经过O到C一个周期内,由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的,且质点由B到O和由C到O的过程中,速度的方向与回复力的方向相同,A正确。质点的位移方向与加速度方向总相反,B不正确。质点振动过程中,当回复力增大时,其势能增加,根据机械能守恒定律,其动能必然减小,C不正确。当质点的势能减小时,如从C到O或从B到O阶段,回复力减小,势能减小,质点的加速度大小也减小,D正确。
2.(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像,下列说法中正确的是( )
A.物体在0.2s时与0.4s时的速度相同
B.物体在0.6s时与0.4s时的动能相同
C.0.7～0.9s时间内物体的加速度在减小
D.0.9～1.1s时间内物体的势能在增加
【解析】选A、B。0.2s时刻与0.4s时刻关于平衡位置对称,速度相同,A对;0.6s时刻与0.4s时刻在同一位置,动能相同,B对; 0.7～0.9s时间内位移增大,则加速度增大,C错;0.9～1.1s时间内物体的位移减小,则势能在减小,D错。
【变式训练】1.(多选)(2014·锦州高二检测)关于简谐运动,以下说法中正确的是( )
A.回复力总指向平衡位置
B.加速度、速度方向永远一致
C.在平衡位置加速度、速度均达到最大值
D.在平衡位置速度达到最大值,而加速度为零
【解析】选A、D。回复力是把物体拉回到平衡位置的力,A对;
加速度方向始终指向平衡位置,速度方向可能指向平衡位置,也
可能远离平衡位置,B错误;平衡位置位移为零,据a= 知加
速度为零,势能最小,动能最大,速度最大,C错,D对。
2.(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体轻放到M的上面,且m和M间无相对运动地一起运动,下列叙述正确的是( )
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减少
【解析】选A、C。m在最大位移处轻放在M上,说明m刚放上时动能为0,m放上前后振幅没改变,振动系统机械能总量不变。振子运动到B点时速度恰为0,此时放上m,系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能,由于简谐运动中机械能守恒,所以振幅保持不变。因此选项A正确,B错误。由于机械能守恒,最大动能不变,所以选项C正确,D错误。
【素养升华】
对简谐运动能量的深刻认识
(1)决定因素:对于一个确定的振动系统,简谐运动的能量由振幅决定,振幅越大,系统的能量越大。
(2)能量获得:系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
(3)能量转化:当振动系统自由振动后,如果不考虑阻力作用,系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒。
(4)理想化模型:①从力的角度分析,简谐运动没考虑摩擦阻力。②从能量转化角度分析,简谐运动没考虑因阻力做功产生的能量损耗。
三、简谐运动的三大特征 深化理解
1.瞬时性:做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置,对
应不同的位移,由F=-kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得
可知加速度a也不相同,也就是说a、F、x具有瞬时对
应性。
2.对称性:
(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时,加速度(回复力)大小相等,速度大小相等,动能相等,势能相等。
(2)对称性还表现在时间的相等上,如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时,到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
3.周期性:简谐运动是一种往复的周期性运动,按其周期性可作如下判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。
(2)若t2-t1=nT+ ,则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
【微思考】
(1)做简谐运动的物体每次经过同一位置时,加速度和速度有什么特点
提示:物体经过同一位置时,位移相同,回复力相同,所以加速度相同;速度的大小一定相同,方向可能不同。
(2)做简谐运动的物体从某一位置出发,经过时间Δt又回到了初位置,则Δt是否等于周期T的整数倍,即Δt=nT
提示:不一定。即Δt=nT不一定成立,物体经过nT一定回到初位置,但物体从出发到再回到初位置经历的时间不一定是nT。
【题组通关】
【示范题】如图所示,A、B叠放在光滑水
平地面上,B与自由长度为L0的轻弹簧相连,
当系统振动时,A、B始终无相对滑动,已知mA=3m,mB=m,当振子
距平衡位置的位移x的大小为 时,系统的加速度大小为a,求
A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系。
【解题探究】(1)系统做简谐运动时,物体A和物体B各自做什么运动 它们的加速度、回复力是否等于系统的加速度和回复力
提示:A、B两个物体均做简谐运动,加速度和系统的加速度相同,回复力不同。
(2)物体A的回复力由哪个力来提供 A、B间的摩擦力是否为恒力
提示:物体B对A的静摩擦力提供A的回复力,摩擦力的大小满足|Ff|=|kx|。
【规范解答】设弹簧的劲度系数为k,以A、B整体为研究对象,
系统在水平方向上做简谐运动,其中弹簧的弹力作为系统的回
复力,所以对系统运动到距平衡位置 时,有k =(mA+mB)a,
由此得k= 。
当系统的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、B具有共
同加速度a′,对系统有
-kx=(mA+mB)a′, ①
k= , ②
对A有Ff=mAa′, ③
结合①②③有Ff=- x。
答案:Ff=- x
【通关1+1】
1.一个质点做简谐运动的图像如图所示,在t1和t2这两个时刻,质点的( )
A.加速度相同 B.速度相同
C.回复力相同 D.位移相同
【解析】选B。做简谐运动的质点具有对称性,关于平衡位置对称的两点处,加速度、回复力、位移大小分别相等,但方向相反,故选项A、C、D错;速度大小相等,且从图像中可知,t1、t2两时刻速度方向均为正方向,选项B对。
2.质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连,将它们
竖立在水平面上,如图所示。现在用竖直向下
的压力压m1,使它们处于静止状态。突然撤去
压力,当m1上升到最高点时,m2对地压力恰好为
零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少 (提示:撤去力后m1上下做简谐运动)
【解析】当m1运动到最高点时,m2对地压力恰好为零,则此时弹
簧弹力为m2g。所以m1简谐运动最大加速度am= ;根据
简谐运动对称性可知,突然撤去压力时m1向上加速度也是:am=
;
则:压力F=m1am=(m1+m2)g
答案:(m1+m2)g
【变式训练】1.如图所示，在光滑水平面
上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，
开始振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此
时拉力大小为F。振子从静止释放后向左运动，经过时间t后第
一次到达平衡位置O点处，此时振子的速度为v，在这个过程中
振子的平均速度大小( )
A.等于v B.等于 C.等于 D.小于
【解析】选C。只考虑F、x的大小关系，由回
复力公式F=kx知OA间的位移为 由平均
速度的定义知 故C正确，振子由A
到O的运动不是匀变速运动，如图所示，平均速度的大小用v来
表示应为大于 ，选项A、B、D错误。
2．(2014·和平区高二检测)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t＝0，其振动图像如图所示，则( )
A．t＝ T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝ T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝ T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝ T时，货物对车厢底板的压力最小
【解析】选C。货物做简谐运动,合力的方向总指向平衡位置且回复力跟位移的大小成正比,货物受到重力和车厢地板的支持力作用,那么当货物位于平衡位置下方时FN=mg+k|x|;当货物位于平衡位置上方时,有FN=mg-kx,所以在正向最大位移处,对车厢底板的压力最小,在负向最大位移处,对车厢底板的压力最大,C正确。
【资源平台】对简谐运动的性质的理解
【示范题】一轻质弹簧竖直立在地面上,
其劲度系数k=400N/m,弹簧的上端与空心
物体A连接,物体B置于A内,B的上下表面恰
好与A接触,如图所示。A和B的质量均为1kg,先将A向上抬高,使弹簧伸长5cm后从静止释放,A和B一起做竖直方向的简谐运动,已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变的大小,求:(g取10m/s2,阻力不计)
(1)物体A的振幅。
(2)B的最大速度。
【标准解答】(1)物体A在平衡位置时,所受合外力为零,设此时
弹簧被压缩Δx,则有(mA+mB)g=kΔx,得Δx=(mA+mB)g/k=0.05m=5cm。开始释放时物体A处在最大位移
处,故振幅h=5cm+5cm=10cm。
(2)设物体B的最大速率为v,因为初始位置与平衡位置的弹性势
能相等,故从初始位置到平衡位置,根据机械能守恒定律有mgh
= mv2,v= ≈1.4m/s,即B的最大速度为1.4m/s。
答案:(1)10cm (2)1.4m/s
