河北省保定市六校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

保定市六校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
2.过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线的右焦点为，直线过点，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为
C.双曲线的实轴长为
D.双曲线的顶点坐标为
5.加斯帕尔 蒙日是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A.椭圆的离心率为
B.若为正方形，则的边长为
C.椭圆的蒙日圆方程为
D.长方形的面积的最大值为14
6.已知椭圆的左 右焦点分别为，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A.3 B. C.9 D.6
8.下列命题中，是假命题的是（ ）
①若直线与直线平行，则的值为或0；
②若为双曲线上两点，则可以是线段的中点；
③经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示；
④向量的夹角为钝角时，实数的取值范围是.
A.①④ B.③④ C.①②④ D.②④
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中是假命题的是（ ）
A.若为空间的一个基底，则不能构成空间的另一个基底
B.若非零向量与平面内一个非零向量平行，则所在直线与平面也平行
C.若平面的法向量分别为，则
D.已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则
10.若点是圆上任意一点，则点到直线的距离可以为（ ）
A.0 B. C.3 D.5
11.已知椭圆的两个焦点分别为为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A.若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12
B.椭圆上存在点，使得
C.若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为
D.若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9
12.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，为的中点，且平面平面是线段上的一点，则以下说法正确的是（ ）
A.
B.
C.若点为线段的中点，则直线平面
若，则直线与平面所成角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为__________.
14.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________.
15.如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则线段的长为__________.
16.某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到两村的路程之和的最小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）如果把倍改成倍，求点的轨迹.
18.（本小题满分12分）
已知椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，求的最小值.
19.（本小题满分12分）
如图，已知正方体的棱长为是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和底面夹角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切.
（1）求的“欧拉线”方程；
（2）若圆与圆有公共点，求的范围；
（3）若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的斜率；
（3）若点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值.
22.（本小题满分12分）
已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设的右焦点为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，若在第一象限，且与轴垂直，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
保定市六校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
参考答案 提示及评分细则
1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C
9.BCD 10.ABC 11.BC 12.BCD
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）设点的坐标为，由，
得，化简得，
即.
（2）设点的坐标为，由，得，
化简得，
当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线；
当且时，方程可化为，
点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
18.解：由题意得，解得，
所以椭圆方程为，
因为，
所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，
因为，所以点为线段的中点，
设，则，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以直线为，即，
因为为直线上任意一点，
所以的最小值为点到直线的距离.
19.（1）证明：以点为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
所以，所以，
又平面，因此平面.
（用几何方法证明 情给分）
（2）解：设平面的法向量为，
，则
取，可得，
又，则点到平面的距离为.
（3）解：平面的一个法向量为，
所以平面和底面夹角的正弦值为.
20.解：（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心 重心 垂心均在边的垂直平分线上，设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，
由可得：的中点，即，所以，
故的方程为.
（2）因为与圆相切，故，
圆的圆心坐标为，半径，则要想圆与圆有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故，
所以.
（3）因为，
所以该式子是表示点到点 点的距离之和，
又，所以上述式子表示直线上的点到点 点的距离之和的最小值.设点关于直线的对称点为，则有解得，即.
所以，所以直线上的点到点 点的距离之和的最小值为.
21.解：（1）设圆的圆心为，半径为，
因为圆与直线相切，所以.
又直线被圆截得的弦长为，
所以，解得
即圆心坐标为，所以圆的方程为.
（2）依题意，即为坐标原点，且，则点到的距离为1，于是，
解得，所以直线的斜率为.
（3）由切线长定理可得，又因为，
所以，
所以四边形的面积，
因为，当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为.
22.解：（1）设，因为点在曲线上，
所以，
因为，所以代入可得，
即，即的方程为.
（2）由（1）知，的右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，
化简得.
由消去整理，得，
，
由根与系数的关系得：，
代入式得：，解得.
所以直线的方程为.
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：.
设点到直线的距离为，则，
所以.
方法二：由题意可知
，
代入消去，
得
所以，
所以.