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第五章 三角函数
探究课3 振幅、周期、频率、相位与三角函数的应用
1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．
2．我们听到的声音的函数是
y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x
＋sin 4x＋…．
3．几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波．
【典例】 (多选)音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是( )
A．函数F(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋…＋sin 100x不具有奇偶性
B．函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x 在区间上单调递增
C．若某声音甲的函数近似为f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x，则声音甲的响度一定比纯音h(x)＝sin 2x的响度大
D．若声音乙的函数近似为g(x)＝sin x＋sin 2x，则声音乙一定比纯音m(x)＝sin 3x低沉
√
√
√
BCD [F(－x)＝sin (－x)＋sin (－2x)＋sin (－3x)＋sin (－4x)＋…＋sin (－100x)＝－F(x)，
所以F(x)为奇函数，A错误；
当x∈时，2x∈，3x∈，4x∈，
故y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin 4x在上均为增函数，
故f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x在区间上单调递增，B正确；
h(x)＝sin 2x的振幅为，f ＝1＋0－＋0＝，则f (x)max≥，
所以f (x)的振幅大于h(x)的振幅，故声音甲的响度一定比纯音h(x)的响度大，C正确；
易知g(x)的周期为2π，则其频率为，m(x)的周期为，则其频率为，由，得声音乙比纯音m(x)低沉，D正确．故选BCD．]
1．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线y＝A cos (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ2π)的振幅为1，周期为2π，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
√
A [因为噪声的声波曲线y＝A cos (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ2π)的振幅为1，则A＝1，周期为2π，则ω＝＝1，初相位为，即φ＝，
所以噪声的声波曲线的解析式为y＝cos ＝－sin x，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝sin x．故选A．]
2．(源自北师大版教材)已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1＝sin ωt，I2＝2sin ，I3＝4sin ，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间．求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅．
[解] 将三个电流瞬时值的函数解析式化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)的形式．
由两角和与差的正弦公式有I＝I1＋I2＋I3
＝sin ωt＋2sin ＋4sin
＝sin ωt＋2＋4
＝4sin ωt＋cos ωt＝
＝(sin ωt cos θ＋cos ωt sin θ)＝sin (ωt＋θ)，
其中tan θ＝．θ在第一象限．所以I＝sin (ωt＋θ)，且它的振幅是．(共17张PPT)
第五章 三角函数
微专题3 三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，需要进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型．掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决．
类型1 y＝A sin (ωx＋φ)＋B型的最值问题
【例1】 已知函数f (x)＝2sin2－cos 2x．
(1)求f (x)在x∈的最小值；
[解] ∵f (x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos －cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin ＋1．
又∵x∈，∴≤2x－≤，
即2≤1＋2sin ≤3，∴f (x)max＝3，f (x)min＝2．
【例1】 已知函数f (x)＝2sin2－cos 2x．
(2)若不等式f (x)－m2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
[解] ∵f (x)－m2 f (x)－2m，
∵x∈，且f (x)max＝3，
∴m>f (x)max－2＝1，
∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)．
类型2 y＝f (sin x或cos x)型的值域问题
【例2】 (2022·河南濮阳期末)已知函数f (x)＝cos 2x －2a cos x－2a的最小值为f (a)，且f (a)＝．(1)求a的值；
[解] 由f (x)＝cos 2x－2a cos x－2a得f (x)＝2cos2x－2a cosx－(2a＋1)，
令cos x＝t，t∈[－1，1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，对称轴为t＝．
①当－1，即a－2时，函数在[－1，1]上单调递增，ymin＝1．
②当>1，即a>2时，函数在[－1，1]上单调递减，ymin＝－4a＋1．
③当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，函数在上单调递减，在上单调递增，ymin＝－－2a－1．
∴y＝f (x)的最小值f (a)＝
令f (a)＝，解得a＝－1．
【例2】 (2022·河南濮阳期末)已知函数f (x)＝cos 2x －2a cos x－2a的最小值为f (a)，且f (a)＝．(2)求函数f (x)的最大值．
[解] 由(1)知当a＝－1时，函数y＝2t2＋2t＋1在 上单调递减，在 上单调递增，
又当t＝－1时，y＝1 ；当t＝1时，y＝5．
所以f (x)的最大值为5．
类型3 含sin x±cos x，sin x cos x的最值问题
【例3】 已知函数f (x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，则( )
A．f (x)的最大值为3，最小值为1
B．f (x)的最大值为3，最小值为－1
C．f (x)的最大值为3＋，最小值为
D．f (x)的最大值为3＋，最小值为3－
√
C [因为函数f (x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，
设sin x＋cos x＝sin ＝t，t∈[－，]，
则2sin x cos x＝t2－1，
所以y＝t2＋t＋1＝＋，t∈，
当t＝－时，f (t)min＝；当t＝时，f (t)max＝3＋．
故选C．]
类型4 已知最值求参数范围
【例4】 (1)已知函数f (x)＝2sin ωx cos2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A． B． C． D．
√
B f (x)＝2sin ωx·cos2－sin2ωx
＝sinωx－sin2ωx
＝sinωx＋sin2ωx－sin2ωx＝sinωx．
因为f (x)在区间上是增函数，
所以 解得ω≤，
由ωx＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋(1＋4k)时，取得最大值1，
因为在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，
所以k＝0，0≤≤π，所以ω≥，
所以ω的取值范围是≤ω≤．故选B．
(2)已知函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)(其中ω>0，－ππ)，若函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f ＝－f ，则实数φ的取值范围是___________．
x∈时，函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，
且满足f ＝－f ，
故－，此时ω＝＝2，
解得(2x＋φ)∈，
函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且－ππ，
由三角函数图象可知x1＝－＋φ与x2＝＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，
故则－≤φ≤．
类型5 实际问题中的最值
【例5】 (2022·河北辛集中学月考)广场大屏幕每日会直播19：00的新闻联播，已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远处，可以获得观看的最佳视野？(最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值)
[解] 如图所示，
由题意知：AB＝3，BD＝3.5－1.5＝2，
设CD＝t，则tan ∠BCD＝，tan ∠ACD＝，
∴tan ∠ACB＝≤，
当且仅当t＝，即t＝时取等号．
∵∠ACB∈，∴当CD＝米时，可以获得观看的最佳视野．
