2015年3月山东省枣庄市峄城区左庄中学九年级数学测试试题(附答案及评分标准）

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．的倒数是（　　）
A．1 B． C． D．0
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
4．下列各式化简结果为无理数的是
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B=40°，则∠D的度数是
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A．40° B．140° C．160° D．60°
6．下列几何体中，俯视图相同的是
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A．① ② ③ B．① ③ ④ C．① ② ④ D．② ③ ④
7．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3 = 60°，则∠1+∠2=
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A．80°　　　 B．90°　　　 C．120° D．180°
8．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是
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A．矩形 　 B．菱形 　 C．正方形 D．梯形
9．已知关于的方程，下列说法正确的是
A．当时，方程无解
B．当时，方程有两个相等的实数解
C．当时，方程有一个实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
10．我区某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班
人数 52 60 62 54 58 62
A．平均数是60 B．中位数是59 C．极差是40 D．众数是58
11．如图，直线y=x+a－5与双曲线y=交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为
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A．0 B．1 C．2 D．5
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于 点E，且AE∥CD，则AD的长为
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A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把每小题的答案填在答题卡的相应位置上．
13．计算：＝______________．
14．不等式组的整数解是___________．
15．分式方程的解是___________．
16．小明在某风景区的观景台O处观测到东北方向的P处有一艘货船, 该船正向南匀速航 行,30分钟后再观察时,该船已航行到O的南偏东30,且与O相距6km的Q处．如图所示．货船的航行速度是____________km/h．（结果用根号表示．）
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17．如图，在矩形ABCD中，AB=16 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C，同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，到达B点后停止，点Q以1cm/s的速度向点D移动，到达D点后停止，P，Q两点出发后，经过_____________秒时，线段PQ的长是10cm．
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三、解答题（本大题共9个小题，共69分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将解答过程写在答题卡上每小题对应的答题区域内．
18．（本题5分）
先化简，再求值：，其中是方程的根．
19．（本题6分）某省为解决农村饮用水问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
20．（本题6分）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为．双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求的值及点的坐标；
（2）若点是边上一点，且ΔFCB∽ΔDBE，求直线的解析式
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（本题6分）如图所示，在⊙O中， =，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
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（本题7分）今年以来，我国持续大面积的雾霾 ( http: / / www.21cnjy.com )天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的两种统计图表．
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对雾霾了解程度的统计表：
对雾霾的了解程度 百分比
A．非常了解 5%
B．比较了解 m
C．基本了解 45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题．
（1）本次参与调查的学生共有　　人，m=　　，n=　　；
（2）请补全图中所示数的条形统计图；
（3）根据调查结果， ( http: / / www.21cnjy.com )学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”等级中的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回袋中，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
23．（本题6分）如图，在RtΔABC中，∠BAC＝90°，DB⊥BC，DA＝DB，点E是BC的中点，DE与AB相交于点G．
（1）求证DE⊥AB；
（2）如果∠FCB＝＝∠FBC＝∠DAB，设DF与BC交于点H，求证：DH＝FH．
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24．（本题10分）某市自来水公司为了 ( http: / / www.21cnjy.com )鼓励市民节约用水，于2014年4月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费，新按月分段收费标准如下：
标准一：每月用水不超过20吨（包括20吨）的水量，每吨收费2．45元；
标准二：每月用水超过20吨但不超过30吨的水量，按每吨元收费；
标准三：超过30吨的部分，按每吨（＋1．62）元收费。（说明：＞2．45）．
（1）居民甲4月份用水25吨，交水费65．4元，求 的值；
（2）若居民甲2014年4月以后，每月用水（吨），应交水费（元），求与之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围；
（3）随着夏天的到来，各家的用 ( http: / / www.21cnjy.com )水量在不但增加．为了节省开支，居民甲计划自家6月份的水费不能超过家庭月收入的2%（居民甲家的月收入为6540元），则居民甲家六月份最多能用水多少吨？
25．（本题11分）如图，在正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中， AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF＝∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP＝2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．
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26．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝2，OC＝4，⊙M与轴相切于点C，与轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线经过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAO＝∠CAD；
（2）求弦BD的长；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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选择题（每小题3分，共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C A B C B A B B D A
二、填空题：（每小题3分，共15分）
13．,; 14．﹣2，﹣1，0; 15．；16．；17．或8；
三、解答题：（共9个小题，共69分）
18．（本题5分）
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19．（本题6分）
解：（1）设求A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为，得，
…………………………2分
解之得，，（不合题意，舍去） …………………3分
∴
答：A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为20%． ……………………4分
（2）由题意得，
600＋600（1＋）＋864 …………………………5分
＝600＋600×120%+864
＝2184（万元）
答：从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”2184万元．……6分
20．（本题6分）
解：（1）在矩形OABC中，
∵B点坐标为，∴边中点的坐标为（1,3）
又∵双曲线的图像经过点∴，∴ …………………2分
∵点在上，∴点的横坐标为2．
又∵经过点, ∴点纵坐标为，
∴点纵坐标为 …………………………3分
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（2）由（1）得，,
∵△FBC∽△DEB，∴，即。
∴，∴，即点的坐标为 …………………………4分
设直线的解析式为，而直线经过
∴，解得 …………………………5分
∴直线的解析式为 …………………………6分
21.（本题6分）
解答：（1）证明：∵=，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，…………………………1分
∴△ACF∽△ABC， …………………………2分
∴，即AC2=AB AF； …………………………3分
（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又OA=OC， ∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，………………4分
∴AE=cm，
∴AC=2AE=2cm， …………………………5分
则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=cm2．…………6分
22.（本题7分）
解：（1）400； 20% ； 25%． …………………………3分
（2）图略．（说明： Ｄ，不了解的人数有100人） …………………………4分
（3）由题意画树状图如下：
所有等可能的结果共有16种：2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8．…………………5分
其中和为奇数的共有8种，
小明去的概率为，小刚去的概率也是．…………………………6分
所以这个游戏规则公平．　…………………………7分
23.（本小题6分）证明：（1）连接AE，
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∵∠BAC＝90°，BE＝EC，
∴AE＝BE＝BC ……………………1分
又∵DA＝AB,
∴DE垂直平分AB，即DE⊥AB．…………………………2分
（2）∵∠DBC＝90°
∴∠DBA＋∠ABC＝90°
∵DA＝AB,∴∠DBA＝∠DAB,
∵∠FBC＝∠DAB
∴∠FBC＋∠ABC＝90°
∵∠AGE＝90°
∴BF∥DE …………………………3分
又∵∠FBC＝∠FCB,
∴FB＝FC
∵BE＝EC,∴FE⊥BC
∴∠DBE＝∠BEF＝90°
∴DB∥EF …………………………4分
∴四边形DBFE是平行四边形 …………………………5分
∴DH＝FH． …………………………6分
24．（本题10分）
解：（1）由题意得，
20×2．45＋5＝65．4
解之得，＝3．28 …………………………2分
（2）由题意得
当0≤≤20时，；…………………………3分
当20＜≤30时，；…… 4分
当＞30时，
＝ …………………………5分
即 …………………………6分
（3）6540×2%＝130．8 …………………………7分
∵20×2．45＝49；49＋10×3．28＝81．8
而49﹤81．8﹤130．8 …………………………8分
∴居民甲家6月份用水超过30吨，设他家6月用水吨，得，
－65．2≤130．8 …………………………9分
解得，≤40
答：居民甲家计划6月份最多用水40吨 ．…………………………10分
25．（本题11分）（1）证明：过点F作FH⊥BE于点H，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90 ,AB＝BC，
∴∠BAP＋∠APB＝90
∵AP⊥PF,
∴∠APB＋∠FPH＝90
∴∠FPH＝∠BAP
又∵AP＝PF
∴△BAP≌△HPF ………………1分
∴PH＝AB，BP＝FH
∴PH＝BC
∴BP＋PC＝PC＋CH
∴CH＝BP＝FH ………………2分
而∠FHC＝90 ．∴∠FCH＝CFH＝45
∴∠DCF＝90 －45 ＝45
∴∠GCF＝∠FCE ………………………3分
（2）PG＝PB＋DG ……………………………………4分
证明：延长PB至K，使BK=DG,
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD, ∠ABK＝ADG=90
∴△ABK≌△ADG …………………………5分
∴AK=AG, ∠KAB＝∠GAD,
而∠APF=90 ,AP=PF
∴∠PAF＝∠PFA＝45
∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45 ＝∠PAF
∴△KAP≌△GAP ………………………………6分
∴KP=PG,
∴KB＋BP=DG＋BP＝PG
即，PG＝PB＋DG； …………………………7分
（3）存在．
如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，
则MD∥PF，且MD＝FP，……………………8分
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM
∴△ABP≌△DAM …………9分
∴AM＝BP=2，
∴BM＝AB－AM=5－2=3． …………10分
∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．…………11分
26．（本题12分）（1）证明：如图，连接MC，
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∵⊙M与轴相切于点C，∴CM⊥OC,
∴∠MCO＝90°, …………1分
又∵∠ACD＝90°
∴AD为⊙M的直径，
∵DM＝CM, ∠ACD＋∠ADC＝90°
∴∠MCD＝∠MDC, ……………………2分
∵∠OCA＋∠ACM＝∠OCM＝90°
∴∠MCD＋∠ACM＝90°
∴∠OCA＝∠MCD＝∠MDC
∵∠OCA＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠CAD； ……………………3分
（2）解：如图，过点M作MN⊥OB于点N,
由（1）可知，AD是⊙M的直径，
∴∠ABD=90°
∵MN⊥AB, ∴∠MNA＝90°
∴MN∥BD ……………………4分
∴ ……………………5分
∵∠OCM＝∠CON＝∠MNO＝90°
∴四边形COMN为矩形，
∴MN=CO=4
∴BD=2MN=8 ……………………………………6分
（3）解：抛物线的对称轴上存在点P，使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形．
在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC＝∠ABC,
由（1）知，∠ADC＝∠OCA,
∴∠OCA＝∠OBC
在Rt△CAO和Rt△BOC中，
tan∠OCA＝
∴tan∠OBC＝
∴OB=2OC=8
∴A（2,0），B（8,0）
∵抛物线经过A，B两点，
∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线：；…………8分
当CP=CB=5时，△PCB为等腰三角形，
在Rt△COB中，
如图，在Rt△CM中，
80－25＝55
,
∴…………………………9分
同理可求的坐标是 …………10分
当BP=BC=5时，△PCB为等腰三角形，
∴ …………5分 …………11分
同理可得坐标为
∴符合条件的点P有四个，坐标分别为，，，．…………………………………………12分
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