江苏省南京市2024届高三上学期数学期中综合卷（含解析）

江苏省南京市2024届高三上学期数学期中综合卷
本卷共150分 时间：120分钟
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3.“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余两艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，角所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知双曲线，是直线上任意一点，若与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知四棱锥，底面为矩形，，平面平面，为正三角形.则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 相关系数越接近，变量相关性越强
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
10.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11.二项展开式，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)
14.已知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，为抛物线上的一个动点，则的最大值为 .
15.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象 生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为_________.
16.已知函数，其中，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在中，内角的对边分别为，是边上一点,已知，，，若_______，求的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，满足．
⑴求数列的通项公式；
⑵记，求数列的前项的和．
19.（本小题满分12分）
某企业为了提高产量，需通过提高工人的工资，调动员工的工作积极性，为了对员工工资进行合理调整，需对员工的日加工量进行分析．为此随机抽取了名员工某天加工零件的个数（单位：个），整理后得到频数分布表如下：
零件个数/个
频数 5 6 9 12 8 6 4
⑴由频数分布表估计这名员工这一天加工产量的平均值（四舍五入取整）（区间值用中点值代替）；
⑵该企业为提高产量，开展了一周（7天）的“超量有奖”宣传活动，并且准备了6.5万元用于发给超量的员工．规定在这一周内，凡是生产线上日加工量在200个以上（含290）的员工，除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外，当天还可额外获得100元的超量奖励，若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布，其中近似为⑴中的平均值，请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足；
⑶为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况，企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现，有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号，现从这6名员工中任意抽取4名员工，记日生产量至少为300个的员工人数为，求的分布列与数学期望．
参考数据：，，
．
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．
⑴求证：平面平面；
⑵设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为．
⑴求椭圆的方程；
⑵过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，记直线的斜率分别为，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
22.（本小题满分12分）
已知函数.
⑴当时，求函数的极值：
⑵若曲线有，两个零点．
（ⅰ）求的取值范图；
（ⅱ）证明：存在一组，，使得的定义域和值域均为．
参考答案
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意知，,所以.故选B.
2.已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：由题意得，.故选A.
3.“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余两艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：依题意可知，“礼”“数”为必选，因此两个孩童都不选“御”的概率为，
故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为.故选B.
4.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：
.故选B.
5.在中，角所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为，所以由正弦定理得：，
由余弦定理得：，即，
由，
当且仅当时取等号，又，所以，所以，
则，所以面积的最大值.故选A.
6.已知双曲线，是直线上任意一点，若与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：首先直线与双曲线渐近线平行，两平行线之间的距离为：
，要使与双曲线C的右支没有公共点，则，
解得，故选B．
7.已知四棱锥，底面为矩形，，平面平面，为正三角形.则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设所在圆的圆心为，半径为，则圆的半径.设所求外接球球心为，半径为，因为平面平面，所以，所以球的半径，所以外接球的体积为.故选A.
8.设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
因为，则当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.
直线恒过定点且斜率为，
所以且，解得.故选D.
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 相关系数越接近，变量相关性越强
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
答案：ACD
解析：A选项中，相关系数越接近，相关性越强，所以A正确；B选项中，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，所以B错误；C选项中，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，所以C正确；D选项中，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，所以D正确.故选ACD.
10.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：AB
解析：垂直于同一平面的两直线平行，所以A正确；若，则，所以B正确；若不垂直与两平面的交线，则无法得到，所以C错误；若直线，则无法得到，所以D错误．故选AB．
11.二项展开式，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：ABC
解析：当时，可得，所以A正确；当时，，又，所以，所以D错误；，所以C正确；对原式两边同时求导，得，当时，，所以B正确．故选ABC．
12.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
答案：BCD
解析：由可得，，则，
由，可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，又，
所以.故选BCD.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)
答案：
解析：分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为
.
14.已知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，为抛物线上的一个动点，则的最大值为 .
答案：
解析：由题意知点，设点，则，所以
，令，则，所以.
令，则，所以，
所以当，即时，.
15.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象 生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为_________.
答案：
解析：由题意，又，所以
，所以.
16.已知函数，其中，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：数形结合，在同一直角坐标系中同时画出，，的图像，不难求得的取值范围是.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在中，内角的对边分别为，是边上一点,已知，，，若_______，求的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析：因为，所以，解得或
，所以在中，.因为，所以由正弦定理得，，又由余弦定理得，
所以，所以，所以为等边三角形.
因为，所以在中，由余弦定理得
选择条件①：由的外接圆面积为得，所以由正弦定理得，，
则，所以.
选择条件②：由的面积为，得的面积为，所以，解得，所以.
选择条件③：由的周长为，得，
所以，所以.
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，满足．
⑴求数列的通项公式；
⑵记，求数列的前项的和．
解析：⑴因为，所以，两式相减得，即，又当时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
⑵由⑴可知，，所以是首项为
，公比为的等比数列，共有项，所以
.
19.（本小题满分12分）
某企业为了提高产量，需通过提高工人的工资，调动员工的工作积极性，为了对员工工资进行合理调整，需对员工的日加工量进行分析．为此随机抽取了名员工某天加工零件的个数（单位：个），整理后得到频数分布表如下：
零件个数/个
频数 5 6 9 12 8 6 4
⑴由频数分布表估计这名员工这一天加工产量的平均值（四舍五入取整）（区间值用中点值代替）；
⑵该企业为提高产量，开展了一周（7天）的“超量有奖”宣传活动，并且准备了6.5万元用于发给超量的员工．规定在这一周内，凡是生产线上日加工量在200个以上（含290）的员工，除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外，当天还可额外获得100元的超量奖励，若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布，其中近似为⑴中的平均值，请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足；
⑶为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况，企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现，有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号，现从这6名员工中任意抽取4名员工，记日生产量至少为300个的员工人数为，求的分布列与数学期望．
参考数据：，，
．
解析：⑴由频数分布表得：
.
⑵由⑴知，所以，
所以，
因为，所以每天需奖励（元），
所以一周需奖励（元），所以6.5万元的准备金充足．
⑶由频数分布表可知，6个获得“日生产线上的标兵”荣誉称号中，日生产量至少为300个的员工有4名，所以的可能值为2，3，4，
所以,,
所以的分布列为：
2 3 4
P
的数学期望为．
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．
⑴求证：平面平面；
⑵设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解析：⑴因为四边形是正方形，所以.
因为平面平面，
平面平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为，点为线段的中点，所以.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
⑵由⑴知平面，因为，所以平面.
在平面内过作交于点，
所以，故两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，因为，所以.因为平面， 则，，，
又为线段的中点，则， 假设在线段上存在这样的点，使得,设，则
，，设平面的法向量为，
则，所以，令，则，所以，
则 ，因为平面，所以平面的一个法向量为
,又因为,则，
所以.
因为，解得，所以.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为．
⑴求椭圆的方程；
⑵过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，记直线的斜率分别为，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
解析：⑴设焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，因为面积的最大值为，易知当为短轴的一个端点时，的面积最大，
所以，则，所以，解得，
所以椭圆的方程为：.
⑵设，由轴，得，因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，与椭圆联立，得，消，
得，则，
所以
，
所以，即为定值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
⑴当时，求函数的极值：
⑵若曲线有，两个零点．
（ⅰ）求的取值范图；
（ⅱ）证明：存在一组，，使得的定义域和值域均为．
解：⑴当时，，则，令，解得，
所以当，；当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，无极小值；
⑵（ⅰ）解：由题意可知，有两解，即有两解，
设，则，令，解得，
列表可知，，因为有两个零点，所以，解得，当时，有，可得，
令，有，可得函数的增区间为，减区间为，有，可得，
当时，．
所以存在，，使得，所以；
（ⅱ）证明：因为，令，解得，
列表可知，在上单调递增，在上单调递减，
①当时，，解得，
所以，所以，即在上单调递增，
所以，，即，，所以当时，存在一组符合题意；
②当时，，所以，所以不存在符合题意，若，则在上单调递减，
所以，，
所以，即，不符题意；
若，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，所以，
即，，所以当时，存在一组符合题意；
综上，存在一组符合题意．