郫都区 2023—2024学年度上期期中考试
高二数学
说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，时间 120分钟.
2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.
第 I卷（选择题 共 60分）
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题目要求的.）
1．直线 x 0的倾斜角为（ ）
A．0° B．90° C．180° D．不存在
2．一支野外科学考察队有男队员 56 人，女队员 42 人，按性别进行分层，用分层随机抽
样的方法从全体队员中抽出一个容量为 28 的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法
正确的为（ ）
A．女队员应抽取 6 人 B．女队员应抽取 14 人
C．男队员应抽取 12 人 D．男队员应抽取 16 人
3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和
数据分布的形态有关，在右图两种分布形态中，a,b,c,d分别对应
平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ）
A． a为中位数，b为平均数， c为平均数，d 为中位数
B． a为平均数，b为中位数， c为平均数，d 为中位数
C． a为中位数，b为平均数， c为中位数，d 为平均数
D． a为平均数，b为中位数， c为中位数，d 为平均数
4．直线 l过点 A 2,3 ，则直线 l与 x轴、 y轴的正半轴围成的三角
形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
5．四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结
果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数 6 的是（ ）
A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，中位数为3
C．中位数为 2 ，极差为 2 D．平均数为 2，标准差为 2
6．为庆祝中国共产主义青年团成立 100 周年，某校甲、乙两个班共 70 人（甲班 40 人，
高二数学 第 1 页 共 6 页
{#{QQABCYSUogCgQhAAAQgCUwXQCAIQkBGCAKoOgBAMoAIBwQNABAA=}#}
乙班 30 人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为 77 分，方差为 123，乙
班的平均成绩为 70 分，方差为 130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（ ）
A．74 B．129 C．136 D．138
7．小赵同学准备了四个游戏，四个游戏中的不透明的盒子中均装有 3 个白球和 2 个红球
（小球除颜色外都相同），游戏规则如下表所示：
游戏 1 游戏 2 游戏 3 游戏 4
取球 一次性取一个，取 一次性取两个，取一 一次性取一个，不放 一次性取一个，有放
规则 一次 次 回地取两次 回地取两次
获胜 取到红球→小赵胜 两球不同色→小赵胜 两球不同色→小赵胜 两球不同色→小赵胜
规则 取到白球→小赵败 两球同色→小赵败 两球同色→小赵败 两球同色→小赵败
若你和小赵同学玩这四个游戏中的一个，你想获胜，则应该选（ ）
A．游戏 1 B．游戏 2 C．游戏 3 D．游戏 4
8．已知在 ABC中，其中 B(1, 4)，C(6,3)， BAC的平分线所在的直线方程为 x y 1 0 ，
则 ABC的面积为（ ）
A．5 2 B．10 2 C．8 D． 2 10
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．）
9．已知事件 A， B，且P(A) 0.4,P(B) 0.3，则（ ）
A．如果 B A，那么P(AB) 0.3
B．如果B A，那么 P(A B) 0.4
C．如果 A与 B相互独立，那么 P(A B) 0.7
D．如果 A与 B相互独立，那么 P(A B) 0.42
10．下列结论正确的有（ ）
A．直线3x 4y 10与直线3x 4y 0之间的距离为 5
B．若一直线的方向向量为 3,3 ，则此直线倾斜角为60
高二数学 第 2 页 共 6 页
{#{QQABCYSUogCgQhAAAQgCUwXQCAIQkBGCAKoOgBAMoAIBwQNABAA=}#}
C．若直线 x ay 1 0 与直线 x 2y a 0 平行，则 a 2
D．已知点 A 4, 2 ,B 1,1 ，若直线 y k x 2 与线段 AB相交，则 k的取值范围是 1,1
11．2022 年 2 月 28 日，国家统计局发布了我国 2021 年国民经济和社会发展统计公报，在
以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，
构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021 年，全国居民人均可支配收入和消费支
出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（ ）
A．2017-2021 年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2020 年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C．2021 年全国居民人均消费支出 24000 元
D．2021 年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过 60%
12．在空间直角坐标系中，已知向量u (A,B,C)（ ABC 0），点 P0 (x0 , y0 , z0 )，点P(x, y, z) .
（1）若直线 l经过点 P0 ，且以u为方向向量， P是直线 l上的任意一点且其坐标满足
x x0 y y z z 0 0 ，称为直线 l的方程；
A B C
（2）若平面 经过点 P0 ，且以u为法向量， P是平面 内的任意一点且其坐标满足
A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 ，称为平面 的方程.
x 1 y 1 z 1
设直线 l的方程为 ，平面 的方程为 2(x 1) (y 1) 3(z 1) 0，
2 1 3
M (2, 3, 1),N (2, 1, 1)，则（ ）
A．M l,M
6
B．直线 l与平面 所成角的余弦值为
7
高二数学 第 3 页 共 6 页
{#{QQABCYSUogCgQhAAAQgCUwXQCAIQkBGCAKoOgBAMoAIBwQNABAA=}#}
C． N 14到平面 的距离为
7
D．向量 p是平面 内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对 (x, y) ，使得
p xa yb，其中 a 0,3,1 ,b (1, 2,0) .
第 II卷（非选择题 共 90分）
注意事项：必须使用 0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．）
13．已知点 B是点 A 3,7, 4 在Oxz平面上的射影，则 2OB 等于 ．
14．二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体
的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是 N，缴获的该月生
产的 n辆坦克编号从小到大为 x1， x2，…， xn，即最大编号为 xn，且缴获的坦克是从所生
产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号 x1， x2，…，
xn，相当于从 0,N 中随机抽取的 n个整数，这 n个数将区间 0,N 分成 n 1 个小区间，
由于 N 是未知的，除了最右边的区间外，其他 n个区间都是已知的．由于这 n个数是随机
x N
抽取的，所以可以用前 n个区间的平均长度 n 估计所有 n 1 个区间的平均长度 ，进
n n 1
而得到 N 的估计值．例如，缴获坦克的编号是 3，5，12，18，20，则统计学家利用上述
方法估计德军每月生产的坦克数为 ．
15．小明设计如下的方案测二面角大小：如图，设斜坡面 与水平面 的交线为 l，小明
分别在水平面 和斜坡面 选取 A，B两点，且 AB 7， A到直
线 l的距离 AA1 3， B到直线 l的距离 B1B 4， A1B1 2 3，则
二面角 A A1B1 B的大小为 .
16．已知正四棱锥 P ABCD的所有棱长均为 1，E为 PC的中点，则线段 PA上的动点 M
到直线 BE的距离的最小值为 .
高二数学 第 4 页 共 6 页
{#{QQABCYSUogCgQhAAAQgCUwXQCAIQkBGCAKoOgBAMoAIBwQNABAA=}#}
四、解答题（本大题共 6小题共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，且
C1CB C1CD BCD 60
，CD = CC = 2， 1 CD=a，
CB b，CC c．1
(1)用空间的一个基底 a,b,c 表示 AC1 ,并求 AC1的长；
(2)求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值．
18.（本小题满分 12 分）
为了解学校食堂的满意度，某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取 10 名学生进行
问卷计分调查（满分 100 分），得分如下所示：
高一：64，72，79，78，78，75，86，85，92，91
高二：62，67，78，79，70，85，84，85，93，95
(1)求高一年级问卷计分调查平均数，估计高一年级学生问卷计分调查的第 70 百分位数；
(2)若规定打分在 86 分及以上的为满意，少于 86 分的为不满意，从上述满意的学生中任取
2 人,先列出所有可能的结果，再计算这 2 人来自同一年级的概率.
19.（本小题满分 12 分）
已知直线 l : (2 1)x (1 )y 11 7 0， R .
(1)若直线 l与直线 l1 : x (1 )y 1 0 垂直，求实数 的值；
(2)若直线 l在 x轴上的截距是它在 y轴上截距的 2 倍，求直线 l的方程.
20.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD是边长为 2 的
正方形，侧面 PAD是正三角形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，
M是 PD的中点，平面PBC 平面 PAD l．
(1)判断 l与 BC的位置关系并给予证明；
(2)求 M到平面 PBC的距离．
高二数学 第 5 页 共 6 页
{#{QQABCYSUogCgQhAAAQgCUwXQCAIQkBGCAKoOgBAMoAIBwQNABAA=}#}
21.（本小题满分 12 分）
从 2022 年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指
语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两
门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生
物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分
规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为 A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所
占比例及赋分区间如下表：
等级 A B C D E
人数比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30,40
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公
Y2 Y T2 T
式为 Y Y T TY Y1 T T
，其中 1， 2 分别表示原始分区间的最低分和最高分， 1， 2分别表
1
示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原
始分为Y1时，等级分为T1，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为 50，
最高分为 98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如右图所示：
(1)根据频率分布直方图，估计此次化学考试成绩的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩D等级的原始
分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原
始分为 60，试计算其等级分.
22.（本小题满分 12 分）
如图甲，已知在长方形 ABCD中， AB 4 ， AD 2，M为 DC的中点．将△ADM 沿 AM
折起，如图乙，使得 AD 平面 BDM ．
(1)求证：平面 ADM 平面 ABCM；
(2)若点 E是线段DB上一动点，点 E在何位
置时，二面角 E AM D 2 5的余弦值为 ．
5
高二数学 第 6 页 共 6 页
{#{QQABCYSUogCgQhAAAQgCUwXQCAIQkBGCAKoOgBAMoAIBwQNABAA=}#}参考答案：
1-4 BDAB 5-8 CDAC 9．ABD 10．BC 11．AC 12．ACD
13． 14．24 15．120° 16．
17．（1）由题，，，构成空间的一个基底．
因为，………………………………………………………2分
所以…………………………………………………………………3分
，
所以．…………………………………………………………………………………5分
（2）又，，…………………………………………………………7分
所以
∴………………………………………………………………………………………9分
∴异面直线与所成的角为90°，余弦值为0．………………………………………10分
18．（1））高一年级问卷计分调查平均数：，…2分
将高一调查的数据从小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92，…………3分
∴，…………………………………………………………………………………4分
所以第7位数和第8位数的平均数位第70百分位数，即．……………………6分
（2）高一年级满意的有3个，记为，高二年级满意的有2个，记为,……………8分
则从上述满意的学生中任取2人，
基本事件有共有10个，
设事件“上述满意的学生中任取2人，求这2人来自同一级”为，
则包含，共有4个，………………………………………………………10分
故．………………………………………………………………………………12分
19．（1）因为直线l与直线垂直，
所以，………………………………………………………………3分
解得或.…………………………………………………………………………………6分
（2）令，得，令，，……………………………………………8分
由题意知，解得或，……………………………………………10分
所以直线l的方程为或.…………………………………………………12分
（或者找出恒过点，利用截距式方程求解）
20.【详解】（1）………………………………………………………1分
证明：∵底面ABCD为正方形，∴，
∵平面PAD，平面PAD ∴平面PAD，………………3分
∵平面PCB﹐平面平面 ∴…………………6分
（2）取AD的中点O，连接PO，
∵为正三角形，∴ PO⊥AD………………………………………………………………………7分
∵ 侧面PAD⊥底面ABCD，侧面底面ABCD=AD，平面PAD，
∴ PO⊥底面ABCD…………………………………………………………………………………………9分
故P到底面的距离为：，且，则
∵ ，则，即：，故，
又 M是PD的中点，所以M到平面PBC的距离为.……………………………………12分
（或者建立空间直角坐标系，用点面距离公式直接求解）
21.（1）由，可得，……………………………………………2分
此次化学考试成绩的平均值为分．………………4分
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，
因为成绩E等级占比为，成绩D等级占比为所以等级D的原始分区间的左端点位于区间，右端点位于区间，
估计等级D的原始分区间的左端点为，………………………………………………6分
等级D的原始分区间的右端点为………………………………………8分
所以估计此次考试化学成绩D等级的原始分区间为．…………………………………………9分
（3）由（2）可知原始分60是D等级，……………………………………………10分
解得，该学生的等级分为51分．…………………………………………………………12分
22.（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，…………………………………………………………1分
∵平面.平面∴…………………………………………………………2分
又∵∴平面………………………………………………………………………3分
∵平面
∴平面平面．…………………………………………………………………………………4分
（2）因为，，M是的中点，∴，
取的中点O，连接，则，
取的中点N，连接，则，
∵平面
∴平面…………………………………………………………6分
∴两两垂直以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，……………………………………………7分
设，，
因为平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可得．………………………10分
再由，
则，∴或（舍），…………………………………………………………11分
所以E为的靠近D点的五等分点．……………………………………………………………………12分
