福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-15 16:56:41 | ||
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文档简介
龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
3.已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
4.已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
6.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），D是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.3
8.已知数列满足，其前项和为，设函数，则（ ）
A.0 B.1 C.1012 D.2024
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则或 B.若，则
C.当时，两直线的距离为 D.当时，两直线的交点坐标为
10.已知圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的方程为
B.
C.圆上有且只有三个点到直线的距离等于1
D.经过圆的圆心的直线被圆截得的最短弦长为
11.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列.如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第次构造后所得新数列的所有项的和为，则对于数列，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.若，,，则的最小值为21
D.若，则
12.已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点.若，，构成以为公差的等差数列，的延长线与的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，轴
B.的取值范围是
C.当，在轴的同侧时，面积的最大值为
D.当，在轴的异侧，且时，
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则__________.
14.已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
15.潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为__________.
16.已知双曲线，斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.
17.（本小题满分10分）
已知的顶点为，，.
（1）求的边上的高所在直线的方程；
（2）直线经过线段的中点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知数列为非零数列，且满足.
（1）求及数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且满足，证明：.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的最小值，并求出此时直线的方程.
21.（本小题满分12分）
已知递减等差数列满足，且，，成等比数列.数列的首项为2，其前项和满足（其中，），且.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列满足，的前项和为，求.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，且焦距为4，上顶点为，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程.
（2）设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，，若，，成等差数列.
证明：（i）直线过定点；（ii）的面积小于.
龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D B A B A C BD ACD BD ACD
二、填空题
题号 13 14 15 16
答案 135
3.D
【解析】依题意：，是公差为1的等差数列，的公差为2，.
4.B
【解析】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.
7.A
【解析】依椭圆定义和余弦定理可得，，，设的角平分线与轴相交于，
，可得，从而的角平分线的方程为，
原点关于的角平分线对称的点设为，经计算可得，
则（或：关于的角平分线的对称点在的延长线上，记为，且，，所以，，，解得，，即，或由勾股定理知轴，得，.
8.C
【解析】因为，所以，所以，因为，所以，，，…，，以上各式相加，
12.ACD
【解析】设右焦点为，连接（图略），由，，构成以为公差的等差数列，得，而，，，.，，.
对于A，通径长为4，，则，轴；
对于B，，，，；
对于C，当，在轴的同侧时，，关于轴对称，
设，则，而，
，当且仅当，时，等号成立，即的最大值为 ；
对于D，当，，在轴的异侧，且时，轴，，关于原点对称，
设，则，，，，又，
，，.
13.
【解析】因为点在抛物线上，，
所以，所以，所以，所以，解得.
14.
【解析】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，令解得则其过定点，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.
15.135
【解析】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，由已知得是3的倍数，也是5的倍数，所以为15的倍数，所以是首项为0，公差为15的等差数列，所以，令，可得，又，解得且，故获得精品吉祥物的人数为135.
16.
【解析】设，，线段的中点，则两式相减得，所以①，
设，，线段的中点，同理得②，
因为，所以，则，，三点共线，所以，
将①②代入得，
即，，
因为，所以，即，所以.
17.解：（1）直线的斜率，
边上的高与垂直，所以，
直线的方程为，即.
（2）线段的中点的坐标为，
若，两点在直线同侧，则直线的方向向量可为，法向量可为.
设直线的方程为，把代入，得，
所以直线的方程为，即，
若，两点在直线异侧，则直线经过线段的中点，斜率，直线的方程为，即.
所以所求直线的方程为或.
18.（1）解：因为，①
所以当时，，解得，
当时，，
由①②得，即，又满足上式，所以.
（2）证明：因为，
所以
19.（1）解：，关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，
，在双曲线上，对于点，，，
，点不在双曲线上，
，，都在双曲线上，解得
双曲线的标准方程为.
（2）证明：（法一）由题意，直线，令，得，
必与轴相交，设交点为，且与点在轴同侧，双曲线的两条渐近线方程为，.
设，，联立解得，同理，
联立解得，在双曲线上，
，
，
即的面积为定值2.
（法二）由题意，双曲线的两条渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设，为双曲线右支上的动点，且，，
联立直线与渐近线方程：
化简得，又在双曲线上，
，，，
设渐近线的倾斜角为，则，
，，
（或），，
即的面积为定值2.
20.解：（1）设圆心的坐标为，圆的半径为，
则圆的标准方程为，
又圆经过点和，所以，解得
所以圆的标准方程为.
【或：记和，则线段的中垂线方程：，联立
解得圆心，计算，得圆的标准方程为】.
（2）根据切线的性质及圆的对称性可知，
则，要使最小，只需最小，
即最小，此时，
所以，，，
过点且垂直于的方程为，
将其与的方程联立，解得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
即，
结合圆的方程，两式相减可得直线的方程为.
21.解：（1）设等差数列的公差为，
由题意可知，其中，解得或14（舍去），.
对于，由已知，，两式相减得，①
又，，②
由①②，得对所有成立，
是首项为2，公比为的等比数列，从而，
由，得，又，，.
综上，，.
（2），
由，可知当，2，3，4时，，当时，，.
当，2，3，4时，可知，，，.
当时，，
，①
，②
由①-②得，
，
.
综上：
【或写成：
22.（1）解：设，，，且焦距为4，
，，，，
，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）证明：（i）由题意，，，设，，，，
同理，，，，
，，成等差数列，
，，
的斜率存在，，，.
由条件得直线的斜率不为0，设直线，，，
联立得，
直线经过椭圆内一点，，，，
由，即，，，
化简得，
将，代入，
化简得，，或，
，位于轴两侧，，
，，，，直线恒过定点.
（ii）直线恒过定点，此时，，，
的面积，
令，，
则，
而在上单调递减，
，即的面积小于.
数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
3.已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
4.已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
6.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），D是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.3
8.已知数列满足，其前项和为，设函数，则（ ）
A.0 B.1 C.1012 D.2024
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则或 B.若，则
C.当时，两直线的距离为 D.当时，两直线的交点坐标为
10.已知圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的方程为
B.
C.圆上有且只有三个点到直线的距离等于1
D.经过圆的圆心的直线被圆截得的最短弦长为
11.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列.如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第次构造后所得新数列的所有项的和为，则对于数列，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.若，,，则的最小值为21
D.若，则
12.已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点.若，，构成以为公差的等差数列，的延长线与的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，轴
B.的取值范围是
C.当，在轴的同侧时，面积的最大值为
D.当，在轴的异侧，且时，
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则__________.
14.已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
15.潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为__________.
16.已知双曲线，斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.
17.（本小题满分10分）
已知的顶点为，，.
（1）求的边上的高所在直线的方程；
（2）直线经过线段的中点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知数列为非零数列，且满足.
（1）求及数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且满足，证明：.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的最小值，并求出此时直线的方程.
21.（本小题满分12分）
已知递减等差数列满足，且，，成等比数列.数列的首项为2，其前项和满足（其中，），且.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列满足，的前项和为，求.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，且焦距为4，上顶点为，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程.
（2）设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，，若，，成等差数列.
证明：（i）直线过定点；（ii）的面积小于.
龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D B A B A C BD ACD BD ACD
二、填空题
题号 13 14 15 16
答案 135
3.D
【解析】依题意：，是公差为1的等差数列，的公差为2，.
4.B
【解析】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.
7.A
【解析】依椭圆定义和余弦定理可得，，，设的角平分线与轴相交于，
，可得，从而的角平分线的方程为，
原点关于的角平分线对称的点设为，经计算可得，
则（或：关于的角平分线的对称点在的延长线上，记为，且，，所以，，，解得，，即，或由勾股定理知轴，得，.
8.C
【解析】因为，所以，所以，因为，所以，，，…，，以上各式相加，
12.ACD
【解析】设右焦点为，连接（图略），由，，构成以为公差的等差数列，得，而，，，.，，.
对于A，通径长为4，，则，轴；
对于B，，，，；
对于C，当，在轴的同侧时，，关于轴对称，
设，则，而，
，当且仅当，时，等号成立，即的最大值为 ；
对于D，当，，在轴的异侧，且时，轴，，关于原点对称，
设，则，，，，又，
，，.
13.
【解析】因为点在抛物线上，，
所以，所以，所以，所以，解得.
14.
【解析】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，令解得则其过定点，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.
15.135
【解析】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，由已知得是3的倍数，也是5的倍数，所以为15的倍数，所以是首项为0，公差为15的等差数列，所以，令，可得，又，解得且，故获得精品吉祥物的人数为135.
16.
【解析】设，，线段的中点，则两式相减得，所以①，
设，，线段的中点，同理得②，
因为，所以，则，，三点共线，所以，
将①②代入得，
即，，
因为，所以，即，所以.
17.解：（1）直线的斜率，
边上的高与垂直，所以，
直线的方程为，即.
（2）线段的中点的坐标为，
若，两点在直线同侧，则直线的方向向量可为，法向量可为.
设直线的方程为，把代入，得，
所以直线的方程为，即，
若，两点在直线异侧，则直线经过线段的中点，斜率，直线的方程为，即.
所以所求直线的方程为或.
18.（1）解：因为，①
所以当时，，解得，
当时，，
由①②得，即，又满足上式，所以.
（2）证明：因为，
所以
19.（1）解：，关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，
，在双曲线上，对于点，，，
，点不在双曲线上，
，，都在双曲线上，解得
双曲线的标准方程为.
（2）证明：（法一）由题意，直线，令，得，
必与轴相交，设交点为，且与点在轴同侧，双曲线的两条渐近线方程为，.
设，，联立解得，同理，
联立解得，在双曲线上，
，
，
即的面积为定值2.
（法二）由题意，双曲线的两条渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设，为双曲线右支上的动点，且，，
联立直线与渐近线方程：
化简得，又在双曲线上，
，，，
设渐近线的倾斜角为，则，
，，
（或），，
即的面积为定值2.
20.解：（1）设圆心的坐标为，圆的半径为，
则圆的标准方程为，
又圆经过点和，所以，解得
所以圆的标准方程为.
【或：记和，则线段的中垂线方程：，联立
解得圆心，计算，得圆的标准方程为】.
（2）根据切线的性质及圆的对称性可知，
则，要使最小，只需最小，
即最小，此时，
所以，，，
过点且垂直于的方程为，
将其与的方程联立，解得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
即，
结合圆的方程，两式相减可得直线的方程为.
21.解：（1）设等差数列的公差为，
由题意可知，其中，解得或14（舍去），.
对于，由已知，，两式相减得，①
又，，②
由①②，得对所有成立，
是首项为2，公比为的等比数列，从而，
由，得，又，，.
综上，，.
（2），
由，可知当，2，3，4时，，当时，，.
当，2，3，4时，可知，，，.
当时，，
，①
，②
由①-②得，
，
.
综上：
【或写成：
22.（1）解：设，，，且焦距为4，
，，，，
，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）证明：（i）由题意，，，设，，，，
同理，，，，
，，成等差数列，
，，
的斜率存在，，，.
由条件得直线的斜率不为0，设直线，，，
联立得，
直线经过椭圆内一点，，，，
由，即，，，
化简得，
将，代入，
化简得，，或，
，位于轴两侧，，
，，，，直线恒过定点.
（ii）直线恒过定点，此时，，，
的面积，
令，，
则，
而在上单调递减，
，即的面积小于.
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