(共46张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
学习 任务 1．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景．(数学抽象)
2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学抽象)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
可导
确定的值
瞬时变化率
知识点2 导数的几何意义
(1)导数的几何意义
如图，割线P0P的斜率k＝_____________．记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0
处的导数f ′(x0)就是_________的斜率k0，即
k0＝＝f ′(x0)．
切线P0T
(2)切线方程
曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为____________________．
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
知识点3 导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)，即
f ′(x)＝y′＝ ．
思考f ′(x)与f ′(x0)有何关系？
[提示] f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处的导数值，是f ′(x)在x＝x0时的函数值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度． ( )
[提示] 导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的．
(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关，但与x0的值有关． ( )
×
√
1
2
3
4
5
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是( )
A．在点(x0，f (x0))处与y＝f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点(x0，f (x0))的切线的斜率
C．点(x0，f (x0))与点(0，0)的连线的斜率
D．函数y＝f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线的斜率
D [根据导数几何意义知，只有D正确．在点(x0，f (x0))处的切线可能与函数有多个交点．]
√
1
2
3
4
5
3．设f (x)＝2x＋1，则f ′(1)＝________．
2 [f ′(1)＝＝＝2．]
2
1
2
3
4
5
4．已知函数y＝f (x)的图象在点M(1，f (1))处的切线方程是y＝x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________．
3 [由在M点处的切线方程y＝x＋2，
得f (1)＝×1＋2＝，f ′(1)＝．
∴f (1)＋f ′(1)＝＋＝3．]
3
1
2
3
4
5
5．已知函数f (x)＝x2－x，则f ′(x)＝________．
2x－ [∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－，
∴f ′(x)＝＝2x－．]
2x－
1
2
3
4
5
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 利用定义求函数在某点处的导数
类型2 导数几何意义的理解与应用
类型3 求切线方程
类型1 利用定义求函数在某点处的导数
【例1】 (1)若函数f (x)在x＝1处的导数为1，则＝( )
A．2 B．1
C． D．
B 根据导数的定义，
＝f ′(1)＝1．
√
(2)已知函数f (x)可导，且满足＝2，则函数y＝f (x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
B 由题意，＝－＝－f ′(3)，所以f ′(3)＝－2．
√
(3)利用导数的定义，求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
[解] 因为Δy＝－＝
所以y′|x＝1＝＝＝－2．
反思领悟 1．利用定义求函数f (x)的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求函数的平均变化率＝；
(3)取极限，得f ′(x)＝．
其中，在第二步求平均变化率时，要注意对的变形与约分，如果变形或约分不彻底，可能导致极限不存在；在对取极限时，必须将变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式，如例1(3)．
2．求函数f (x)在某一点x0处的导数，通常可以有两种方法：一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解；二是先利用导数的定义求出函数的导函数，再计算导函数在x0处的函数值．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知函数f (x)＝－x2，求f (x)在x＝3处的导数f ′(3)．
[解] 当自变量在x＝3处的改变量为Δx时，平均变化率＝＝＝－6－Δx．
可以看出，当Δx无限接近于0时，无限接近于－6，因此f ′(3)＝＝＝－6．
类型2 导数几何意义的理解与应用
【例2】 (1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)
C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
B 由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是在
点A，B处切线的斜率，
由图象可知，f ′(xA)√
√
A 函数f (x)的导函数f ′(x)在[a，b]上是增函数，
若对任意x1和x2满足a则有f ′(a)根据导数的几何意义，可知函数y＝f (x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合．
发现规律 导数几何意义理解中的两个关键点
关键点一：y＝f (x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0 _________;
k＜0 __________；k＝0 _________．
关键点二：|f ′(x0)|越大 在x0处瞬时变化____；|f ′(x0)|越小 在x0处瞬时变化____．
f ′(x0)＞0
f ′(x0)＜0
f ′(x0)＝0
越快
越慢
[跟进训练]
2．已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f ′(1)C．f ′(2)√
B [由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f (x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，
∵＝a，∴f ′(1)类型3 求切线方程
【例3】 已知曲线C：y＝x3．
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y′|x＝1＝3．
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0．
[母题探究]
1．本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由解得或
从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)．
2．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x3＋1”，求曲线过点(1，1)的切线方程．
[解] ＝
＝
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
则＝3x2，因此y′＝3x2．
设过点M(1，1)的直线与曲线y＝x3＋1相切于点＋1)，根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k＝①，过点M和点P的切线的斜率k＝②，由①－②得＝，解得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此过点M(1，1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线有两条，方程分别为y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1．
反思领悟 利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[跟进训练]
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，
由y′＝＝＝＝4x，得k＝4m．
由题意可知4m＝8，则m＝2，代入y＝2x2－7，得n＝1．故所求切点P的坐标为(2，1)．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．下面说法正确的是( )
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
1
2
3
4
√
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
2．已知f ′(x)是f (x)的导函数，且f ′(1)＝3，则＝( )
A．3 B．6 C．－6 D．－
1
2
3
4
√
C [∵f ′(1)＝3，
∴
＝
＝－2＝－2f ′(1)＝－6，
故选C．]
3．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是( )
1
2
3
4
√
A [根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B，故选A．]
1
2
3
4
4．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________．
1
2
3
4
[由导数的定义可求得
y′＝＝2ax，
所以曲线斜率k＝2ax＝1，所以x＝，y＝－1．
代入y＝ax2，可解得a＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)f ′(x0)是如何反映函数y＝f (x)的图象特征的？
[提示] 曲线的升降、切线的斜率与f ′(x0)的关系如下：
f ′(x0)的符号 曲线f (x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行)
(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)与导函数f ′(x)之间的区别和联系是什么？
[提示] 区别：①f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
②f ′(x)是函数f (x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．
联系：函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
(3)曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示] 曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．(共40张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
学习 任务 1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算)
3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f (t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f (t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？
知识点1 几个常用函数的导数
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
提醒这6个函数都是幂函数f (x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了．
知识点2 基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝_
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝_______
f (x)＝sin x f ′(x)＝_______
f (x)＝cos x f ′(x)＝________
0
αxα-1
cos x
－sin x
原函数 导数
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝__________
f (x)＝ex f ′(x)＝____
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝________
f (x)＝ln x f ′(x)＝__
ax ln a
ex
思考函数f (x)＝ln x与f (x)＝logax的求导有什么内在联系？
[提示] f (x)＝ln x时f ′(x)＝，
而f (x)＝logax＝，
∴f ′(x)＝′＝×(ln x)′＝．
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．若y＝2 023，则y′＝0
B．若y＝x，则y′＝1
C．若y＝x-1，则y′＝－x-2
D．若y＝，则y′＝
√
√
√
ABC [由公式易知ABC正确．]
2．已知函数f (x)＝cos ，则f ′(x)＝( )
A．sin B．－sin
C．cos D．0
D [f (x)＝cos ＝－，所以f ′(x)＝0．]
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 利用导数公式求函数的导数
类型2 利用导数公式解决切线问题
类型3 导数公式的实际应用
类型1 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
[解] (1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0．
(2)∵y＝＝x-5，∴y′＝－5x-6．
(3)∵y＝＝＝，∴y′＝．
【例1】 求下列函数的导数．
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos ．
[解] (4)∵y＝lg x，∴y′＝．
(5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5．
(6)y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x．
反思领悟 求简单函数的导函数的基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝(x＞0)；(3)y＝sin(π－x)．
[解] (1)∵y＝x＝，
∴y′＝′＝＝．
(2)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝(x>0)．
(3)y＝sin (π－x)＝sin x，∴y′＝cos x．
类型2 利用导数公式解决切线问题
【例2】 (源于人教B版教材)已知函数f (x)＝x2，而l是曲线y＝f (x)的切线，且l经过点(2，3)．
(1)判断(2，3)是否是曲线y＝f (x)上的点；
(2)求l的方程．
[思路引导] 利用导数的几何意义求解，但要注意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解．
[解] (1)因为 f (2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f (x)上的点．
(2)设切点为(x0，f (x0))．
因为f ′(x)＝2x，
所以切线的斜率为f ′(x0) ＝2x0，又因为f (x0)＝，
所以直线l的方程为＝2x0(x－x0)，
将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0，
由此可解得x0＝1或x0＝3．
因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．
即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9．
[母题探究]
1．将本例变为“求曲线f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．
[解] 由题意f ′(x)＝－2x-3，所以曲线f (x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．
2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值．
反思领悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[跟进训练]
2．(1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；
[解] 设所求切线的斜率为k．
因为y′＝()′＝，k＝，
所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．
[解] 设切点坐标为(x0，y0)．
因为y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，所以＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，
所以切点为，所以所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0．
类型3 导数公式的实际应用
【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
[解] 由题意得p′(t)＝1.1t ln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．
反思领悟 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．
[跟进训练]
3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
[解] 由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知f (x)＝x2，则f ′(3)等于( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
C [因为f (x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，所以f ′(3)＝6．]
1
2
3
4
√
2．下列结论正确的个数为( )
①若y＝ln 2，则y′＝；
②若f (x)＝，则f ′(3)＝－；
③若y＝2x，则y′＝x2x-1；
④若y＝log2x，则y′＝．
A．4 B．3
C．2 D．1
1
2
3
4
√
D [由y＝ln 2得y′＝0，故①错误；对于f (x)＝，f ′(x)＝－，故
f ′(3)＝－，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2x ln 2，故③错误；对于y＝log2x，则y′＝，故④错误．]
1
2
3
4
3．曲线f (x)＝x3在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．
3 [因为f (x)＝x3，所以f ′(x)＝3x2，所以在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝3．]
1
2
3
4
3
4．函数y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程为________________．
2x－y＋1＝0 [当x＝0时，y＝sin 0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sin x＋ex的曲线上．y＝sin x＋ex的导数y′＝cos x＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos 0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]
1
2
3
4
2x－y＋1＝0
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？
[提示] 几个常见函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f (x)＝xα(α∈R，且a≠0)时，f ′(x)＝αxα-1．
(2)对于三角函数关系式，如何求导？
[提示] 对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
(3)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？
[提示] ①求解以曲线上的点(x0，f (x0))为切点的切线方程的步骤：
ⅰ．求出函数f (x)的导数f ′(x)；
ⅱ．求切线的斜率f ′(x0)；
ⅲ．写出切线方程y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．
②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组，得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
阅读材料·拓展数学大视野
04
导数法研究圆的面积与周长的关系
我们知道，圆周长l是圆的半径r的函数，即l＝2πr．
你知道吗？利用前面我们学习过的导数知识，可以由圆的周长计算公式得到圆的面积计算公式！
如图1所示，设半径为r时圆的面积为S，且半径增加Δr时，圆的面积增加ΔS．
半径为r时圆的周长为2πr，而且当Δr很小时，ΔS近似地等于如图2所示的矩形的面积，因此ΔS≈2πrΔr，
从而可知≈2πr，
令Δr→0，并注意到Δr越接近于0，近似程度越高，由此可知S′＝2πr．
又由于(πr2)′＝2πr，可知(S－πr2)′＝0，
然后根据只有常数的导数才能恒为0，以及半径为0时面积也应该为0可得S＝πr2．
利用类似的方法可以解决很多能求出平均变化率的函数问题，例如由球的表面积计算公式得到球的体积计算公式等，请读者自行尝试．(共44张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.3 简单复合函数的导数
学习 任务 1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．(数学运算)
2．能求简单的复合函数(限于形如f (ax＋b))的导数．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f (r)＝πr2．
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1．
思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？
知识点1 导数的运算法则
(1)和差的导数
[f (x)±g(x)]′＝___________．
(2)积的导数
①[f (x)g(x)]′＝__________________；
②[cf (x)]′＝______．
f ′(x)±g′(x)
f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
cf ′(x)
(3)商的导数
′＝___________________(g(x)≠0)．
思考如果f (x)的导数为f ′(x)，c为常数，则函数cf (x)的导数是什么？
[提示] 由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的乘法法则，得[cf (x)]′＝cf ′(x)．
知识点2 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．
提醒内、外层函数通常为基本初等函数．
y＝f (g(x))
知识点3 复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于_____________________________．
y′u·u′x
y对u的导数与u对x的导数的乘积
1．下列对函数的求导正确的是( )
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos ，则y′＝sin
D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2
√
D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确．]
2．(1)′＝____________；
(2)(xex)′＝____________．
(1＋x)ex
(1) (2)(1＋x)ex [(1)′＝＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 利用运算法则求导数
类型2 求简单复合函数的导数
类型3 导数运算法则的综合应用
类型1 利用运算法则求导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x2cos x；
(2)y＝；
(3)y＝ln x＋4x；
(4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)．
[思路引导] 根据每个函数的解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．
[解] (1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．
(2)法一：y′＝′＝＝．
法二：∵＝＝1－，
∴′＝′＝．
(3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝＋4x ln 4．
(4)∵y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，
∴y′＝(x4－1)′＝4x3．
反思领悟 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则并利用基本公式进行求解．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x2－sin cos ；
[解] ∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x．
(2)y＝x tan x．
[解] y′＝(x tan x)′＝′
＝
＝＝．
类型2 求简单复合函数的导数
【例2】 (源于人教B版教材)求下列函数的导数．
(1)h(x)＝e5x-1；(2)f (x)＝ln (2x＋1)；
(3)y＝；(4)y＝sin ．
[思路引导] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．
[解] (1)h(x)＝e5x-1可以看成f (u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1．
(2)f (x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝×2＝．
(3)y＝可以看成函数y＝与u＝2x－1的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝()′(2x－1)′＝×2＝＝．
(4)y＝sin 可以看成函数y＝sin u与u＝2x＋的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(sin u)′′＝2cos u＝2cos ．
反思领悟 复合函数的求导注意事项
(1)仔细观察和分析函数的结构特征，紧紧扣住求导运算法则，联系基本函数求导公式．不具备求导法则的可适当恒等变形；
(2)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝；
[解] ∵y＝，
∴y′＝＝．
(2)y＝e－xsin 2x；
[解] y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
(3)y＝ln －1；
[解] ∵y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1，
∴y′＝××(2x＋1)′＝．
(4)y＝cos (－2x)＋32x+1．
[解] y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3
＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3．
类型3 导数运算法则的综合应用
【例3】 (1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值．
[思路引导] (1)曲线上离直线2x－y＋3＝0最近的点一定是与2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝ln (2x－1)相切的直线的切点．
(2)尝试用导数的几何意义．
(2)[解] 令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
2．(变条件，变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值．
[解] 函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝．
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln (n＋1)．
整理后对比得
解得
因此b＝1－ln 2．
反思领悟 利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝
f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．
[解] 由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2．
∴k＝y′|x＝1＝3．
又x＝1时y＝1．
∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．设函数f (x)＝ln (2x)＋，则f ′(1)＝( )
A． B．1
C．－ D．1－
√
B [f ′(x)＝，则f ′(1)＝1．故选B．]
2．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C．′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin x
1
2
3
4
√
√
AD [A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，′＝，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD．]
1
2
3
4
3．设f (x)＝sin x cos x，则f (x)在点处的切线的斜率为
( )
A． B．
C．－ D．－
1
2
3
4
√
A [法一：f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴k＝f ′＝cos ＝．
1
2
3
4
法二：f (x)＝sin x cos x＝sin 2x，
∴f ′(x)＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝cos 2x，
∴k＝f ′＝．]
4．已知函数f (x)＝(2x－1)2＋5x．则f ′(x)＝________；曲线y＝f (x)在点(2，19)处的切线方程是________________．
8x＋1 17x－y－15＝0 [f ′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1．
又f ′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，
即17x－y－15＝0．]
1
2
3
4
8x＋1
17x－y－15＝0
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？
[提示] ①若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．
②若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．
(2)求复合函数的导数，应该注意哪些问题？
[提示] 求复合函数的导数的注意点：
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；
③计算结果尽量简洁．
(3)利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？
[提示] “分解—求导—还原”．
即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；
②利用求导法则分层求导；
③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．(共54张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习 任务 1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)
2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)
3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)
4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
知识点1 极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝__；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧_________，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值．
0
f ′(x)＜0
f ′(x)＞0
f (a)
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝_；而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧________，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，________叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为____．
0
f ′(x)＞0
f ′(x)＜0
f (b)
极值点
极值
提醒极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数．
知识点2 求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是______；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是______．
极大值
极小值
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大． ( )
[提示] 极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． ( )
[提示] 有的函数可能没有极值．∴(2)错；
(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点． ( )
[提示] 若f ′(x0)＝0，且导函数有变号零点，x0才是极值点，故(3)错误．
×
×
×
2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数
f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
√
C [设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．故选C．]
3．(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
BC [对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
√
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 不含参数的函数求极值
类型2 含参数的函数求极值
类型3 由极值求参数的值或取值范围
类型4 极值问题的综合应用
类型1 不含参数的函数求极值
【例1】 (1)函数f (x)＝ln x－x的极大值与极小值分别为( )
A．极小值为0，极大值为－1
B．极大值为－1，无极小值
C．极小值为－1，极大值为0
D．极小值为－1，无极大值
√
B 由于f ′(x)＝－1＝(x>0)，令f ′(x)>0，则01，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递减；
所以f (x)极大值为f (1)＝－1，无极小值．
(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则( )
A．f (x)有两个极值点
B．f (x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线
AC f ′(x)＝3x2－1，所以f (x)有两个极值点－与，又f ＝1－>0，所以f (x)只有一个零点；由f (x)＋f (－x)＝2可知，点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，曲线y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y＝2x－1．
√
√
(3)函数f (x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0，1，－1 B．
C．－ D．，－
√
B 由已知，得f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝3x－＝，
令f ′(x)＝0，得x＝．
当x>时，f ′(x)>0；
当0反思领悟 求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域；
(2)求导：求函数的导数f ′(x)；
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点；
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；
(5)结论：若导数f ′(x)在x0附近左正右负，则函数f (x)在x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知函数f (x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图．
[解] 由题意可得f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或x>2，此时f (x)递增．
解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，而且f ′(－2)＝f ′(2)＝0．
从而可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋4＝9；x＝2是函数的极小值点，极小值为f (2)＝×23－4×2＋4＝－．
函数图象的示意图如图所示．
类型2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f (x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)，求函数f (x)的极值．
[思路引导] 对函数f (x)求导，得到f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，根据导函数的零点2和2a的大小，分类讨论函数的单调性，根据函数的单调性确定函数的极值．
[解] ∵f (x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2，
∴f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．
令f ′(x)＝0，解得x＝2或x＝2a．
(1)当a＝1时，2a＝2，因此f ′(x)＝(x－2)2≥0，故f (x)在R上单调递增，函数不存在极值；
(2)当a<1时，2a<2，当x变化时，f (x)，f ′(x)随x的变化情况如表：
x (－∞，2a) 2a (2a，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表可知f (x)在(－∞，2a)和(2，＋∞)上单调递增，在(2a，2)上单调递减，因此函数在x＝2a处取得极大值f (2a)＝－a3＋4a2＋2．函数在x＝2处取得极小值f (2)＝4a＋．
(3)当a>1时，2a>2，因此函数f (x)在(－∞，2)和(2a，＋∞)上单调递增，在(2，2a)上单调递减，函数在x＝2处取得极大值f (2)＝4a＋，函数在x＝2a处取得极小值f (2a)＝－a3＋4a2＋2．
综上，当a＝1时，函数不存在极值；当a<1时，函数的极大值为－a3＋4a2＋2，极小值为4a＋；当a>1时，函数的极大值为4a＋，极小值为－a3＋4a2＋2．
反思领悟 1．判断一个函数是否有极值的方法
判断一个函数是否有极值，不仅要求解f ′(x)＝0，还要根据函数的极值定义，函数在某点处若存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反；若单调性相同，则不是极值点．
2．分类讨论求极值
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f (x)的极值．
[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．
(1)当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值．
(2)当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a．
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0．
∴f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－a ln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值；
当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
类型3 由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)已知f (x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．(－1，2)
B．(－3，6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
√
D f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，
那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3．
(2)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
√
C ∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由题意得
即
解得或
当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故函数f (x)单调递增，无极值，不符合题意．
∴a＝4，故选C．
反思领悟 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，应注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．
[解] ∵f ′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f (x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且仅当x＝－1时，
f ′(x)＝0，此时函数f (x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＞0，此时f (x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f ′(x)＜0，此时f (x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)＞0，此时f (x)为增函数．
故f (x)在x＝－1处取得极小值．
∴a＝2，b＝9．
类型4 极值问题的综合应用
【例4】 已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路引导] 求出函数的极值，要使f (x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1当x>1时，f ′(x)>0．
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a．
因为方程f (x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2[母题探究]
1．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2．
2．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
[解] 由例题可知，要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2．
反思领悟 解决函数零点的注意点
(1)研究函数零点(方程根)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、极大值、极小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
(2)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
[跟进训练]
4．求函数g(x)＝x－－4ln x－2的零点个数．
[解] 因为g(x)＝x－－4ln x－2，
所以g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3．
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如表：
当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0，
当x＞3时，g(e5)＝e5－－20－2＞25－1－22＝9＞0．
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，
因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．已知函数y＝f (x)，x∈R有唯一的极值点，且x＝1是f (x)的极小值点，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
C [由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f (x)，x∈R有唯一的极值点，所以当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0．故选C．]
√
2．函数f (x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1，3
C．－1，3 D．－1，－3
1
2
3
4
√
A [f ′(x)＝3ax2＋b，由题意知即
解得故选A．]
3．函数f (x)＝ln x－x在区间(0，e]上的极大值为________．
1
2
3
4
－1
－1 [f ′(x)＝－1＝，∵x>0，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴x＝1处取得极大值，即f (x)极大值＝f (1)＝－1．]
4．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______________________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]
1
2
3
4
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)函数极值的求解依据与步骤是什么？
[提示] 一般地，求函数y＝f (x)的极值的步骤是：
①求出函数的定义域及导数f ′(x)；
②解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
③用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
④由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f (x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．
(2)如果函数f (x)在[a，b]连续不断且有极值的话，它的极值点有规律吗？
[提示] 如果函数f (x)在[a，b]上有极值的话，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f (x)在[a，b]上的图象连续且有有限个极值点时，函数f (x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的．
(3)已知函数的零点(方程根)的个数，求参数的取值范围有哪些常用的方法？
[提示] 常用的方法有三种：
①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
②分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．(共12张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
微专题4 导数法研究恒成立问题
用导数研究恒成立问题时，一般我们既要对函数和方程的形式进行特别的观察，又要时刻注意数形结合帮助我们理解题意，需要灵活的选择合适的方法解决问题，常见的用导数解决恒成立的方法有分离变量法、分类讨论法、等价转化法等，下面进行举例说明．
类型1 分离变量法
01
【例1】 设函数f (x)＝x3＋x2－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]有f (x)A．(9，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(11，＋∞) D．(12，＋∞)
√
C [f ′(x)＝3x2＋x－2，令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝．当－1≤x<时，f ′(x)<0，当0，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
因为f (－1)＝，f (2)＝11，所以f (x)max＝11．
因为对任意的x∈[－1，2]有f (x)所以f (x)max11．故选C．]
类型2 分类讨论法
02
【例2】 已知函数f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－4，4]
D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
√
A [f ′(x)＝3＋cos 2x＋a sin x＝3＋1－2sin2x＋a sinx＝4－2sin2x＋a sinx，
函数f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上单调递增，所以f ′(x)≥0在R上恒成立，令t＝sin x(－1≤t≤1)，即4－2t2＋at≥0在R上恒成立，即2t2－at－4≤0在－1≤t≤1上恒成立．
当t＝0时，不等式显然成立．
当0当－1≤t<0时，a≤2t－，由y＝2t－在[－1，0)上单调递增，得t＝－1时，ymin＝2，所以a≤2．
综上：a的取值范围是[－2，2]．
故选A．]
类型3 等价转化法
03
【例3】 已知函数f (x)＝ex－k－k ln x，g(x)＝ex－kx， x∈(1，＋∞)，f (x)A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，e) D．(－∞，e]
√
D [由题意得ex－k－k ln x即eln x+1－k(ln x＋1)令h(x)＝ex－kx，则h(ln x＋1)令m(x)＝ln x－x＋1，x∈(1，＋∞)，
则m′(x)＝－1<0恒成立，
所以m(x)在(1，＋∞)单调递减，即m(x)＝ln x－x＋1所以h(x)单调递增，即h′(x)＝ex－k≥0， x∈(1，＋∞)恒成立，所以k≤e．故选D．](共33张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
章末综合提升
巩固层·知识整合
01
提升层·题型探究
02
类型1 导数的几何意义
类型2 函数的单调性与导数
类型3 函数的极值与导数
类型4 函数的最值与导数
类型5 导数在生活中的应用
类型6 与导数有关的综合性问题
类型1 导数的几何意义
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f (x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
【例1】 (1)曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为
( )
A．1 B．e
C．－ D．
√
D 设M(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝，所以切线斜率k＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e．所以k＝＝．
(2)设a∈R，函数f (x)＝ex＋a·e－x的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．
ln 2 由题意可得f ′(x)＝ex－是奇函数，所以f ′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，所以f (x)＝ex＋，f ′(x)＝ex－．
因为曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，
所以＝ex－，可得ex＝2(负舍)，所以x＝ln 2．
ln 2
(3)求函数f (x)＝x3－x图象上过点(1，0)的切线方程．
[解] 设函数f (x)＝x3－x图象上切点的坐标为－x0)，则切线斜率为k＝f ′(x0)＝－1，切线方程为－x0)＝－1)(x－x0)．
由于切线经过点(1，0)，所以－x0)＝－1)(1－x0)，整理得＋1＝0，
即－1)＝0，
所以2(x0－1)＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－．
所以P(1，0)或P，
所以切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋．
类型2 函数的单调性与导数
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f (x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f (x)求导，得到f ′(x)；
(2)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0．若f ′(x)＝0恒成立，则函数f (x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
【例2】 若函数f (x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，试求实数a的取值范围．
[解] f ′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f ′(x)≤0在区间(1，4)上恒成立，且f ′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f ′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0．
因为x∈(1，4)，所以x－1∈(0，3)，所以a≥＝x＋1．
因为x＋1∈(2，5)，而a≥x＋1恒成立，所以a≥5．
由f ′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0．
因为x∈(6，＋∞)，所以x－1＞5，所以a≤＝x＋1．
因为x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，
所以a≤7．
经检验，a＝5和a＝7都符合题意，
所以实数a的取值范围是[5，7]．
类型3 函数的极值与导数
1．已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤
(1)求函数的导数f ′(x)；
(2)由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数．
2．对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
【例3】 (1)函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a在x＝2处取得极值8，则a＝( )
A．－4或6 B．－4
C．6 D．4或－6
√
B 对函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a，求导得，f ′(x)＝3x2－2ax－b．
又∵在x＝2处有极值为8，∴
解得或
①当时，f ′(x)＝3x2＋8x－28＝0，
解得x1＝2，x2＝－，
∴有两个不等的实根，满足题意；
②当时，f ′(x)＝3x2－12x＋12＝0 3(x2－4x＋4)＝0 3(x－2)2＝0，
∴x有两个相等的实根，在此处无极值，不满足题意．故a的值是－4，故选B．
(2)设a∈R，若函数y＝x＋a ln x在区间有极值点，则a取值范围为( )
A．
B．
C．∪(e，＋∞)
D．(－∞，－e)∪
√
B 函数y＝f (x)＝x＋a ln x在区间有极值点 y′＝0在区间有零点．f ′(x)＝1＋＝(x＞0)．
∴f ′·f ′(e)＜0，∴(e＋a)＜0，
解得－e＜a＜－．∴a的取值范围为．故选B．
类型4 函数的最值与导数
求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
【例4】 已知函数f (x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1．
(1)求a，b的值；
[解] ∵函数f (x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1，
∴f ′(x)＝3x2－6ax＋2b，f ′(1)＝3－6a＋2b＝0， ①
且f (1)＝1－3a＋2b＝－1， ②
联立①②，解得a＝，b＝－．
(2)求f (x)在[0，2]上的值域．
[解] 由(1)得f (x)＝x3－x2－x，
∴f ′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)，x∈[0，2]．
由f ′(x)＝3x2－2x－1>0得1由f ′(x)＝3x2－2x－1<0得0≤x<1，
∴函数f (x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增．
又f (0)＝0，f (1)＝－1，f (2)＝8－4－2＝2，
∴f (x)在[0，2]上的值域为[－1，2]．
类型5 导数在生活中的应用
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
【例5】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距a m，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
[解] 设需要新建b个桥墩，则(b＋1)x＝a，即b＝－1．
因此，y＝f (x)＝256b＋(b＋1)x
＝256＋x
＝＋a＋2a－256(0(2)当a＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解] 由(1)知，f ′(x)＝－＋＝．
令f ′(x)＝0，得＝512，所以x＝64．
当0当640，f (x)在区间(64，640)内单调递增．
所以f (x)在x＝64处取得最小值．
此时，b＝－1＝－1＝9．
即需新建9个桥墩才能使y最小．
类型6 与导数有关的综合性问题
1．导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具，从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
【例6】 已知函数f (x)＝x ln x．
(1)求f (x)的最小值；
[解] f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋ln x，令f ′(x)>0，解得x>；
令f ′(x)<0，解得0故f (x)min＝f ＝ln ＝－．
(2)若对任意的x≥1都有f (x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
[解] 当x≥1时，f (x)≥ax－1恒成立，
等价于x ln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln x＋(x≥1)恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则当x≥1时a≤g(x)min恒成立．
∵g′(x)＝－＝，∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1) ＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．
(3)若关于x的方程f (x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
[解] 当x≥1时，f (x)≥ax－1恒成立，
等价于x ln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln x＋(x≥1)恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则当x≥1时a≤g(x)min恒成立．
∵g′(x)＝－＝，∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1) ＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．
即若关于x的方程f (x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－谢谢观看 THANK YOU!