(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习任务 1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______(大于
|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这____________叫做椭圆的焦点，
_________________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a__|F1F2|．
常数
两个定点
两焦点间的距离
一半
>
提醒 在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
知识点2 椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _________________
焦点 (－c，0)与(c，0) __________与________
a，b，c的关系 c2＝______ ＋＝1(a>b>0)
(0，－c)
(0，c)
a2－b2
思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． ( )
提示：因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2．
√
×
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． ( )
提示：因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． ( )
×
√
2．(1)若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在_____轴上，焦点坐标为_________________．
y (0，－12)和(0，12) 因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0，12)．
y
(0，－12)和(0，12)
(2)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是____________．
＋＝1 因为焦距等于4，所以c＝2，
因为经过点P(6，0)，所以a＝6，
所以b2＝a2－c2＝36－4＝32．
因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1．
＋＝1
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 求椭圆的标准方程
类型2 对椭圆标准方程的理解
类型3 椭圆的定义及其应用
类型1 求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
[解] 由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5．
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)；
[解] 由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4．
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(3)经过点P，Q．
[解] 法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有 解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有 解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1．
发现规律 试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
提示：(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
[解] 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解] 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
类型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)(2022·江苏省扬州市期中)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5，7) B．(5，6) C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
D 由题意可知
解得5
√
(2)(2022·黄冈期末)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为__________．
∵已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴解得∴t的取值范围是．
反思领悟 由椭圆标准方程判定焦点位置的依据
判断椭圆焦点在哪个轴上的依据是判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[跟进训练]
2．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为__________．
－1或－ [原方程可化为＋＝1．
依题意可得 则
所以k的值为－1或－．]
－1或－
类型3 椭圆的定义及其应用
考向1 求椭圆焦点三角形的内角或边长
【例3】 (1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长；
[解] 因为A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a．
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a．
故△ABF2的周长为4×5＝20．
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
[解] 由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
所以cos ∠F1PF2＝＝，
所以∠F1PF2＝60°．
反思领悟 关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
考向2 求椭圆焦点三角形的面积
【例4】 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解] 由＋＝1，可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，
即|PF2|2＝2 |PF1| ． ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 ． ②
由①②联立可得|PF1|＝．
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝．
[母题探究]
1．本例中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．
[解] 由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°．
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2．
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此＝|F1F2||PF1|＝．故所求△PF1F2的面积为．
2．本例中方程改为“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值．
[解] 由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·
sin ∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4．根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a ．再利用余弦定理可得4c2＝＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1．
反思领悟 椭圆的焦点三角形的面积公式速解：若∠F1PF2＝θ，则＝b2tan ．解答选择题、填空题可直接应用．
【例5】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
C [由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
√
反思领悟 与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．
[跟进训练]
3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面积S；
[解] 如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．
由余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝．
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 2θ
＝·sin 2θ＝·b2＝b2tan θ．
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解] ∵2θ为△PF1F2的内角，∴2θ∈(0，π)，即θ∈．
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
1
2
3
4
√
√
BD [A．＜2，故点P的轨迹不存在；B．因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D．点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为4＞8，所以点P的轨迹为椭圆．]
1
2
3
4
2．“mn<0”是“方程mx2－ny2＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
2
3
4
√
B [若m＝1，n＝－1，则方程x2＋y2＝1表示圆．反之，若方程表示椭圆，则mn<0．故为必要不充分条件．]
3．(2022·郑州模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
1
2
3
4
√
B [由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1．]
4．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48 [由题意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，∴|PF1||PF2|＝48．]
1
2
3
4
48
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
提示：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
提示：表示椭圆时，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0．(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学习任务 1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象)
2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算)
3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
通过椭圆的定义及图形认识了椭圆的一些简单性质(如对称性)，得到椭圆的标准方程之后，类比圆的研究方法，就有了一个新的途径——通过方程来探索和验证椭圆的几何性质，由椭圆的标准方程＋＝1(a＞b＞0)，可以获得椭圆的哪些几何性质呢？
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ___________(a>b>0)
范围 _____________________ _____________________
＋＝1
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
对称性 对称轴为______，对称中心为____ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝___，长轴长|A1A2|＝___ 焦点 ____________________ ___________________
焦距 |F1F2|＝__ 离心率 坐标轴
原点
2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
(0，1)
思考(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：(1)最大值a＋c，最小值a－c．
(2)与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
知识点2 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝___．
(3)范围：_______．
(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆．
01．已知椭圆＋＝1，则其顶点坐标分别为___________________
_________________，焦点坐标为____________________，长轴长等于____，短轴长等于____，焦距等于________．若点P(m，n)为该椭圆上任意一点，则m的取值范围是________．
(0，4)，(0，－4)，
(3，0)，(－3，0)
(0，)，(0，－)
8
6
2
[－3，3]
2．已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝________．
[由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，
从而e＝＝．]
3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为_____________________．
＋＝1或＋＝1 [由题意知2a＝8，＝，则c＝1，从而b2＝42－1＝15，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．]
＋＝1或＋＝1
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 由椭圆方程研究几何性质
类型2 由椭圆的几何性质求标准方程
类型3 椭圆的离心率问题
类型1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 (源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
[解] 将已知方程化为椭圆的标准方程＋＝1．
则a＝5，b＝3，c＝＝4．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10，2b＝6．
离心率e＝＝．
两个焦点分别是F1(－4，0)，F2(4，0)．
椭圆的四个顶点分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
将方程变形为y＝±，
由y＝，在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，如下表(y的值精确到0.1)．
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图所示)．
发现规律 试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
提示：(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有( )
A．相同的焦点 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
C [在两个方程的比较中，端点a，b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
√
(2)已知椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1．
①当0∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m>4时，a＝，b＝2，∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．
类型2 由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
[解] 若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．
∴椭圆的方程为＋＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27．
∴椭圆的方程为＋＝1．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
[解] 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[解] 法一：由题意知e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．将点M(1，2)代入椭圆方程，得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入，可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，
故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
反思领悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为___________．
＋＝1 由题意，得
解得因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
＋＝1
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是______________________．
＋＝1或＋＝1 因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1．
＋＝1或＋＝1
类型3 椭圆的离心率问题
【例3】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
√
A 已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝，
kAQ＝，
故kAP·kAQ＝＝，①
∵＋＝1，即＝，②
将②代入①整理得＝．∴e＝＝＝ ．故选A．
(2)设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心O的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为________．
由椭圆的对称性，不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(a，0)为右顶点，P(x0，y0)(0因为PO⊥PA，所以＝－1，即＝．
又＋＝1，所以－a3x0＋a2b2＝0，
即(x0－a)[(a2－b2)x0－ab2]＝0．
因为0而b2＝a2－c2，所以0<<1，所以0<－1<1，所以[母题探究]
本例(1)中，“若直线AP，AQ的斜率之积为”改为“若直线AP，AQ的斜率之积不小于”，求C的离心率的取值范围．
[解] 已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，显然，|x0|≠a，
kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝≥．
∵|x0|0， ①
∵＋＝1，∴＝， ②
由①②知≥，
∴e＝＝≤．
又e>0，∴离心率的取值范围为．
反思领悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos ∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e＝( )
A． B． C． D．
√
D 设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，则左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)，依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，
在△F1AF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos ∠F1AF2，因为cos ∠F1AF2＝，所以4c2＝a2＋a2－2a2×＝a2，所以e2＝＝，解得e＝或e＝(舍)．故选D．
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
√
C 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得＝a2－，则|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2．因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，又e>0，所以0学习效果·课堂评估夯基础
03
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3， B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
1
2
3
4
√
B [椭圆方程可变形为＋＝1，∴a＝5，b＝3，∴长轴长为10，短轴长为6，e＝＝ ．故选B．]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
1
2
3
4
√
C [依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1．]
3．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则____更扁．(填序号)
① [x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝．因为e1>e2，故①更扁．]
1
2
3
4
①
4．已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
[依题意可得2c≥2b，即c≥b．
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥．
又因为01
2
3
4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
提示：(1)化标准，把椭圆方程化成标准形式；
(2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
(3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
(4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
2．试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路．
提示：已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
(3)写出标准方程．
3．试总结求椭圆离心率的方法．
提示：(1)若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；
(2)若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．(共54张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习任务 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点 定点________
焦距 ________的距离
差的绝对值
F1，F2
两焦点间
提醒 (1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
思考 1．双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：双曲线的右支．
知识点2 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ____________________ __________________
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) _______________________
a，b，c的关系 c2＝______ －＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2＋b2
思考 2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
提示：双曲线的焦点在x轴上 标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上 标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法．
1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
√
D [依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，
故点P的轨迹为一条射线．]
2．(1)若双曲线方程为－＝1，则其焦点在__轴上，焦点坐标为
____________________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
___________．
(1)x (6，0)和(－6，0) (2)－＝1 [(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线方程为－＝1．]
x
(6，0)和(－6，0)
－＝1
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 双曲线的标准方程
类型2 双曲线标准方程的识别
类型3 双曲线的定义及其应用
类型4 双曲线在生活中的应用
类型1 双曲线的标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
[解] 当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
[解] 双曲线－＝1的焦点在x轴，
因此设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20． ①
∵双曲线经过点(3，2)，
∴－＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解] 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
发现规律 试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
提示：(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程．
[解] 由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1．
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1．
类型2 双曲线标准方程的识别
【例2】 给出曲线方程＋＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
[解] 方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解] 方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有
解得k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．
反思领悟 方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知方程＋＝1．
(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；
[解] 方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0．解得－5因此，当－5(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
[解] 由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1．
所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点．
类型3 双曲线的定义及其应用
【例3】 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离．
[解] 由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，所以a＝3，b＝4，c＝5．
设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知
||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6．
解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1因此，点M到另一个焦点的距离为13．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16．
[母题探究]
(1)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
[解] 将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得
cos ∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
(2)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
[解] 由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
＝×4×＝8．
反思领悟 双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
[跟进训练]
3．(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
√
B [由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a．
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．]
(2)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
[解] 设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD．由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2．
∴|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|．
又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径长为1，
故|BD|≥|CD|－1＝－1，
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
当且仅当点M，B在线段CD上时取等号．
故|MA|＋|MB|的最小值为＋1．
类型4 双曲线在生活中的应用
【例4】 某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
[解] 如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)， ①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝2，c＝3，
∴点P的轨迹方程为－＝1(x≥2)， ②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
∴kPA＝＝，
因此在A处发现P的方位角为北偏东30°．
反思领悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[跟进训练]
4．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解] 设爆炸点为P，由已知，得|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，
|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线
并靠近点B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系(如图所示)．
由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600．
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1或－＝1
1
2
3
4
√
D [应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．]
2．(多选)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
1
2
3
4
√
√
√
BCD [由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A选项错误．由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或t>4时，方程＋＝1表示双曲线，故B选项正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得1项正确．当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，满足
解得t>4，故D选项正确．综上所述，正确的选项为BCD．故选BCD．]
1
2
3
4
3．已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
17或1 [由题意知，双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，∴c＝5，
又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，
因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，
根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]
1
2
3
4
17或1
4．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为___________．
－＝1 [由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)．
设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1．]
1
2
3
4
－＝1
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
提示：定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
提示：(1)若表示双曲线，则满足mn>0．
(2)若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
(3)若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？
提示：|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．
4．定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
提示：根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．(共43张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
学习任务 1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(直观想象、数学运算)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点1 抛物线的几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py
(p＞0)
图形
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
性质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R ___________ ____________
对称轴 ____ _____ 顶点 __________ 离心率 e＝___ y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
x轴
y轴
(0，0)
1
思考 1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同？
提示：抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别，它的离心率为定值1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有渐近线，没有对称中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线．
知识点2 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：____、____和____．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
相离
相切
相交
(1)k＝0时，直线与抛物线只有____交点；
(2)k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线____ 有__个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线____ 只有__个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线____ ____公共点．
一个
相交
两
相切
一
相离
没有
思考 2．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
知识点3 直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝
或|AB|＝(k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝_______，|BF|＝_______，故|AB|＝___________．
x1＋
x2＋
x1＋x2＋p
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称． ( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． ( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． ( )
×
√
√
2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．
0或 [由
消去x得ky2－y＋2＝0．
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝．综上，k＝0或．]
0或
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为____．
12 [抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12．]
12
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为____．
2 [由抛物线的方程可知焦点F(1，0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得＝(2)2＝12，所以xA＝＝3，
所以所求距离为3－1＝2．]
2
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 抛物线性质的应用
类型2 直线与抛物线的位置关系
类型3 抛物线的焦点弦问题
类型1 抛物线性质的应用
【例1】 (1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，求|PA|取得的最小值；
[解] 设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8．当x＝1时，|PA|取得最小值2．
(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
[解] 设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2．由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝．于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x．
反思领悟 利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
[跟进训练]
1．(1)已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长；
[解] 如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝＝2px2．
又|OA|＝|OB|，
所以＝，
即＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．
因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与＝2px1联立，解得y1＝2p．
所以|AB|＝2y1＝4p，
即这个三角形的边长为4p．
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
[解] 如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)，
因为F是△AOB的垂心，所以AF⊥OB，
所以kAF·kOB＝－1，
即＝－1．所以＝x0，
又因为＝2px0，所以x0＝2p＋＝．
所以直线AB的方程为x＝．
类型2 直线与抛物线的位置关系
【例2】 (源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
[解] (Ⅰ)若直线l的斜率存在，记为k．又直线过定点(0，－2)，可设直线l的方程为y＝kx－2． ①
由方程组 ②
消去y，并整理得k2x2－(4k＋2)x＋4＝0． ③
(1)当k＝0时，由方程③，得x＝2．此时方程①的解为y＝2．
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，2)．
(2)当k≠0时，方程②的判别式
Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4．
若Δ>0，解得k>－．
于是，当k>－，且k≠0时，方程③有两个实数解，从而方程组②有两组实数解．这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点．
若Δ＝0，解得k＝－．
于是，当k＝－时，方程③有一个实数解，从而方程组②只有一组实数解．这时，直线l与抛物线有一个公共点．
若Δ<0，解得k<－．
于是，当k<－时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点．
综上可得：
当k＝0，或k＝－，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当k>－，且k≠0时，直线l与抛物线有
两个公共点；
当k<－时，直线l与抛物线没有公共点．
直线l与抛物线C的位置关系如图所示．
反思领悟 直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．已知抛物线y2＝8x和直线l：y＝k(x－1)－1，判断直线l与抛物线的位置关系，若l与抛物线相交于不同两点，求以点(1，－1)为中点的弦所在的直线方程．
[解] 直线l过定点(1，－1)，且在抛物线内部，故直线l与抛物线相交．
设所求直线与抛物线y2＝8x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝8x2．
＝8(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝－2，∴k＝＝＝－4．
∴方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0．
类型3 抛物线的焦点弦问题
【例3】 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．
(1)求直线l的方程；
[解] 由题意得F(1，0)，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝．
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝．
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1．
因此直线l的方程为y＝x－1．
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解] 由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5．
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
反思领悟 过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
[跟进训练]
3．抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4，4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
[解] 依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，
因为抛物线C过点A(4，4)，所以42＝8p，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)求线段MN的长．
[解] 由(1)可得抛物线的焦点为F(1，0)，
则直线l的方程为y＝x－1，
联立得x2－6x＋1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，
根据抛物线的定义可得|MN|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
1
2
3
4
√
√
CD [设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
依题意令y＝，代入x2＝2py或令y＝－，代入x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4．∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y．]
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6 C．8 D．10
1
2
3
4
√
C [抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，
因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，
所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，
所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8．]
3．(2022·浙江诸暨期中)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，则实数p＝______；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|＝________．
2 8 [因为抛物线的焦点为F(1，0)，所以＝1，得p＝2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x－1，将直线AB的方程代入抛物线方程y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，从而|AB|＝x1＋x2＋p＝8．]
1
2
3
4
2
8
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．
综上，k＝0或1．]
1
2
3
4
0或1
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？
提示：法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R．
法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．
2．直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py(p>0)相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？
提示：|AB|＝p－(y1＋y2)．(共44张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的方程及性质的应用
学习任务 1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(逻辑推理、数学运算)
2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？
知识点 与抛物线有关的焦点弦的相关结论
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；
(5)以AB为直径的圆必与准线l相切．
思考 你能证明＋＝这个结论吗？
提示：(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝．
由得y2＝p2．
∴y＝±p．
从而|AF|＝|BF|＝p，∴＋＝．
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k，
由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝，
∴＋＝＋
＝＝
＝＝＝，
即＋＝．综合(1)(2)可得，＋＝．
直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝______．
[由＋＝，得＋＝1，
解得|BF|＝．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 和抛物线有关的轨迹问题
类型2 与弦长、弦中点有关的问题
类型3 与抛物线有关的综合问题
类型1 和抛物线有关的轨迹问题
【例1】 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹方程；
[解] 法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，∴＝y＋，化简得x2＝2y．故点P的轨迹方程为x2＝2y．
法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y＝－的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，且p＝1．
∴点P的轨迹方程为x2＝2y．
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[解] 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2．
∵|AB|＝
＝
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1．
反思领悟 求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
[跟进训练]
1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解] 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1．
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1．
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R．
所以|MC|＝d＋1．
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x．
类型2 与弦长、弦中点有关的问题
【例2】 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度．
[解] 法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)．
∵P是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
则k＝＝＝4，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0．
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30．
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|＝＝．
法二：由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0．
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，
∵P是AB的中点，∴＝1，∴＝2，∴k＝4．
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0．
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|
＝＝．
反思领悟 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系运用“设而不求”“整体代入”等解法．
注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
[跟进训练]
2．(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A． B． C． D．25
√
A 由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，所以直线l的方程为y＝(x－2)．
由
得B点的坐标为．
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝．
所以AB的中点到准线的距离为．
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为__________．
x－y＝0
y2＝4x
y2＝4x x－y＝0 由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有且x1≠x2，
两式相减得＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0．
类型3 与抛物线有关的综合问题
【例3】 (2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D( p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3．
(1)求C的方程；
[解] 抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β 取得最大值时，求直线AB的方程．
[解] 设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，
由 可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝＝＝，
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k>0，
则tan ＝＝＝≤＝，
当且仅当＝2k即k＝时，等号成立，
所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，
tan (α－β)＜．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
反思领悟 最值问题类型较多，总体上主要有两种方法：一是几何法，即利用曲线的定义、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)变式的函数，然后利用函数方法、不等式方法等求解．
[跟进训练]
3．(2022·山师大附中高二月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求的最小值．
[解] 由题意知F(1，0)，直线l的斜率k存在且不为0，
设l的方程为y＝k(x－1)，
由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．
因为直线l⊥MF，所以直线MF的斜率为－．
设M(x3，y3)，K(x4，y4)，同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1．
故＝()()
＝
＝|| ||＋|| ||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得最小值16．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
1
2
3
4
√
A [设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，
∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x．]
1
2
3
4
2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝4，则弦AB的中点到y轴的距离为( )
A． B．2 C．3 D．4
1
2
3
4
√
A [因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，所以p＝1，抛物线的方程为y2＝2x．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p，所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝．]
1
2
3
4
3．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
(3，2) [将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3，2)．]
1
2
3
4
(3，2)
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是_____．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝．
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．]
1
2
3
4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？
提示：直接法、定义法．
2．如何解答最值问题？
提示：最值问题的常用解法有两种：
(1)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法．
(2)几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形性质来解决．(共11张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
探究课2 为什么y＝±x是双曲线－＝1的渐近线
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为曲线C的渐近线．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由－＝1得y＝b＝x，
当x→＋∞时，→1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时双曲线无限地接近于直线y＝x．
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过M作MQ⊥l于Q，
过M作PM⊥x轴交l于点P，
则|PM|≥|QM|．设M点的坐标为(xM，yM)，
则yM＝，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝．
当xM→＋∞时，xM＋→＋∞，所以|PM|→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线－＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x．
【典例】 (1)如图所示，已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为__________．
y＝±x
y＝±x 设F2(c，0)(c>0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝±．∴|PF2|＝．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|． ①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a． ②
由①②得|PF2|＝2a．
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝．
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝____．
双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，
解得m＝或m＝－(舍去)．
1．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． C．
A [由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝．故选A．]
√
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为____．
4 [双曲线－y2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3．设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4．]
4 (共8张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
微专题3 轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
类型1 直接法求轨迹方程
【例1】 已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为_________________．
＋＝1(y≠0) [设点C(x，y)，则kAC·kBC＝×＝(y≠0)，
所以＝－(y≠0)，化简得＋＝1(y≠0)．]
＋＝1(y≠0)
类型2 定义法求轨迹方程
【例2】 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
[解] 如图，设圆P的半径为r，又因为圆P过点B，
所以|PB|＝r．又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)，
所以圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10，2c＝|AB|＝6，所以a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
所以圆心P的轨迹方程为＋＝1．
类型3 相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】 已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数．
(1)求动点M的轨迹Γ的方程；
[解] 设动点M(x，y)，由已知可得＝，
即x2＋2x＋3＋y2＝，化简得＋y2＝1，
即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1．
(2)设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．
[解] 设点B(x，y)，点P(x0，y0)，由得
由点P在轨迹Γ上，得＋＝1，
整理得＋4＝1，
∴线段PA的中点B的轨迹方程是＋4＝1．(共15张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
微专题4 破解圆锥曲线的离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)；
(3)由已知条件得关于a，b的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率；
(5)在焦点三角形内求离心率．
类型1 定义法
【例1】 (1)(2022·山东省聊城市模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．
－1
－1 设椭圆左、右焦点分别为F1，F，点A在第一象限，如图所示．
由题意知，|OA|＝|F1F|，所以△F1AF是直角三角形，|AF|＝c，
所以|AF1|＝c，2a＝c＋c，所以＝＝－1．
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，
由|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，
则有(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝9b2－9ab＝4a2，
即有(3b－4a)(3b＋a)＝0．所以3b＝4a，
所以＝，
则e＝＝＝＝．
类型2 几何法
【例2】 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
√
A [如图，设PF1的中点为M，连接PF2．
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°．
因为∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|．
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，
即c＝，
则e＝＝＝．]
类型3 寻求齐次方程求离心率
【例3】 (1)(2022·江西省上饶市模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是( )
A． B．
C．或 D．1＋
√
D 由题意易知F(－c，0)，A(a，0)，设B(0，b)，
则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2．
由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|，
即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得c2－2a2－2ac＝0，
又e＝，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±，
又双曲线中e>1，所以e＝1＋．
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c．
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝．因为0 类型4 求离心率的取值范围
【例4】 若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
[法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|≤a，
由F1(－c，0)，F2(c，0)知＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
∵∠F1MF2＝90°，∴＝＝0，即＝c2．
又点M在椭圆上，即＝b2－＝b2＋∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0法二：设椭圆与y轴的一个交点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0故椭圆的离心率e的取值范围是．](共26张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
章末综合提升
类型1 圆锥曲线的定义及标准方程
1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．求圆锥曲线标准方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到动点的轨迹方程．
(2)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
3．圆锥曲线定义的应用及标准方程的求解体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
√
【例1】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
C 法一：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．
依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，
因为d1＋d2＝6，
所以＋＝6，
所以＋＝6，
解得a＝，所以b＝3，
所以双曲线的方程为－＝1，故选C．
法二：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
所以
解得如图所示，由d1＋d2＝6，
即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，
所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1．
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝_____．
60° 双曲线方程16x2－9y2＝144，
化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，
所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，
所以F1(－5，0)，F2(5，0)．
60°
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，
又已知m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知
cos ∠F1PF2＝＝
＝＝＝．
所以∠F1PF2＝60°．
类型2 圆锥曲线的性质及应用
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
√
【例2】 (1)(2022·江苏省南通市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D [由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12．
所以a＝3．因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2．
所以b2＝a2－c2＝5．所以椭圆C的方程为＋＝1．]
(2)已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左、右支的交点分别为点A，B．
①求证：P在直线x＝上；
②求双曲线C的离心率e的取值范围；
③若|AP|＝3|PB|，求离心率e．
[解] ①证明：由题意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，联立解得点P的坐标为，所以点P在直线x＝上．
②由
消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝．
由于点A，B分别在两支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>．
③由题意知：P分AB所成的比λ＝3，
所以＝，即x1＋3x2＝．又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
从而 ·＝，
化简得4a2＝b2，所以e＝＝＝．
类型3 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、求最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合．(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系．(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．
2．借用直线与圆锥曲线的位置关系问题培养直观想象和数学运算的学科素养．
【例3】 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
[解] 由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1．
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
[解] 由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<． ①
∴|CD|＝2＝2＝．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0． ②
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
∴|AB|＝＝．
由＝，得＝1，
解得m＝±，经检验满足①②．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．
类型4 圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养逻辑推理和数学运算素养．
【例4】 已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于D，E两点，当直线l与x轴垂直时，|DE|＝4．
(1)求抛物线C的方程；
[解] ∵点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，∴F，又∵当l与x轴垂直时，|DE|＝4，∴D．
又∵点D在抛物线上，∴4＝2p×＝p2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)如图所示，设点R(x0，2)在抛物线C上，过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．
[解] ∵点R(x0，2)在抛物线C上，∴x0＝1，
∴R(1，2)．
设直线AB的方程为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，
A，B．
由得y2－4my＋4m－4＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4．
又直线AR的方程为y－2＝(x－1)＝(x－1)．
由
得xM＝－，同理可得xN＝－，
∴|MN|＝|xM－xN|＝2
＝2＝2
＝2≥2×
＝，当且仅当m＝－1时，等号成立，
∴|MN|min＝，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0．