广东省深圳市校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

深圳市校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一 二章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
4.已知，则“直线与直线垂直”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.阅读以下材料并解决问题：空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.空间直角坐标系中，，点在平面内，且平面，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于直线，下列说法正确的有（ ）
A.过点 B.斜率为
C.倾斜角为 D.在轴上的截距为1
10.已知为两个平面，且，平面的一个法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
11.已知圆与点，则（ ）
A.圆的半径为2
B.点在圆外
C.点与圆上任一点距离的最大值为
D.点与圆上任一点距离的最小值为
12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.与所成角的余弦值为
C.平面
D.与平面所成角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线与直线平行，则实数的值为__________.
14.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则__________.
15.已知圆与圆只有一条公切线，则__________.
16.四面体各顶点坐标为，则它的外接球的表面积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，为的中点，，以为坐标原点，以所在的直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出四点的坐标；
（2）求.
18.（12分）
已知的三个顶点是.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程.
19.（12分）
已知圆经过，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
20.（12分）
如图，在三棱柱中，底面三角形是边长为4的正三角形，侧面是菱形，且平面平面分别是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若①三棱锥的体积为8；②与底面所成角为；③异面直线与所成的角的大小为.请选择一个条件求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
直线，圆.
（1）证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程；
（3）设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
22.（12分）
如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，.
（1）若与相似，三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；
（2）求四棱锥体积的最大值.
深圳市校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案 提示及评分细则
1.A 由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.
2.D 由直线方程知，向量及它的平行向量均可作为该直线的方向向量.
3.C 由题可得，所以，解得.
4.B 直线与直线垂直，即，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件.
5.C 因为，所以，又，所以.
6.B
7.A
8.D 由，得，设平面的法向量，则令，得，又，而平面，于是，又，所以
9.BC 当时，，所以直线不经过点，所以选项错误；由题得，所以直线的斜率为，所以选项正确；由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以选项正确；当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以选项错误.
10.AC 根据题意，与平面的法向量数量积为零，因为，满足题意，故A正确；因为，故B错误；因为，满足题意，故C正确；因为，故D错误.
11.BCD
12.ABC 因为，
所以，故A正确；
因为，所以
，所以，故B正确；
因为，所以，又，所以平面，故C正确；
由题意知：直线与平面上的射影为直线，则与的夹角即为所求，而，故D错误.
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）由题意，可得为正三角形，因为，所以，
以为坐标原点，所在的直线分别为的方向为轴 轴和轴建立
的空间直角坐标系，可得
（2）由（1）可得，
所以.
18.解：（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上高所在直线为，即.
（2）显然直线斜率不存在，因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或过的中点，
①当直线与平行，
所以，所以，即.
②当直线过的中点，
所以，所以，即.
综上：直线的方程为或.
19.解：（1）由题知中点为，
的垂直平分线方程为，
与联立得圆心为，
易知，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，则解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.
20.（1）证明：取中点连接，则，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面平面，所以平面.
（2）解：选①，，选②③一样
取中点，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
设平面的法向量为，
则即令，则，
设平面与平面的夹角为，
.
21.（1）证明：由题意知可化为，
故解得直线恒过定点.
（2）解：圆的圆心为，
，
当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，，
，即.
（3）解：方法1（几何法）
，且为钝角，
当时有最大值，
此时同（2），即.
方法2
设圆心到直线的距离为，
则，
，
当时有最大值，此时同（2），或者由，解得，
.
22.解：（1）由题意知平面平面，且，
平面，
又，
又三棱锥外接球的球心恰为中点，，
，即，
，
又
，设与平面所成角的正弦值为.
即与平面所成角的正弦值为.
（2）易知四边形的面积为3，
以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
易知点在平面内，设，
由得，
即即，
轨迹是在面上，以为圆心，为半径的圆上，
体积最大，即到平面距离最大，且最大值为，
最大值.