山西省太原市2024届高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山西省太原市2024届高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 513.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-15 17:00:26 | ||
图片预览
文档简介
太原市2024届高三上学期期中考试
数学试卷
（考试时间：上午8：00-10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
题号 一 二 三 四 总分
17 18 19 20 21 22
得分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，若，则实数
A． B．2 C． D．1
5．已知偶函数在是增函数，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
6．几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在△ABC中，已知，，，现以边AB，BC，CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为D，E，F，则DE的长为
A． B． C． D．
7．已知（，且），m，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
8．在解决问题“已知，请用m表示的值”时，甲的结果为，乙的结果为，则下列结论正确的是
A．甲、乙的结果都正确 B．甲的结果正确、乙的结果错误
C．甲的结果错误、乙的结果正确 D．甲、乙的结果都错误
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列中，，，则下列结论正确的是
A． B．是递增数列 C． D．
10．如图，在长方体中，，，点E，F，G分别是BC，CD，的中点，点M是侧面内（含边界）的动点，则下列结论正确的是
A．存在M，使得平面EFG B．存在M，使得AM⊥平面EFG
C．不存在M，使得平面平面EFG D．不存在M，使得平面平面EFG
11．已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是
A．的周期 B．
C．在上单调递增 D．是偶函数
12．已知函数，则下列结论正确的是
A．在上单调递减
B．的极小值为4
C．，都有
D．，直线l：与曲线有唯一交点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数在处的切线方程为 ．
14．已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
15．已知圆O是△ABC的外接圆，，点P是BC的中点，且，则 ．
16．已知是函数的零点，则 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知集合，．
（1）求；
（2）若是奇函数，当时，求的值域．
18．（本小题12分）
在△ABC中，，，，D在AB上，且．
（1）求CD的值；
（2）求△BCD的面积．
19．（本小题12分）
已知函数．
（1）求的单调递增区间和对称中心；
（2）当时，，求的值．
20．（本小题12分）
如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．
（1）若，求证：CD⊥平面；
（2）若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
已知为单调递增的等比数列，，记，分别是数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
22．（本小题12分）
已知函数，．
（1）当时，证明：；
（2）当，若恒成立，求实数m的取值范围．
太原市2024届高三上学期期中考试
参考答案及评分建议
一、单项选择题：
D A C B C B D A
二、多项选择题：
9．BD 10．AD 11．BC 12．ACD
三、填空题：
13． 14．0 15． 16．
四、解答题：
17．解：
（1）由题意得，
∴，
∴；
（2）由在处有定义，且是奇函数，
∴，
∴（经检验，符合题意），
∴，
∴，在上单调递增，且，
∴当时，的值域为．
18．解：
（1）∵，，
∴，
在△ACD中，由得，
（2）在△BCD中，由余弦定理得
∴，
∴或，
①当时，△BCD的面积为；
②当时，△BCD的面积为．
19．解：
（1），
由（）得，
∴的单调递增区间为（）；
由（）得，
∴的对称中心为（）；
（2）由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．
（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是的中点，
∴，
∵平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，CD⊥平面；
（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
∴，
取，则，，
∴，
∴，
∴或，
①当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为；
②当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为．
21．解：
（1）由题意设的公比为q（），
则，
∴，
由，得，
∴；
（2）由（1）得，
①当（）时，
；
②当（）时，
；
综上，当时，．
22．
（1）解：当时，令，，
则，令，则；令，则；
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴；
（2）令，，原不等式等价于恒成立，
由题意可得成立，即，
∴，
下证：当时，不等式恒成立，
①当时，
②当时，，
∴在上单调递增，
∴；
③当时，；
综上，实数m的取值范围是．
注：以上各题其它解法，请酌情赋分．
数学试卷
（考试时间：上午8：00-10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
题号 一 二 三 四 总分
17 18 19 20 21 22
得分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，若，则实数
A． B．2 C． D．1
5．已知偶函数在是增函数，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
6．几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在△ABC中，已知，，，现以边AB，BC，CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为D，E，F，则DE的长为
A． B． C． D．
7．已知（，且），m，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
8．在解决问题“已知，请用m表示的值”时，甲的结果为，乙的结果为，则下列结论正确的是
A．甲、乙的结果都正确 B．甲的结果正确、乙的结果错误
C．甲的结果错误、乙的结果正确 D．甲、乙的结果都错误
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列中，，，则下列结论正确的是
A． B．是递增数列 C． D．
10．如图，在长方体中，，，点E，F，G分别是BC，CD，的中点，点M是侧面内（含边界）的动点，则下列结论正确的是
A．存在M，使得平面EFG B．存在M，使得AM⊥平面EFG
C．不存在M，使得平面平面EFG D．不存在M，使得平面平面EFG
11．已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是
A．的周期 B．
C．在上单调递增 D．是偶函数
12．已知函数，则下列结论正确的是
A．在上单调递减
B．的极小值为4
C．，都有
D．，直线l：与曲线有唯一交点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数在处的切线方程为 ．
14．已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
15．已知圆O是△ABC的外接圆，，点P是BC的中点，且，则 ．
16．已知是函数的零点，则 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知集合，．
（1）求；
（2）若是奇函数，当时，求的值域．
18．（本小题12分）
在△ABC中，，，，D在AB上，且．
（1）求CD的值；
（2）求△BCD的面积．
19．（本小题12分）
已知函数．
（1）求的单调递增区间和对称中心；
（2）当时，，求的值．
20．（本小题12分）
如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．
（1）若，求证：CD⊥平面；
（2）若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
已知为单调递增的等比数列，，记，分别是数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
22．（本小题12分）
已知函数，．
（1）当时，证明：；
（2）当，若恒成立，求实数m的取值范围．
太原市2024届高三上学期期中考试
参考答案及评分建议
一、单项选择题：
D A C B C B D A
二、多项选择题：
9．BD 10．AD 11．BC 12．ACD
三、填空题：
13． 14．0 15． 16．
四、解答题：
17．解：
（1）由题意得，
∴，
∴；
（2）由在处有定义，且是奇函数，
∴，
∴（经检验，符合题意），
∴，
∴，在上单调递增，且，
∴当时，的值域为．
18．解：
（1）∵，，
∴，
在△ACD中，由得，
（2）在△BCD中，由余弦定理得
∴，
∴或，
①当时，△BCD的面积为；
②当时，△BCD的面积为．
19．解：
（1），
由（）得，
∴的单调递增区间为（）；
由（）得，
∴的对称中心为（）；
（2）由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．
（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是的中点，
∴，
∵平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，CD⊥平面；
（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
∴，
取，则，，
∴，
∴，
∴或，
①当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为；
②当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为．
21．解：
（1）由题意设的公比为q（），
则，
∴，
由，得，
∴；
（2）由（1）得，
①当（）时，
；
②当（）时，
；
综上，当时，．
22．
（1）解：当时，令，，
则，令，则；令，则；
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴；
（2）令，，原不等式等价于恒成立，
由题意可得成立，即，
∴，
下证：当时，不等式恒成立，
①当时，
②当时，，
∴在上单调递增，
∴；
③当时，；
综上，实数m的取值范围是．
注：以上各题其它解法，请酌情赋分．
同课章节目录