新人教A版选择性必修第二册2023年秋高中数学模块综合测评（含解析）

模块综合测评(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f (x)＝ln x＋x3，则＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
2．在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝(　　)
A．3 B．－3
C．±3 D．无法确定
3．已知函数f (x)＝(x＋a)ex的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有(　　)
A．300个 B．320个
C．340个 D．360个
5．在数列{an}中，a1＝2，对任意的m，n∈N*，am＋n＝am·an，若a1＋a2＋…＋an＝62，则n＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．已知函数f (x)＝ex－3x－1(e为自然对数的底数)，则以下结论正确的为(　　)
A．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在区间(－∞，＋∞)上单调递增
B．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
C．函数y＝f (x)有两个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数
D．函数y＝f (x)有两个零点，且当x＝ln 3时，y＝f (x)取得最小值为2－3ln 3
7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋an·an＋1，则Tn＝(　　)
A．16× B．16×
C．× D．×
8．若函数f (x)＝x2－4x＋a ln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}
C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪{2}
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A．a3＝13
B．数列{an＋3}是等比数列
C．an＝4n－3
D．Sn＝2n+1－n－2
10．已知函数f (x)＝ln (ex＋e－x)，则下列说法正确的有(　　)
A．f (ln 2)＝ln
B．f (x)是奇函数
C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)的最小值为ln 2
11．如果函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是(　　)
A．函数y＝f (x)在区间(3，5)内单调递增
B．当x＝－时，函数y＝f (x)有极大值
C．函数y＝f (x)在区间(1，2)内单调递增
D．当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值
12．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A．数列}是等比数列
B．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9
C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列
D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n-1＋r，则r＝－1
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)
13．函数f (x)＝(x－1)ex-2的单调递增区间为________．
14．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为________．
15．已知an＝|11－2n|，数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝650，则k＝________．
16．已知函数f (x)＝x－ln (x＋a)，若a＝2，则f ′(0)＝________；又若f (x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}满足a5＝9，a3＋a9＝22．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足Sn<2 020的n的最大值．
条件①：b3＝a1＋a2；条件②：S3＝7；条件③：bn＋1>bn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝x3－9x．
(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)求函数f (x)的单调区间与极值．
19．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，满足a＝(Sn＋1－2Sn，Sn)，b＝(2，n)，a∥b．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．
20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝(x2＋ax＋b)·ex(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f (x)在区间[－2，3]上的最大值．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________．　
(1)判断2 022是否是数列{an}中的项，并说明理由；
(2)求Sn的最小值．
从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝＋1＋a ln x(a∈R)．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥1，求a的取值范围．
模块综合测评(二)
1．D　[由题意f ′(x)＝＋3x2，所以f ′(1)＝1＋3＝4，
所以＝2＝2f ′(1)＝8．故选D．]
2．C　[∵a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，
∴a4a10＝9，
由等比数列的性质可知a4a10＝＝9，∴a7＝±3．故选C．]
3．A　[因为f ′(x)＝(x＋a＋1)ex，所以f ′(1)＝(a＋2)e，f ′(－1)＝ae-1＝，由题意有f ′(1)·f ′(－1)＝－1，所以a＝－1，故选A．]
4．B　[由题意，此商家参展的苹果构成等差数列{an}，其中n＝16，a8＋a9＝40，
所以S16＝＝＝＝320．故选B．]
5．C　[因为对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am·an，
所以令m＝1，则an＋1＝a1·an＝2an，
因为a1≠0，所以an≠0，即＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＝62，解得n＝5，故选C．]
6．D　[f ′(x)＝ex－3是增函数，∴x＜ln 3时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，x＞ln 3时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，显然f (0)＝0，
∴f (ln 3)＝2－3ln 3＜0，又x→＋∞时，f (x)→＋∞，∴f (x)在(ln 3，＋∞)上也有一个零点，因此共有两个零点．故选D．]
7．C　[设数列{an}的公比为q，由题意可知，当n≥2时，＝q2，即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝得q＝，所以a1＝4，a1·a2＝8，
所以Tn＝＝×．]
8．C　[由f (x)＝x2－4x＋a ln x可知，f ′(x)＝2x－4＋＝(x>0)，
令g(x)＝2x2－4x＋a＝2(x－1)2＋a－2，
由f (x)有唯一的极值点，
可得g(0)≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为(－∞，0]．]
9．AB　[an＋1＝2an＋3，
所以an＋1＋3＝2(an＋3)，
所以数列{an＋3}是等比数列，又因为a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)2n-1＝2n+1，
所以an＝2n+1－3，所以a3＝13，所以Sn＝－3n＝2n+2－3n－4．]
10．ACD　[f (ln 2)＝ln (eln 2＋e－ln 2)＝ln ，A正确；f (x)＝ln (ex＋e－x)的定义域为R，其中f (－x)＝ln (e－x＋ex)＝f (x)，
故f (x)是偶函数，B错误；f ′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＝>0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f (x)在(0，＋∞)上单调递增且f (x)是偶函数，则f (x)在(－∞，0)上单调递减，故f (x)的最小值为f (0)＝ln 2，故D正确．]
11．CD　[结合函数y＝f (x)的导函数的图象可知：
当x<－2时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；
当x＝－2时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；
当－2当x＝2时，导函数值等于0，函数f (x)取极大值；
当2当x＝4时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；
当x>4时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数，
结合选项易知，A、B错误，C、D正确，故选CD．]
12．AC　[设等比数列{an}公比为q(q≠0)，
则＝＝q2，即数列}是等比数列，即A正确；
因为等比数列{an}中a4，a8，a12同号，而a4＞0，
所以a8>0，即B错误；
若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，
∴或，
即数列{an}是递增数列，C正确；若数列{an}的前n项和Sn＝3n-1＋r，则
a1＝S1＝31-1＋r＝1＋r，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，
所以q＝＝3＝，∴2＝3(1＋r)，r＝－，即D错误．故选AC．]
13．(0，＋∞)　[∵f (x)＝(x－1)ex-2，
∴f ′(x)＝ex-2＋(x－1)ex-2＝xex-2，
由f ′(x)＝xex-2＞0得x＞0，
所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
14．74　[设B型健身器材这6个月投放量为{bn}，
则{bn}是以b1＝64为首项，q＝的等比数列，
∴其前6项和为S6＝＝1 330，
∴5a＋300＋1 330≥2 000，解得a≥74，故a的最小值为74．
故答案为74．]
15．30　[当n≤5时，an＝11－2n，
∴Sn＝＝10n－n2，
令Sk＝650＝10k－k2，无解．
当n≥6时，an＝2n－11，
Sn＝S5＋(a6＋a7＋…＋an)＝＋＝n2－10n＋50．
令Sk＝650＝k2－10k＋50，
解得k＝30或－20(舍)，故k＝30．]
16．　1　[f (x)的定义域为(－a，＋∞)，
f ′(x)＝1－＝．当a＝2时，f ′(x)＝1－，
∴f ′(0)＝1－＝．
又由f ′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a．
当－a＜x＜1－a时，f ′(x)＜0，f (x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f ′(x)＞0，f (x)在(1－a，＋∞)上单调递增．
因此，f (x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知f (1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]
17．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
因为a5＝9，a3＋a9＝22，所以
解得：
所以an＝2n－1．
(2)(Ⅰ)选择①②
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，
因为S3＝7，所以b2＝S3－b1－b3＝2，
所以q＝＝2，所以Sn＝＝2n－1，
因为Sn＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10，
即n的最大值为10．
(Ⅱ)选择①③
设等比数列{bn}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，
所以q2＝＝4，q＝±2，
因为bn＋1＞bn，所以q＝2，所以Sn＝＝2n－1，
因为Sn＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．
(Ⅲ)选择②③
设等比数列{bn}的公比为q，
因为S3＝7，b1＝1，所以1＋q＋q2＝7．所以q＝2，或q＝－3．
因为bn＋1＞bn，所以q＝2．所以Sn＝＝2n－1．
因为Sn＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．
即n的最大值为10．
18．解：　(1)因为f (x)＝x3－9x，所以f ′(x)＝3x2－9，
当x＝1时，f (1)＝－8，f ′(1)＝－6，
所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线过点(1，－8)，斜率为k＝－6，
所以切线方程为y＋8＝－6(x－1)，即6x＋y＋2＝0．
(2)函数f (x)的定义域为R，
令f ′(x)＝3x2－9＝0，得x＝±，
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f (x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；减区间为(－)，
当x＝－时，函数f (x)有极大值，f (－)＝6，
当x＝时，函数f (x)有极小值，f ()＝－6．
19．解：　(1)证明：因为a∥b，可得n(Sn＋1－2Sn)＝2Sn，整理得＝2·，
又由a1＝1，可得＝1，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知＝2n-1，所以Sn＝n·2n-1，
所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n-2＋n·2n-1，
2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，
两式相减，可得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以Tn＝(n－1)2n＋1．
20．解：　(1)因为f (x)＝(x2＋ax＋b)·ex在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1，
所以f (x)过(0，1)点，所以be0＝1，b＝1，
所以f (x)＝(x2＋ax＋1)·ex．
又f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]·ex，
所以f ′(0)＝－2，即a＋1＝－2，a＝－3．
(2)由(1)知f (x)＝(x2－3x＋1)·ex，
f ′(x)＝(x2－x－2)·ex＝(x－2)(x＋1)·ex，
由f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－1，又x∈[－2，3]，所以由f ′(x)>0得221．解：　若选①，
(1)设公差为d，则
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20．
令3n－20＝2 022，得n＝ N*，
所以2 022不是数列{an}中的项．
(2)令an＝3n－20>0，解得n>．
所以当n≤6时，an<0．
故当n＝6时，Sn取到最小值，
为S6＝6a1＋15d＝－57．
若选②，
(1)设公差为d，则
解得
所以an＝2n－12．
令2n－12＝2 022，解得n＝1 017，
所以2 022是数列{an}的第1 017项．
(2)令2n－12>0，得n>6．
所以当n≤6时，an≤0．
故当n＝6或n＝5时，Sn取得最小值，为S5＝S6＝－30．
22．解：　(1)函数f (x)＝＋1＋a ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＝，
当a≤0时，f ′(x)＝≤0，f (x)在定义域上单调递减；
当a>0时，f ′(x)＝，
当x∈时f ′(x)<0，f (x)单调递减，
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)当a＝0时，函数f (x)＝＋1＋0×ln x＝＋1，
x∈(0，＋∞)，f (x)>1符合题意，
由(1)可知，当a<0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，
所以＝<1，故不满足f (x)≥1．
当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，
要想满足f (x)≥1，须满足f (x)min＝f ≥1即可．
因为f ＝a＋1－a·ln a，
所以f ≥1即a－a ln a≥0，
化简得ln a≤1，即0