5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
学习任务 1．了解函数的单调性与导数的关系．(数学抽象) 2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．(数学运算) 3．能利用导数研究与函数单调性相关的问题．(数学运算、逻辑推理)
如图为某市一天内的气温变化图：
(1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？
问题：观察图形，你能得到什么信息？
知识点1 函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递增
f ′(x)＜0 单调递减
如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)有什么特性？
[提示] f (x)是常数函数．
知识点2 判断函数y＝f (x)的单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
知识点3 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越小 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越大 慢 比较“平缓”(向上或向下)
原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常对应只看正负变化．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某一点处的导数越大，函数的图象在该点处的切线越“陡峭”． ( )
(2)函数在某个区间上变化得越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
[答案] (1)× (2)√
[提示] 函数在某一点处的导数的绝对值越大，函数的图象在该点处的切线越“陡峭”，故(1)错，(2)正确．
2．若定义域为R的函数f (x)的导数f ′(x)＝2x(x－1)，则f (x)在区间__________上单调递增，在区间________上单调递减．
(1，＋∞) (－∞，1) [f ′(x)＞0得x＞1，f ′(x)＜0时x＜1．∴f (x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．]
3．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．
(0，＋∞) [∵f (x)＝ex－x，
∴f ′(x)＝ex－1．
由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0．
∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
类型1 导函数与原函数的关联图象
【例1】 (1)已知函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f (x)的图象最有可能的是( )
A B C D
(2)设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为( )
A B
C D
(1)A (2)C [(1)x＜－2时，f ′(x)＜0，则f (x)单调递减；－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f (x)单调递增；x>0时，f ′(x)<0，则f (x)单调递减．
则符合上述条件的只有选项A．故选A．
(2)由f (x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0；
当x∈(1，4)时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0；
当x∈(4，＋∞)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0．
由选项各图知：选项C符合题意，故选C．]
研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点
(1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
(2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
[跟进训练]
1．设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为( )
A B
C D
D [观察函数f (x)的图象得：f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为f ′(x)的值小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．]
类型2 利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝cos x＋x，x∈(0，π)．
[思路引导] 根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．
[解] (1)∵函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－．
∴令f ′(x)>0，即2x－>0，解得x>；
令f ′(x)<0，即2x－<0，解得0
故函数f (x)的单调递增区间是，单调递减区间是．
(2)∵x∈(0，π)，且f ′(x)＝－sin x＋．
∴令f ′(x)>0，即－sin x＋>0，
解得0令f ′(x)<0，即－sin x＋<0，
解得故函数f (x)的单调递增区间是和，单调递减区间是．
1．利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)在定义域内，解不等式f ′(x)>0得到函数的单调递增区间，解不等式f ′(x)<0得到函数的单调递减区间．
2．在利用导数求函数单调区间时，首先必须求出函数的定义域，然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间，单调区间是定义域的子集．
3．当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时，这些区间之间不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，而只能用“，”或“和”连接．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝(x－2)ex－x2＋x，求f (x)的单调区间．
[解] f (x)＝(x－2)ex－x2＋x，x∈R，
∴f ′(x)＝ex＋(x－2)ex－x＋1＝(x－1)(ex－1)．
令f ′(x)＞0，解得x＞1或x＜0．
令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1．
∴函数f (x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)．
类型3 含有参数的函数单调性的讨论
【例3】 讨论函数f (x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝ax＋1－＝．
(1)当a＝0时，f ′(x)＝，
由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0＜x＜1．
∴f (x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
(2)当a>0时，f ′(x)＝，
∵a＞0，∴＞0．
由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0∴f (x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≥0时，f (x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
利用导数研究含参函数f (x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4)在不同的参数范围内，解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0，确定函数f (x)的单调区间．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)讨论函数f (x)＝a ln x＋x的单调性，其中a为实常数．
[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f ′(x)＝＋1，令f ′(x)>0，可得＋1>0，即x>－a．
所以当－a≤0，即a≥0时，f ′(x)>0恒成立，此时f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当－a>0，即a<0时，f ′(x)>0的解为x>－a，此时f (x)在(0，－a]上单调递减，在[－a，＋∞)上单调递增．
类型4 已知函数单调性求参数的取值范围
【例4】 已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[思路引导]
[解] 由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0．
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函数．
所以a≤0．
[母题探究]
1．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1，1)，求a的取值范围．
[解] 由题意得f ′(x)＝3x2－a，
函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)．
①当a≤0时，f ′(x)≥0，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数，与已知矛盾，不符合题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f ′(x)＜0．
∴f (x)在上为减函数，
∴f (x)的单调递减区间为，
又函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，
∴＝1，即a＝3．
2．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
[解] 由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，
∴即
∴a≥3．
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
[解] ∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，由f ′(x)＝0，
得x＝±(a≥0)，
∵f (x)在区间(－1，1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范围为(0，3)．
利用函数的单调性求参数，常用方法如下：
1 函数f (x)在区间D上单调递增 f ′(x)≥0在区间D上恒成立
2 函数f (x)在区间D上单调递减 f ′(x)≤0在区间D上恒成立
3 函数f (x)在区间D上不单调 f ′(x)在区间D上存在异号零点
4 函数f (x)在区间D上存在单调递增区间 x0∈D，使得f ′(x0)>0成立
5 函数f (x)在区间D上存在单调递减区间 x0∈D，使得f ′(x0)<0成立
6 若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围
[跟进训练]
4．若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是________．
3 [由题意可得：y′＝－3x2＋a，若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则导函数在区间[1，＋∞)上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故－3x2＋a≤0，即a≤3x2在区间[1，＋∞)上恒成立，据此可得：a≤3，即a的最大值是3．]
1．f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象只可能是( )
A B
C D
A [由f ′(x)图象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合．]
2．设f (x)＝x－sin x，则f (x)是( )
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
B [因为f (－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．又f ′(x)＝1－cos x≥0，所以f (x)单调递增．故f (x)既是奇函数又是增函数．故选B．]
3．已知函数y＝x3－x2＋ax－5在(－∞，＋∞)上总是单调函数，则a的取值范围是________．
[1，＋∞) [依题意y′＝x2－2x＋a，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式Δ＝(－2)2－4a≤0，解得a≥1．]
4．已知函数f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)，则f (x)的单调递增区间为________．
和(2，＋∞) [由题意知函数的定义域为{x|x＞0}，f ′(x)＝2x－5＋＝．
令f ′(x)＝0，可得x1＝，x2＝2．
当x∈时，f ′(x)＞0，函数f (x)在上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增．
∴f (x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)利用导数求函数单调性的思路是怎样的？
[提示] 利用导数求函数的单调性一般通过解不等式的方法完成，其步骤为：①确定函数f (x)的定义域；②求导函数f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并写出解集；④根据③的结果确定函数f (x)的单调区间．
(2)利用导数研究含参数函数的单调性，一般有哪几种情况？如何解决这几种情况？
[提示] 利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：
①区间端点大小不确定型
由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．
②区间端点与定义域关系不确定型
此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．
③最高次项系数不确定型
此类问题一般要就最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．
(3)总结由函数的单调性求参数的取值范围的方法有哪几种？
[提示] ①可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，根据已知条件，求出参数的取值范围，但最后要注意检验．
②可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在区间(a，b)上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
③若已知f (x)在区间I上的单调性，且区间I含有参数时，可先求出f ′(x)的正负区间，令I是f (x)的单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习任务 1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象) 2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算) 3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算) 4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
知识点1 极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数．
知识点2 求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大． ( )
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． ( )
(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；
(3)若f ′(x0)＝0，且导函数有变号零点，x0才是极值点，故(3)错误．
2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．故选C．]
3．(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
BC [对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
类型1 不含参数的函数求极值
【例1】 (1)函数f (x)＝ln x－x的极大值与极小值分别为( )
A．极小值为0，极大值为－1
B．极大值为－1，无极小值
C．极小值为－1，极大值为0
D．极小值为－1，无极大值
(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则( )
A．f (x)有两个极值点
B．f (x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线
(3)函数f (x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0，1，－1 B．
C．－ D．，－
(1)B (2)AC (3)B [(1)由于f ′(x)＝－1＝(x>0)，令f ′(x)>0，则01，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递减；
所以f (x)极大值为f (1)＝－1，无极小值．
(2)f ′(x)＝3x2－1，所以f (x)有两个极值点－与，又f ＝1－>0，所以f (x)只有一个零点；由f (x)＋f (－x)＝2可知，点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，曲线y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y＝2x－1．
(3)由已知，得f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝3x－＝，
令f ′(x)＝0，得x＝．
当x>时，f ′(x)>0；
当0 求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域；
(2)求导：求函数的导数f ′(x)；
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点；
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；
(5)结论：若导数f ′(x)在x0附近左正右负，则函数f (x)在x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知函数f (x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图．
[解] 由题意可得f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或x>2，此时f (x)递增．
解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，而且f ′(－2)＝f ′(2)＝0．
从而可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋4＝9；x＝2是函数的极小值点，极小值为f (2)＝×23－4×2＋4＝－．
函数图象的示意图如图所示．
类型2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f (x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)，求函数f (x)的极值．
[思路引导] 对函数f (x)求导，得到f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，根据导函数的零点2和2a的大小，分类讨论函数的单调性，根据函数的单调性确定函数的极值．
[解] ∵f (x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2，
∴f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．
令f ′(x)＝0，解得x＝2或x＝2a．
(1)当a＝1时，2a＝2，因此f ′(x)＝(x－2)2≥0，故f (x)在R上单调递增，函数不存在极值；
(2)当a<1时，2a<2，当x变化时，f (x)，f ′(x)随x的变化情况如表：
x (－∞，2a) 2a (2a，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表可知f (x)在(－∞，2a)和(2，＋∞)上单调递增，在(2a，2)上单调递减，因此函数在x＝2a处取得极大值f (2a)＝－a3＋4a2＋2．函数在x＝2处取得极小值f (2)＝4a＋．
(3)当a>1时，2a>2，因此函数f (x)在(－∞，2)和(2a，＋∞)上单调递增，在(2，2a)上单调递减，函数在x＝2处取得极大值f (2)＝4a＋，函数在x＝2a处取得极小值f (2a)＝－a3＋4a2＋2．
综上，当a＝1时，函数不存在极值；当a<1时，函数的极大值为－a3＋4a2＋2，极小值为4a＋；当a>1时，函数的极大值为4a＋，极小值为－a3＋4a2＋2．
1．判断一个函数是否有极值的方法
判断一个函数是否有极值，不仅要求解f ′(x)＝0，还要根据函数的极值定义，函数在某点处若存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反；若单调性相同，则不是极值点．
2．分类讨论求极值
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f (x)的极值．
[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．
(1)当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值．
(2)当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a．
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0．
∴f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－a ln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值；
当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
类型3 由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)已知f (x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．(－1，2)
B．(－3，6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
(1)D (2)C [(1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，
那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3．
(2)∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由题意得
即
解得或
当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故函数f (x)单调递增，无极值，不符合题意．
∴a＝4，故选C．]
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，应注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．
[解] ∵f ′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f (x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且仅当x＝－1时，
f ′(x)＝0，此时函数f (x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＞0，此时f (x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f ′(x)＜0，此时f (x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)＞0，此时f (x)为增函数．
故f (x)在x＝－1处取得极小值．
∴a＝2，b＝9．
类型4 极值问题的综合应用
【例4】 已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路引导] 求出函数的极值，要使f (x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1当x>1时，f ′(x)>0．
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a．
因为方程f (x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2[母题探究]
1．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2．
2．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
[解] 由例题可知，要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2．
解决函数零点的注意点
(1)研究函数零点(方程根)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、极大值、极小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
(2)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
[跟进训练]
4．求函数g(x)＝x－－4ln x－2的零点个数．
[解] 因为g(x)＝x－－4ln x－2，
所以g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3．
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如表：
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0，
当x＞3时，g(e5)＝e5－－20－2＞25－1－22＝9＞0．
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，
因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．
1．已知函数y＝f (x)，x∈R有唯一的极值点，且x＝1是f (x)的极小值点，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
C [由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f (x)，x∈R有唯一的极值点，所以当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0．故选C．]
2．函数f (x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1，3
C．－1，3 D．－1，－3
A [f ′(x)＝3ax2＋b，由题意知即
解得故选A．]
3．函数f (x)＝ln x－x在区间(0，e]上的极大值为________．
－1 [f ′(x)＝－1＝，∵x>0，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴x＝1处取得极大值，即f (x)极大值＝f (1)＝－1．]
4．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)函数极值的求解依据与步骤是什么？
[提示] 一般地，求函数y＝f (x)的极值的步骤是：
①求出函数的定义域及导数f ′(x)；
②解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
③用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
④由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f (x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．
(2)如果函数f (x)在[a，b]连续不断且有极值的话，它的极值点有规律吗？
[提示] 如果函数f (x)在[a，b]上有极值的话，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f (x)在[a，b]上的图象连续且有有限个极值点时，函数f (x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的．
(3)已知函数的零点(方程根)的个数，求参数的取值范围有哪些常用的方法？
[提示] 常用的方法有三种：
①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
②分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．第2课时 函数的最大(小)值
学习 任务 1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．(数学运算) 2．体会导数在求最值中的应用．(数学运算、逻辑推理) 3．能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题．(数学运算、逻辑推理)
费马(1601－1665)是一位17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称费马为“业余数学家之王”，是由于他具有律师的全职工作．17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就，是17世纪数学家中最多产的明星．
他将无穷小的思想运用到求积问题上，已具今日微积分的雏形，这也是费马的卓越成就之一．他在牛顿出生前的13年，提出了有关微积分的主体概念．
大约在1637年，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧．
知识点1 函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
知识点2 求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
函数f (x)在闭区间[a，b]上连续是f (x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．
( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．
(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．
(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．
2．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是( )
A．1 B．2
C．0 D．－1
A [设f (x)＝3x－4x3，
∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．
∵x∈[0，2]，∴当x＝时，f ′(x)＝0．
又f (0)＝0，f ＝1，f (2)＝－26，
∴函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1．]
类型1 求不含参数的函数的最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈．
[思路引导] 求函数的导数，得到函数的极值点，先求出极值，再结合定义域，将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值．
[解] (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1．
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化情况如表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) －1 单调递增 11 单调递减 －1 单调递增 11
从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f (x)取得最小值－1．
当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11．
(2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±，∴x＝±．
∴函数f (x)在上的两个极值分别为
f ＝－，f ＝－＋．
又f ＝－，f ＝．
比较以上函数值可得f (x)max＝，f (x)min＝－．
求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的方法
(1)求函数f (x)的导函数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，求出使得f ′(x)＝0的所有点；
(3)计算函数f (x)在区间[a，b]内使得f ′(x)＝0的所有点以及端点的函数值；
(4)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知f (x)＝x2ex，x≤1，求f (x)的极值点以及极值、最值点以及最值．
[解] 当x<1时，f ′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或0解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增．由于f ′(－2)＝f ′(0)＝0，可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝4e-2＝；
x＝0是函数的极小值点，极小值为f (0)＝0．
又因为f (1)＝e>，所以函数的最大值点为1，最大值为e；x2ex≥0对任意实数都是成立的，因此函数的最小值点为0，而且最小值是0．
类型2 求含参数的函数的最值
【例2】 已知函数f (x)＝－ln x(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调区间；
(2)求f (x)在上的最大值g(a)．
[解] (1)f (x)的定义域是(0，＋∞)．
∵f (x)＝－ln x，
∴f ′(x)＝．
①当a>0时，令f ′(x)>0，解得0令f ′(x)<0，解得x>a，
故f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
②当a≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
综上，当a>0时，f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减；
当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知当a≤时，f (x)在上单调递减，
g(a)＝f (x)max＝f ＝2－ae，
当当a≥e时，f (x)在上单调递增，
g(a)＝f (x)max＝f (e)＝－．
综上，当a≤时，g(a)＝2－ae；
当当a≥e时，g(a)＝－．
含参函数最值问题的解法
对于含参函数的最值问题，要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
[跟进训练]
2．已知a是实数，函数f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在区间[0，2]上的最大值．
[解] 由题意得，f ′(x)＝3x2－2ax．
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝．
①当≤0，即a≤0时，f (x)在[0，2]上单调递增，从而f (x)max＝f (2)＝8－4a．
②当≥2，即a≥3时，f (x)在[0，2]上单调递减，从而f (x)max＝f (0)＝0．
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f (x)max＝
综上所述，f (x)max＝
类型3 用导数证明不等式
【例3】 当x＞0时，证明：不等式ln (x＋1)＞x－x2．
[思路引导] 利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2．因此要证明原不等式，即证f (x)＞0在x＞0时恒成立．
[证明] 设f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，则f ′(x)＝－1＋x＝．
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)＞0，
∴f (x)在(－1，＋∞)上单调递增．
于是当x＞0时，f (x)＞f (0)＝0，
∴当x＞0时，不等式ln (x＋1)＞x－x2成立．
证明不等式f (x)＞g(x)，x∈(a，b)的方法
(1)将要证明的不等式f (x)＞g(x)移项可以转化为证明f (x)－g(x)＞0；
(2)构造函数F (x)＝f (x)－g(x)，研究F (x)的单调性；
(3)若[f (x)－g(x)]′＞0，说明函数F (x)＝f (x)－g(x)在(a，b)上是增函数．只需保证F (a)＞0；
(4)若[f (x)－g(x)]′＜0，说明函数F (x)＝f (x)－g(x)在(a，b)上是减函数．只需保证F (b)＞0．
[跟进训练]
3．证明：x＞0时，ln x≤x－1．
[证明] 设f (x)＝ln x－(x－1)，x>0，
可得f ′(x)＝－1＝．
当x＞1时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减；
当0＜x＜1时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增．
可得x＝1时，f (x)取得极大值，且为最大值．
即f (x)max＝0．所以f (x)≤0，即ln x≤x－1．
类型4 已知函数最值求参数值或范围
【例4】 已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值是3，最小值为－29，求a，b的值．
[思路引导] 先求导，求出f ′(x)＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．
[解] 求导得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
∵a>0，
∴x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表：
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) －7a＋b 单调递增 b 单调递减 －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f (x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f (0)＝b＝3．
又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3∴f (2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2．
故a＝2，b＝3．
[母题探究]
1．(变条件)本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．
[解] 由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f (x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f (0)＝b＝－29．
又f (－1)＝－7a－29，
f (2)＝－16a－29>f (－1)，
∴f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2．
故a＝－2，b＝－29．
2．(变条件，变结论)设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
[解] ∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f (x)取最小值f (－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1．
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表：
t (0，1) 1 (1，2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 单调递增 极大值1－m 单调递减
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m．
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0．∴m的取值范围为(1，＋∞)．
由函数的最值确定参数的值或取值范围
由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：
(1)求导数f ′(x)，并求极值；
(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
(3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
[跟进训练]
4．已知f (x)＝2ax－＋ln x在x＝1与x＝处都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈时，f (x)＜c恒成立，求实数c的取值范围．
[解] (1)∵f (x)＝2ax－＋ln x，∴f ′(x)＝2a＋＋，
∵f (x)＝2ax－＋ln x在x＝1与x＝处都取得极值，
∴f ′(1)＝0，f ′＝0．∴
解得a＝b＝－．
(2)由(1)可知f (x)＝－x＋＋ln x，
令f ′(x)＝－－＋＝－＝0，
解得x＝1或x＝，
∵x∈，
∴f (x)在上单调递减，在上单调递增．
f ＝－ln 4，f (1)＝－，
而f －f (1)＝－＝－ln 4＞0，
∴f ＞f (1)，即f (x)在上的最大值为－ln 4．
对x∈时，f (x)＜c恒成立，等价于f (x)max＜c，
即－ln 4＜c，
∴实数c的取值范围为．
1．如图所示，函数f (x)导函数的图象是一条直线，则( )
A．函数f (x)没有最大值也没有最小值
B．函数f (x)有最大值，没有最小值
C．函数f (x)没有最大值，有最小值
D．函数f (x)有最大值，也有最小值
C [由导函数的图象可知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f (x)在x＝1处取得最小值，
∴函数f (x)没有最大值，只有最小值．]
2．函数y＝的最大值为( )
A．e-1 B．e C．e2 D．10
A [令y′＝＝0 x＝e．当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以ymax＝e-1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e-1．]
3．(多选)函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是( )
A．x＝－3是函数y＝f (x)的极值点
B．x＝－1是函数y＝f (x)的最小值点
C．y＝f (x)在区间(－3，1)上单调递增
D．y＝f (x)在x＝0处切线的斜率大于零
ACD [根据导函数图象可知当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f ′(x)≥0，
∴函数y＝f (x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；
易知x＝－3是函数y＝f (x)的极小值点，故A正确；
∵函数y＝f (x)在(－3，1)上单调递增，∴x＝－1不是函数y＝f (x)的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D正确．]
4．若函数f (x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0，2)上的极大值为最大值，则m的取值范围是______________．
(0，3) [由题得f ′(x)＝－3x2＋2mx，令f ′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)，因为f (x)在区间(0，2)内的极大值为最大值，所以∈(0，2)，即0＜＜2，所以0回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值和最小值，那么在(a，b)上连续的函数的最值如何呢？
[提示] 在区间(a，b)上函数f (x)的图象是一条连续的曲线，f (x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：
如图，图1中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上有最大值而无最小值；
图2中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上有最小值而无最大值；
图3中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上既无最小值也无最大值；
图4中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上既有最小值也有最大值．
(2)如果一个函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极值点时，该点是最值点吗？
[提示] 当连续函数f (x)在区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
(3)不等式恒成立问题有什么常见的转化策略？
[提示] 利用导数解决不等式恒成立问题时一般运用分离参数法，步骤如下：
第一步：将原不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
第二步：利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的最大或最小值；
第三步：解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，从而求出参数λ的取值范围．
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解．如果是一元二次不等式恒成立的问题，可以考虑利用二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<(≤)0或a<0，Δ<(≤)0)求解．第3课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用
学习 任务 1．进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算) 2．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)
如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6 km．现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上．
已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元．那么，铺设输油管的最少花费是多少？
知识点1 函数图象的画法
函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f (x)的大致图象：
(1)求出函数f (x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点；
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值；
(4)确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5)画出f (x)的大致图象．
知识点2 用导数解决优化问题的基本思路
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． ( )
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去． ( )
(3)如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值为． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
A B
C D
D [当x＝0时，y＝2，排除A，B；y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，由f ′(x)＞0得2x(2x2－1)＜0，得x＜－或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C．故选D．]
类型1 利用导数研究函数的图象
【例1】 函数y＝(其中e为自然对数的底数)的大致图象是( )
A B
C D
B [法一：由函数y＝可知，当x＝0时，y＝0，排除C；
当x＜0时，y＜0，排除A；
y′＝＝，
当x＜3时，y′＞0，当x＞3时，y′＜0，
∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B．
法二：由函数y＝可知，当x＝0时，y＝0，排除C；当x＜0时，y＜0，排除A；当x→＋∞时，y→0．故选B．]
由解析式研究图象常用的方法
根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等．
[跟进训练]
1．函数f (x)＝的图象大致为( )
A B
C D
B [由f (x)＝得：f (－x)＝＝＝f (x)，
故其为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D；
f (2)＝2ln 4＞0，故排除A；
当0＜x＜1时，f (x)＝2x ln x，f ′(x)＝2(1＋ln x)，
可得x∈时，f ′(x)＜0，函数单调递减，
当x∈时，f ′(x)＞0，函数单调递增，故排除C．故选B．]
类型2 用导数研究方程的根
【例2】 若函数f (x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f (x)取得极值－．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若方程f (x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．
[思路引导] (1)由x＝2时函数f (x)的极值为－，建立a、b的等量关系求解；(2)根据函数f (x)的单调性画出函数的草图，数形结合求解．
[解] (1)对f (x)求导得f ′(x)＝3ax2－b，
由题意得
解得a＝，b＝4(经检验满足题意)．
∴f (x)＝x3－4x＋4．
(2)由(1)可得f ′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－2．
∴当x<－2或x>2时，f ′(x)>0；当－2因此，当x＝－2时，f (x)取得极大值，
当x＝2时，f (x)取得极小值－．
∴函数f (x)＝x3－4x＋4的大致图象如图所示．
由图可知，实数k的取值范围是．
[母题探究]
(变条件)将本例改为“若方程ax＝x(a>0，a≠1)有两个不等实根”，试求a的取值范围．
[解] 由ax＝x知x＞0，
故x·ln a－ln x＝0 ln a＝，
令f (x)＝(x＞0)，
则f ′(x)＝．
当x∈(0，e)时，f ′(x)＞0，
f (x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
故当x＝e时，f (x)取得最大值f (e)＝，即ln a＜，即a＜．画出函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝x的图象(图略)，结合图象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则a＞1．综上可知，实数a的取值范围为．
函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝xe2x－1，则函数f (x)的极小值为________，零点有________个．
－－1 1 [∵f (x)＝xe2x－1，f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝()，令f ′(x)＝0，可得x＝－，
如表所示：
x －
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 极小值 单调递增
∴函数y＝f (x)的极小值为f ＝－－1．
f (x)＝0 e2x＝，则函数y＝f (x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示：
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f (x)只有一个零点．故答案为：－－1；1．]
类型3 导数在生活实际问题中的应用
【例3】 (源于人教B版教材)如图所示，现有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积V m3是截下的小正方形边长x m的函数．
(1)写出函数的解析式；
(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？
[思路引导] 当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大．但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值．
[解] (1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2－2x)m，高为x m，于是V＝(1.2－2x)2x，
又因为显然x的长度必须小于原有正方形边长的一半，因此0(2)由题意有V′＝2(1.2－2x)×(－2)x＋(1.2－2x)2＝12(x－0.6)(x－0.2)．
令V′>0，可解得x<0.2．
因此可知V在(0，0.2]上单调递增，在[0.2，0.6)上单调递减．
故V在x＝0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值．
即截去的正方形边长为0.2 m时，容器的容积最大．
解决最优问题应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
[跟进训练]
3．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．
[解] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，
则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，
∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．
(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，
令y′＝0，得x1＝，x2＝－(舍)，
当0＜x＜时，y′＞0；＜x＜1时，y′＜0，
∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝时取得极大值也是最大值，
故改进工艺后，每个配件的销售价为20×＝30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大．
1．(多选)若函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f ′(x)的图象可能是( )
A B
C D
ABC [若函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，即f (x)有极值点，
则必须f ′(x)有零点，且f ′(x)在零点左右两侧异号．
由图象可知选项D中，f ′(x0)＝0，但当x＜x0，x＞x0时都有f ′(x)＞0，故不符合题意．故选ABC．]
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当403．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－4)
B．(－4，0)
C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
D．(0，＋∞)
B [设f (x)＝x3－6x2＋9x，可得f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
令f ′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1或x＞3，
令f ′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，
所以函数f (x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
则当x＝1，函数f (x)取得极大值f (1)＝4，
当x＝3，函数f (x)取得极小值f (3)＝0，
要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，
即函数y＝f (x)与y＝－m的图象有三个不同的交点，
所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0，
即实数m的取值范围是(－4，0)．]
4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，求其速度应定为________．
40 [由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上单调递增，在(0，40]上单调递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)用导数解决优化问题的实质是什么？
[提示] 生活中常常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称优化问题，用导数解决这些优化问题的实质是求函数的最值．
(2)用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？
[提示] ①审题：理解文字表达的题意，分析实际问题中各量之间的关系．
②建模：将文字语言转化为数学语言，列出实际问题的数学模型；写出实际问题中变量之间的函数关系．
③解模：把数学问题划归为求最值问题．
ⅰ．求函数的导数，解导数值为0的方程；
ⅱ．比较函数在区间端点和使导数值为0的点处的函数值的大小即得最大(小)值．
④写出答案．
注意：在将实际问题转化为数学问题时，要注意所设变量的取值范围．
(3)用导数解决实际问题中的最值问题应注意哪些事项？
[提示] ①一是要注意考虑实际问题的意义，不符合题意的值应舍去．
②二是在实际问题中，有时会遇到区间内只有
一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在该点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值．
③三是要注意问题中涉及的变量关系用函数式表示，以及确定函数关系式中自变量的定义域．