吉林地区普通高中友好学校联合体第三十七届基础年级期中联考
（2023—2024学年度上学期）
高二数学试题
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题（本大题共12小题，1-8为单选，每题5分，，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，9-12为多选，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
1. 若,,三点共线,则( )
A. B. C. D.
2. 已知点在基底下的坐标为,其中,,,则点在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线经过点,其渐近线方程为,则双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
4. 已知平面的一个法向量,点在内,则平面外一点到的距离为 ( )
A. B. C. D.
5. 若直线与平行,则与之间的距离是( )
A. B. C. D.
6. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7. 经过点作直线,若直线与连接的线段总有公共点,则的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ）
A. B. C. D.
9. 若向量,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 对于曲线,下列说法正确的是( )
A. 当时,曲线表示椭圆
B. 当时,曲线表示焦点在轴上的双曲线
C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则
D. 曲线只能表示椭圆和双曲线
11. 已知圆:和圆:相交于,两点,下列说法正确的是( )
A. 圆与圆有两条公切线
B. 圆与圆关于直线对称
C. 线段的长为
D. ,分别是圆和圆上的点,则的最大值为
如图,过抛物线的焦点,斜率为的直线与抛物线交于,两点,与抛物线准线交于点,若是的中点,则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 过抛物的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么等于__________.
14. 已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是__________.
15. 双曲线的左 右顶点分别为A,B,右支上有一点M,且,则的面积为__________.
16. 坐标原点到直线的距离的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，18—22每小题12分，共60分）
17. 已知四面体中，为的重心，、、分别为边、和的中点，化简下列各表达式.
（1）；
（2）.
18. 有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶时，水面宽，当水面下降时，水面宽是多少米？
19. 已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直,求直线的方程
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数,求直线的方程.
20. 如图,在棱长为2的正方体中,,,分别是,,的中点.
(1)证明:.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21. 已知点,以为直径的圆记为圆.
(1)求圆的方程;
(2)若过点的直线与圆交于,两点,且,求直线的方程.
22. 已知椭圆的焦距为,长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆交于,两点,若,求的值.吉林地区普通高中友好学校联合体第三十七届基础年级期中联考
（2023—2024学年度上学期）
高二数学试题答案
一选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A D C A B D C AD BC ABD BC
二填空题
13___________10________ 14___________(2,0,2)_________
15__________3________ 16_________________________
三解答题
第17题：
（1）由是的重心知，，………………………………2
又、为中点，∴且，………………………3
∴，………………………4
∴.…………………5
（2）由向量加法的平行四边形法则及几何意义知 ，……7
，………………………8
∴.………………………10
第18题：
不妨设抛物线的方程为，………………………2
由题意将点代入抛物线的方程中得，，…………5
从而抛物线的方程为.………………………7
当水面下降时，将………………………9
代入抛物线的方程中，解得………………………11
从而可知此时水面宽是.………………………12
第19题：
（1）因为直线与直线垂直,
所以可设直线的方程为,………………………2
因为直线过点,
所以,解得,………………………4
所以直线的方程为………………………5
(2)当直线过原点时,直线的方程是,即.……………7
当直线不过原点时,设直线的方程为,……………………9
把点代入方程得,………………………10
所以直线的方程是.………………………11
综上,所求直线的方程为或………………………12
第20题：
以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,………………………1
则,,,,,,,,,,.……………3
（1） 因为,………………………5
所以,即.………………………6
(2)因为,………………………7
所以,即.………………………8
因为,平面,所以平面,即为平面的一个法向量.………………………9
设直线与平面所成的角为,则.……………11
故直线与平面所成角的正弦值为.………………………12
第21题：
(1)由,得的中点坐标为,即圆心坐标为,……1
半径,………………………3
圆的方程为………………………5
(2)由,可得弦心距为………………………6
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,圆心到直线的距离为,所以满足题意;………………………………………………8
当直线的斜率存在时,设直线方程为即.………………9
圆心到直线的距离,解得,………………………10
直线的方程为………………………11
综上直线的方程为或.………………………12
第22题：
∵椭圆焦距为,长轴长为,
∴,,………………………2
∴………………………3
∴椭圆的标准方程为.………………………4
(2)设,,将直线的方程代入椭圆方程得, ………………………6
又∴.………………………7
，①………………………8
知,…10
将①代入,得,………………………11
又∵满足,∴ .………………………12
