华师大版九年级数学上册单元测试题第23章 图形的相似 习题（含解析）

九年级数学上册单元测试题
第23章图形的相似
一、选择题(共12题；每小题4分，共48分)
1．若，则的值为（　　）
A. B. C. D.
2．)已知，且a+b+c≠0，则k的值是（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
3．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）
A. 1：2 B. 1：4
C. 1：3 D. 1：9
4．如图，已知矩形ABCD，AD=24，CD=16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR=9，则EF=（　　）
A. 12 B. 12.5
C. 9 D. 不能确定
5．如图，直线a∥b∥c,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为（　　）
A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12
6．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则AD=（　　）
A. 2 B. 1
C. D.
7．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AD：BD的值为（　　）
A. 1：9 B. 1：3 C. 1：8 D. 1：2
8．比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地间的图上距离为2厘米，则两地间的实际距离是（　　）千米．
A. 0.2 B. 2 C. 20 D. 200
9．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m,则A，B之间的距离是（　　）
A. 5m B. 10m C. 20m D. 40m
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）
A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
11．为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD=120m,DC=40m,EC=30m,那么这条河的大致宽度是（　　）
A. 90m B. 60m C. 100m D. 120m
12．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC
C. = D. =
二、填空题(共6题；每小题4分，共24分)
13．如图，已知直线，且，，则________．
14．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG=1，则AD=_____．
15．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_____．
16．若点C是线段AB的黄金分割点，且AC=2，则AB=_____．
17．直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE=_____．
18．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是_____．
三、解答题(共8题；共78分)
19．(8分)如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1，AB=3，．
求证：△ACD∽△ABC．
20．(8分)如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，AD=3，DP=2，CP=1，求BC的长．
21．(10分)如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．求证：=．
22．(10分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=AB，点E在AC边上，且∠DEC=∠ADB．求证：AB2=AE AC．
23．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．求证：△ABF∽△EAD．
24．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME=∠CNE．
25．(10分)直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在AB上取一点P，使△APD与△BPC相似，求AP的长．
26．(12分)
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
试卷答案
1．【答案】A
【解析】根据，可得a=，代入代数式求解即可．
解：∵，
∴a=，
∴==，
故选：A．
2．【答案】D
【解析】根据比例的基本性质，即可进行解答．
解：∵，a+b+c≠0，
∴，整理得：，
∴．
故选：D．
3．【答案】A
【解析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，
故选：A．
4．【答案】B
【解析】连接AR，根据勾股定理可求出AR，再根据中位线定理即可得出答案．
解：如图，连接AR，
∵CR=9，CD=16，
∴DR=7，
∵AD=24，∠D=90°，
∴AR==25，
∵点E、F分别是AP，RP的中点，
∴EF=AR=12.5，
故选：B．
5．【答案】B
【解析】由a∥b∥c,可得，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c,
∴，
∴，
∴EF=6，
故选：B．
6．【答案】B
【解析】由∠DBC=∠A，BC=，AC=3可证明△CBD∽△CAB，由此可得，代入可求得CD，即可得到AD．
解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即，
∴CD=2，
∴AD=AC-CD=3-2=1．
故选：B．
7．【答案】D
【解析】证明△ADE∽△ABC，由S△ADE：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得出答案．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=AD2：AB2，
∵S△ADE：S四边形DBCE=1：8，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∴AD：AB=1：3，
∴AD：BD=1：2．
故选：D．
8．【答案】C
【解析】根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
解：根据题意得：
2÷=2000000（厘米），
2000000厘米=20千米．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】根据三角形中位线定理解答即可．
解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB=2CD=20（m），
故选：C．
10．【答案】A
【解析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0
解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=×28=7，且O为BD的中点，
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE=AB=3.5，
故选：A．
11．【答案】A
【解析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB的长即可．
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB：CE=BD：CD，
即AB：30=120：40，
∴AB=90，
即这条河的大致宽度是90m.
故选：A．
12．【答案】D
【解析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
13．【答案】
【解析】根据平行线分线段成比例定理得到，即，由此即可得到答案．
解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
14．【答案】6
【解析】利用平行线分线段长比例定理得到==1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到==，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．
解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD=CD，AE=CE，
∵EF∥CD，
∴==1，即AF=FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF=CD，
∴EF=BD，
∵EF∥BD，
∴==，
∴DG=2FG=2，
∴FD=2+1=3，
∴AD=2FG=6．
故答案为6．
15．【答案】4：9
【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
16．【答案】+1或3+
【解析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，
当AB是较短线段时，AB=2÷=+1；
当AB是较长线段时，则AB=2+（+1）=3+．
故答案为：+1或3+．
17．【答案】3
【解析】由三角形中位线定理得到DF=BC；然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=BC，则DF=AE．
解：如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC．
又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，
∴AE=BC，
∵DF=3，
∴DF=AE．
故填：3．
18．【答案】∠AED=∠B
【解析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等来判定其相似．
解：∠AED=∠B．
19．【解析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论．
证明：∵AD=1，AB=3，AC=，
∴，，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
20．【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
解：∵∠1=∠2，∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△BCP，
∴=2,
∵AD=3，
∴BC=1.5．
21．【解析】根据DE∥BC，EF∥AB，得到四边形DBFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE=BF，由DE∥BC，推出三角形相似，于是得到=，即可得到结论．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=．
22．【解析】利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC解决问题．
证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
∴=，
∴AD2=AC AE，
∵AD=AB，
∴AB2=AC AE．
23．【解析】由平行的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF=∠AED，且∠C+∠D=180°，
又∵∠BFE+∠BFA=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠BFA=∠D，
∴△ABF∽△EAD．
24．【解析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=AB，EH∥CN，EH=CD，根据平行线的性质得到∠BME=∠HFE，∠CNE=∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE=∠HEF，等量代换即可得到结论．
证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴FH∥BM，FH=AB，EH∥CN，EH=CD，
∴∠BME=∠HFE，∠CNE=∠HEF，
∵AB=CD，
∴FH=EH，
∴∠HFE=∠HEF，
∴∠BME=∠CNE．
25．【解析】要使两个三角形相似，则可能是△APD∽△BPC，也可能是△APD∽△BCP，所以应分两种情况讨论，进而求解AP的值即可．
解：可设PA的长为x,
当△APD∽△BCP时，则=，即=，解得x=1或x=6．
假设△APD∽△BPC，则=，即=，
解得x=；
综上所述，AP的长度为1、6或．
26．【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．