(共59张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习任务 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象)
2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算)
3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用．(数学抽
象、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1 空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，具有____和____的量叫做空间向量．
(2)长度：空间向量的____叫做空间向量的长度或__．
(3)表示法：
大小
方向
大小
模
有向线段
|a|
||
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做______，记为0
单位向量 _____的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度____而方向____的向量，叫做a的相反向量，记为－a
零向量
模为1
相等
相反
名称 定义及表示
相等向量 方向____且模____的向量叫做相等向量，____且____的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______________，那么这些向量叫做________或平行向量
相同
相等
同向
等长
互相平行或重合
共线向量
思考 1．平面向量与空间向量有什么区别与联系？
提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．
(2)联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念等在平面和空间中都适用．
提醒 单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
空间向量的线性运算 加法
减法 数乘
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝________
λa＋μa
λa＋λb
知识点3 共线向量与共面向量
(1)
共线(平行)向量 共面向量
定义 位置 关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个____的向量
特征 方向____或____ 特例 零向量与任意向量____ 相同
相反
共线
平面
共线(平行)向量 共面向量
充要条件 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使______ 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________
a＝λb
p＝xa＋yb
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，与向量a____的非零向量称为直线l的方向向量．
平行
思考 2．(1)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示：(1)共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量共面，故点P与点A，B，C共面．
(2)x＋y＋z＝1．
证明如下：①充分性
∵＝x＋y＋z可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴＝y()＋z()，
∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面．
②必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，
＝m()＋n()，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，
点O在平面ABC外，
∴不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )
提示：当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb． ( )
提示：当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb．
(3)任意两个空间向量必共面，任意三个空间向量也一定共面． ( )
提示：任意两个空间向量必共面，但任意三个空间向量不一定共面．
×
×
×
(4)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． ( )
提示：三条直线不一定在同一平面内．
(5)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y． ( )
提示：当共线，不共线时，x，y不存在．
×
×
2．下列命题中：
①向量与的长度相等；
②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆；
③空间向量就是空间中的一条有向线段；
④方向相同且模相等的两个向量是相等向量．
是真命题的为________(填序号)．
①④
①④ [对于②，其终点构成一个球面，所以②是假命题；对于③空间向量可以用一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以③是假命题；易知①，④为真命题．故填①④．]
3．化简＝____．
0 [＝＝0．]
0
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 空间向量的有关概念及其简单应用
类型2 空间向量的线性运算
类型3 空间向量的共线和共面问题
类型1 空间向量的有关概念及其简单应用
【例1】 给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
③⑤⑥
③⑤⑥ [当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；
要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；
命题③是相等向量的传递性，显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误；
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正确；
在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量分别为，故⑥正确．]
反思领悟 (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
[跟进训练]
1．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有共3个．
(2)向量的相反向量为．
(3)||＝＝＝＝3．
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(2)；
[解] ＝＝＋＝＝；
(1)；
[解] ＝＝＝；
(3)＋)．
[解] 设点M为CB′的中点，则
＋)
＝＋)
＝＋＝．
即化简后所对应的向量如图所示．
反思领悟 向量的线性运算，实质上是在运用数乘向量运算律的基础上进行向量求和，即通过运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[跟进训练]
2．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
[解] 如图所示，＝，由向量加法运算的平行四边形法则可得＝)，
故＝－－，
所以＝＝－－．
所以x＝－，y＝－．
(2)＝x＋y．
[解] 因为＝2，所以＝2①，同理＝2②，
将②代入①得＝＋2－2，
所以x＝2，y＝－2．
类型3 空间向量的共线和共面问题
考向1 共线问题
【例3】 如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心，连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点，N在AE上，且＝λ，且B，G，N三点共线．试求λ的值．
[解] 设＝a，＝b，＝c，
所以＝＝＋×)＝＋)＝(a＋b＋c)．
所以＝＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c．
＝＝＋λ＝＋λ()＝－a＋λb＋λc．
因为B，G，N三点共线，故存在实数k，使＝k，
即－a＋b＋c＝k，
故解得k＝，λ＝．
[母题探究]
将本例条件改为：已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3．求证：B，G，N三点共线．
[解] 设＝a，＝b，＝c，
则＝＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＝＋)＝－a＋b＋c＝．
所以∥，即B，G，N三点共线．
发现规律 证明空间三点共线有哪些方法？
提示：对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟进训练]
3．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
[解] 法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝
＝＋． ①
又∵＝
＝－－， ②
①＋②得2＝，
∴∥，即共线．
法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝
＝)－
＝)－)
＝)＝)＝．
∴∥，即共线．
考向2 共面问题
【例4】 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．
[证明] 如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，
连接EG，MQ，EF，EH．
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R分别为所在边的中点．
∴顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有＝＝＝＝．
∵四边形MNQR为平行四边形，
∴＝＝－＝＝)＝)＋)＝×＋×＝．
∴为共面向量，
又∵三向量有相同的起点E，
∴E，F，G，H四点共面．
反思领悟 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(x，y为实数)，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
[跟进训练]
4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求证：向量共面．
[证明] 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋．
同理，＝＋．
所以＝＝＋＋＋＝＋＝＋．
又不共线，根据向量共面的充要条件可知共面．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是( )
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
√
B [对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．
对于B，根据相等向量的定义知，B正确．
对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错．
对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]
1
2
3
4
1
2
3
4
2．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
A．()＋
B．()＋
C．()＋
D．()＋
√
√
√
√
1
2
3
4
ABCD [对于A，()＋＝＝；对于B，()＋＝＝；
对于C，()＋＝＝；
对于D，()＋＝＝．故选ABCD．]
1
2
3
4
3．下列条件，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．||＝||
C [对于空间中的任意向量，都有＝，选项A错误；若＝，则＝，而＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；若||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．]
√
1
2
3
4
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．若由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，则λ＝________．
[∵A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，
∴＋＋λ＝1，解得λ＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
提示：适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中．
2．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
提示：当b＝0时，不一定存在λ值．
3．如何证明点P，A，B，C四点共面？
提示：可转化为证明向量共面．(共56张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习任务 1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算)
3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象)
4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由．
知识点1 空间向量的夹角
(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π] ．特别地，当θ＝__时，两向量同向共线；当θ＝__时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量____，记作____．
〈a，b〉
0
π
垂直
a⊥b
提醒 因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角．
知识点2 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则_______________叫做a，b的数量积，
记作a·b．即a·b＝________________．
规定：零向量与任意向量的数量积为__．
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交换律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
|a||b|cos〈a，b〉
|a||b|·cos 〈a，b〉
0
(3)空间两向量的数量积的性质
向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b ________
共线 同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝___，
|a|＝_______，|a·b|≤|a|·|b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b＝0
|a|2
思考 对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等．
知识点3 向量的投影
(1)向量a向向量b(直线l)的投影
如图1，在空间，向量a向向量b投影，
由于它们是自由向量，因此可以先将
它们平移到同一个平面α内，进而利
用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝
_________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)．
|a|cos 〈a，b〉
(2)向量a向平面β的投影
如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与______所成的角．
平面β
提醒 空间向量a在b上的投影向量可以先将a平移到与b共起点，再作投影向量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同． ( )
提示：当〈a，b〉>时，反向．
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直． ( )
提示：根据向量向直线的投影定义可知，c与a－c垂直．
√
×
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉． ( )
提示：根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确．
(4)向量a在直线l上的投影是一个数量． ( )
(5)向量a在平面β上的投影是一个向量． ( )
√
×
√
2．(源自人教B版教材)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)〈〉＝________；
(2)〈〉＝________；
(3)〈〉＝________；
(4)〈〉＝________．
π
(1) (2) (3) (4)π [(1)〈〉＝〈〉＝；
(2)〈〉＝〈〉＝π－〈〉＝；
(3)〈〉＝〈〉＝；
(4)〈〉＝〈〉＝π．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2，则＝_____．
4 [||＝||＝2，〈〉＝60°，
∴＝||||cos 60°＝2×2×＝4．]
4
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 空间向量数量积的运算
类型2 利用数量积证明空间中的垂直关系
类型3 利用数量积求夹角和距离
类型1 空间向量数量积的运算
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
[解] 法一：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2，
所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，
||＝BC′＝＝2，
因此＝||||cos 〈〉＝2×1×＝2 ．
法二：由图可以看出，上的投影是，而且||＝AA′＝1，
注意到的方向相同，所以等于的长，
即＝||＝2 ．
(2)．
[解] 由图可以看出，上的投影是，
而且||＝AA′＝1，
注意到的方向相反，
所以等于的长的相反数，
即＝－||＝－2 ．
反思领悟 在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解．
[跟进训练]
1．(2022·云南昆明高二月考)已知单位向量a，b满足|a|＝|a＋b|，则·b＝( )
A． B．1 C． D．0
D [∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1 ．
∵|a|＝|a＋b|，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，
∴·b＝a·b＋b2＝－＋＝0．故选D．]
√
2．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于( )
A． B．－ C． D．－
√
B [如图，∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴＝，
∵空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，
∴每个面都是等边三角形，
∴＝＝＝－
＝－·||·||·cos ＝－×1×1×＝－，故选B．]
类型2 利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．
∵＝
＝＋)
＝c＋a＋b，
＝＝b－a，
＝＝)＋＝a＋b－c，
∴ ＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0．
于是⊥，即A1O⊥BD．
同理可证⊥，即A1O⊥OG．
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD．
发现规律 用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
提示：(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[跟进训练]
3．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
[证明] 如图，连接ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|．
又＝)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b．
∴＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝)＝0．
∴⊥，即OG⊥BC．
类型3 利用数量积求夹角和距离
考向1 用数量积求角
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos 〈〉的值．
[解] 因为＝＝－＝，
所以||2＝＝()2＝＋＝12＋22＋12＝6，即||＝，
||2＝＝()2＝＝12＋22＝5，即||＝，
＝()·()＝－＝22－12＝3，
所以cos 〈〉＝＝＝．
［母题探究］
1．本例中条件不变，求与夹角的余弦值．
[解] 由例题知，
＝
所以
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
[解] 由已知得
因为
所以
因为
所以
又因为
所以．
所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为．
反思领悟 利用向量求异面直线夹角的步骤
[跟进训练]
4．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________．
[如图，设＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝
∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝．
因为＝)＝(a＋b)，
＝＝＝c－b，
所以＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－．
又因为||＝||＝，
所以cos 〈〉＝＝－．
所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为．]
考向2 利用数量积求距离(线段长)
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
[思路导引] ∠ACD＝90°→＝0，＝0→AB与CD成60°角→〈〉＝60°或〈〉＝120°
＝求||→B，D间的距离．
[解] ∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得＝0．
∵AB与CD成60°角，
∴〈〉＝60°或〈〉＝120°．
又＝，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝3＋2×1×1×cos 〈〉．
∴当〈〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为．
反思领悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
[跟进训练]
5．如图所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解] 设＝a，＝b，＝c．
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°．
因为＝＝－＋＝－a＋b＋c，
所以||2＝＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知|a|＝4．向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量为( )
A．2e B．－2e C．－e D．e
1
2
3
4
B [由题意得向量a在向量e上的投影向量为
|a|cos 〈a，e〉＝4cos e＝－2e．]
√
1
2
3
4
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．90°
√
1
2
3
4
B [由题意得：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)
＝＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝＝．
设a，b夹角为θ，cos θ＝＝＝－，0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°，故选B．]
1
2
3
4
3．(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是( )
A．2 B．2
C．2 D．2
√
√
1
2
3
4
AC [如图所示，2＝2||||cos 120°＝
2a·a cos 120°＝－a2，故A正确；2＝
2||||·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2，
故B错误；2＝2||·||cos 180°
＝2··a cos 180°＝－a2，故C正确；
2＝2||||·cos 120°＝2··a cos 120°＝－，故D错误．故选AC．]
1
2
3
4
4．如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则MN的长为________．
a
1
2
3
4
a [因为＝＝＋()＋)＝－＋＋，
所以＝
＝－－＋＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋＝a2．
所以||＝a，即MN＝a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
提示：一致．
2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
提示：|c|＝|a|cos 〈a，b〉或|c|＝．
3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
提示：可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．(共51张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习任务 1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？
如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，
p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c
来表示向量p
知识点1 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．
其中{a，b，c}叫做空间的一个____，a，b，c都叫做基向量．
xa＋yb＋zc
基底
思考 对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0
提示：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0．
提醒 空间中任意三个不共面向量都可作为一组基底．
知识点2 空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为__，
那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个_________的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
两两垂直
1
两两垂直
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的． ( )
提示：任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量． ( )
提示：若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．
×
√
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面． ( )
提示：不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0． ( )
提示：a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0．
√
√
(5)空间的单位正交基底是唯一的． ( )
提示：不唯一．
(6)单位正交基底中每一个基向量是单位向量． ( )
提示：由单位正交基底的定义可知正确．
(7)对于单位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． ( )
提示：由向量正交分解知正确．
×
√
√
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用{}为基底表示，则＝__________________．
[∵＝＝，
∴＝＝＋．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 空间的基底
类型2 用基底表示空间向量
类型3 空间向量基本定理的应用
类型1 空间的基底
【例1】 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以不共面．
所以{}能作为空间的一个基底．
反思领悟 基底判断的基本思路和注意问题
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[跟进训练]
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示空间向量
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示．
[解] 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－＝－)＝－(b＋a)．
又＝－c，＝a，＝＝b，
所以＝
＝－(b＋a)－c＋a＋b＝a－c．
[母题探究]
若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以，＝＝－c＋a，∴＝(a－c)．
又＝b，所以＝－b，
所以＝＝(a－c)－c－b＝a－c－b．
反思领悟 用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[跟进训练]
2．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，若Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)．
[解] 连接AC，AD′，AC′(图略)，
(1)＝)＝)＝(a＋b＋c)．
(2)＝)＝＋2＋)＝a＋b＋c．
(3)＝)＝[(＋)＋()]＝＋2＋2)＝a＋b＋c．
(4)＝＝＋)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c．
类型3 空间向量基本定理的应用
考向1 证明空间直线、平面的位置关系
【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[证明] 取基底{}，
(1)因为＝＝＋＝＝2，所以∥，
又EG，AC无公共点，所以EG∥AC．
(2)因为＝＝＋，＝＝2，所以∥，
又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′．
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C．
反思领悟 (1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．
(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°．
求证：BD⊥平面ADC．
[证明] 设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝．
＝() ＝，
由于＝ ()
＝＝1，
＝|| ||cos 60°＝××＝1．
∴＝0，即BD⊥AC．
又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD 平面ADC，∴BD⊥平面ADC．
考向2 求线段的长度或两点间的距离
【例4】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且3BP＝BC，记＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示；
[解] ＝＝()－()＝－(b＋c)＝a－b－c．
(2)求的模．
[解] 因为AB，AD，AA1两两夹角为60°，
长度分别为2，3，1．
所以a·b＝3，a·c＝1，b·c＝，
||＝＝
＝＝．
反思领悟 求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
[解] ∵＝，
∴||2＝()2
＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝62＋42＋32＋2|||| cos 120°＝61－12＝49，
∴||＝7，即PC＝7．
考向3 求两直线的夹角
【例5】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设＝a，＝b，＝c，{a，b，c}构成空间的一个基底，用它们表示．
[解] ＝
＝＋＝－＝a－b，
＝＝a＋b＋c．
(2)求AC1与MN的夹角．
[解] 因为由(1)得＝·(a＋b＋c)
＝a2＋a·b＋a·c－b·a－b2－b·c
＝×42＋×4×4×＋×4×5×－×4×4×－×42－×4×5×＝0，
所以⊥，所以AC1与MN的夹角为．
反思领悟 求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
(2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝，求cos 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
[解] ∵＝＝＝，
且＝＝＝0，
∴＝＋＝－＝－1．
又∵||＝，||＝＝，
∴cos 〈〉＝＝＝，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
1
2
3
4
B [①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B．]
√
1
2
3
4
2．如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，点N为BC的中点，则＝( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
B [∵＝＝b－a，
＝＝)
＝(c－b)，
∴＝
＝a＋(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c．
故选B．]
√
1
2
3
4
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
√
1
2
3
4
C [设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为基底，则＝＝－a＋c，＝＝a＋b＋c．
又||＝2，||＝，
所以cos 〈〉＝＝＝＝．
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．]
1
2
3
4
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||等于________．
a
1
2
3
4
a [∵＝＝－
＝－)＝＋－，
∴||＝
＝＝a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？
提示：a，b，c不共面．
2．叙述空间向量基本定理的内容．
提示：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
提示：(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．(共48张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习任务 1．通过实例了解集合的含义．(数学抽象)
2．掌握集合中元素的三个特性．(逻辑推理)
3．体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)
必备知识·情境导学探新知
01
平面向量运算的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2 ．
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
知识点1 空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法 a＋b＝______________________
减法 a－b＝______________________
数乘 λa＝________________，λ∈R
数量积 a·b＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb __________________________
________
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 ___________________(a，b均为非零向量)
模
夹角公式
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(λ∈R)
思考 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？
提示：当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
知识点3 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则＝______________________；
P1P2＝||＝__________________________________．
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|． ( )
提示：|a|＝＝，|b|＝＝，所以|a|＝|b|．
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b． ( )
提示：由a·b＝0，得a⊥b．
√
√
(3)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则＝(－3，－3，－3)． ( )
提示：由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3)．
(4)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量． ( )
提示：若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，所以a不是单位向量．
×
×
2．已知空间向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，则m＋n＝_____________，3m－n＝_____________，2m·(－3n)＝_____．
(－1，－1，1) (5，－11，19) 168 [m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；
3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；
2m·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．]
(－1，－1，1)
(5，－11，19)
168
3．若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝___________________，
||＝________．
(1，－1，－1) [＝(1，－1，－1)，
||＝＝．]
(1，－1，－1)
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 空间向量的坐标运算
类型2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
类型3 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
2 [c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
2
(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求出点P的坐标使＝)．
[解] ＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，
∴＝(6，3，－4)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为．
反思领悟 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[跟进训练]
1．已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos 〈p，q〉．
[解] 由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9)．
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)
＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26．
(4)cos 〈p，q〉＝
＝
＝＝－．
类型2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
考向1 由向量平行、垂直关系求参数
【例2】 已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________．
[因为a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，
又2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)．
又ka＋b与2a－b垂直，
所以3(k－1)＋2k＝0，解得k＝．]
[母题探究]
本例的条件“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求k的值．
[解] 因为a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)，
又ka＋b与2a－b互相平行，
所以存在λ，使得ka＋b＝λ(2a－b)，(k－1，k，k＋2)＝λ(3，2，0)，
所以解得
反思领悟 利用平行与垂直求参数时要注意：
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；
(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
[解] 因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
所以解得所以λ＝，m＝3．
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．
[解] 因为|a|＝且a⊥c，
所以
化简得解得λ＝－1．
因此a＝(0，1，－2)．
考向2 向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：
(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[证明] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．
由中点坐标公式，得E，
F，G，H
(1)＝(1，0，1)，＝，＝．
因为＝2＝1×＋1×＝0，
所以∥⊥，
即AB1∥GE，AB1⊥EH．
(2)＝＝，＝．
因为＝－＋0＝0，＝＋0－＝0，
所以⊥⊥，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
反思领悟 利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE．
[证明] 设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．
∵点F为CD的中点，
∴F．
(1)∵＝＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，
∴＝)，
又AF 平面BCE，∴AF∥平面BCE．
(2)∵＝＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)，∴＝0，＝0，
∴⊥⊥，
∴AF⊥CD，AF⊥ED．
又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE．
又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
类型3 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
【例4】 (源自北师大版教材)如图所示，
三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，
CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，
点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥．
[解] 如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则＝(1，－1，1)，
||＝＝．
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以||＝＝，
||＝＝，
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos 〈〉＝＝＝．
故cos 〈〉的值为．
(3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M．
因为＝(－1，1，－2)，＝，
所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，
即⊥．
发现规律 用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
提示：(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD．
(1)求a的最大值；
(2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD
所成角的余弦值．
[解] 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BP＝x(0∴＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0)．
(1)∵PS⊥PD，∴＝0，
∴a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1，
∴当x＝1时，a取得最大值1．
(2)由(1)知，当a取得最大值1时，＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
∴cos 〈〉＝＝，
即异面直线AP与SD所成角的余弦值为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
1
2
3
4
B [b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)，故选B．]
√
1
2
3
4
2．已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A． B．4 C．6 D．2
C [A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B(2，－1，3)，
所以|AB|＝＝6．故选C．]
√
1
2
3
4
3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝____．
4 [由a∥b得a＝λb，所以
解得所以x－y＝4．]
4
1
2
3
4
4．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是______．
[∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
∴||＝，||＝，
＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，
∴cos 〈〉＝＝＝－，又〈〉∈[0，π]，
∴〈〉＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
提示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时 ，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos 〈a，b〉＝＝．
2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？
提示：(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．(共35张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习任务 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
知识点1 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
知识点2 空间直线的向量表示式
(1)如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t．如图2，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋___①，或＝＋____②．
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
ta
t
思考 1．如何确定直线的方向向量？
提示：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．
知识点3 空间平面的向量表示式
(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
条件 平面α内两条____直线的方向向量a，b和交点O
形式
相交
xa＋yb
(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的________，叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
方向向量
思考 2．如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？
提示：n⊥ ，即n·＝0．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量． ( )
(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量． ( )
(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同． ( )
√
√
×
(4)平面α的所有法向量都平行，且同向． ( )
提示：法向量也可能方向相反．
(5)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量． ( )
提示：当λ＝0时，λn＝0，不能作为平面的法向量．
(6)向量i＝(1，0，0)是坐标平面Oyz的一个法向量． ( )
提示：x轴垂直于坐标平面Oyz．
×
×
√
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，2，3)的位置向量是________________．
＝(1，2，3) [位置向量＝(1，2，3)．]
＝(1，2，3)
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 直线的方向向量
类型2 求平面的法向量
类型1 直线的方向向量
【例1】 (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1 C． D．3
A [∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设＝km，∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．
解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．]
√
(2)(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
①AA′；②BD′．
[解] 由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
①因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．
②因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．
反思领悟 求直线的方向向量的两种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量．
[跟进训练]
1．(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
AB ∵M，N在直线l上，∴＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
√
√
(2)从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C． D．
A 设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17．
√
类型2 求平面的法向量
【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0，，0)，P(0，0，1)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
[母题探究]
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
[解] 如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，
即直线PC的一个方向向量为(1，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
由即
所以令y＝1，则z＝．
所以平面PCD的一个法向量为(0，1，)．
发现规律 如何确定平面的法向量？
提示：按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量．
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐标分别为A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量．
[解] 由于z轴垂直于平面ABCD，而z轴可用方向向量＝(0，0，a)表示，因此(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量．
设n＝(x，y，z)是平面BDA1的法向量．
由已知得＝(－a，a，0)，＝(－a，0，a)，
因而
取x＝1，得y＝z＝1，
则n＝(1，1，1)是平面BDA1的一个法向量．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2，1，1) B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
1
2
3
4
B [∵＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B．]
√
1
2
3
4
2．过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是( )
A．(1，1，1) B．(1，1，－1)
C．(1，0，1) D．(－1，0，1)
A [＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)．设该平面的法向量为a＝(x，y，z)．
由题意知a·＝0，a·＝0，所以，即，令z＝1，得平面的一个法向量是(1，1，1)．]
√
1
2
3
4
3．(多选)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A．(2，1，3) B．(4，1，6)
C． D．(2，－4，－2)
AC [设点A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，那么＝(2，1，3)，即为空间直线l的一个方向向量，－＝－(2，1，3)＝也是空间直线l的一个方向向量．故选AC．]
√
√
1
2
3
4
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_______________．
x＋2y－3z＝0 [由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
x＋2y－3z＝0
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
提示：在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
提示：共线．
3．如何求一个平面的法向量？
提示：(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．(共46张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
学习任务 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置，由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置，那么就可以利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．下面我们就利用向量来研究垂直问题．
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
位置关系 向量表达式
线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2 μ1⊥μ2 μ1·μ2＝0
线面垂直 设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α μ∥n λ∈R，使得μ＝λn
面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交． ( )
提示：两条直线可能异面垂直．
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0． ( )
提示：根据线面垂直的定义可知．
×
√
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直． ( )
提示：也可能平行．
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，则平面α，β互相垂直． ( )
提示：由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β．
×
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 直线和直线垂直
类型2 直线和平面垂直
类型3 平面与平面垂直
类型1 直线和直线垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动．
求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
[证明] 法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AD＝a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F．
∵E在BC上，设E(m，1，0)，
∴＝(m，1，－1)，＝，
∴＝0，∴PE⊥AF．
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．
法二：因为点E在边BC上，可设＝λ，
于是＝())＝＋λ)·()＝＋λ＋λ)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0．
因此⊥．
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
反思领悟 用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
(1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
[跟进训练]
1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[证明] 法一：(基底法)设＝a，＝b，＝c，
则{a，b，c}为空间的一个基底．
∵AE＝EC，DF＝FC，
∴EF∥AD，且EF＝AD，
∴＝＝＝(c－a)．
又＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，
∴⊥，∴EF⊥BC．
法二：(坐标法)由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，
所以E，F，
所以＝＝(0，2，0)，
因此＝0，从而⊥，
所以EF⊥BC．
类型2 直线和平面垂直
【例2】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1．
[思路导引] 建立空间直角坐标系写出相关点的坐标―→求平面AED1的一个法向量―→证明与平面AED1的法向量平行―→B1E⊥平面AED1
[证明] 建立如图所示空间直角坐标系，
∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，
B1(1，2，1)．
又E为CD的中点，∴E(0，1，0)，
∴＝(－1，－1，－1)，
＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，
则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一个法向量．
又＝－n，∴∥n，
∴B1E⊥平面AED1．
反思领悟 证明直线与平面垂直的方法
(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．
[跟进训练]
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明] 法一：设＝a，＝c，＝b，
则＝＝)
＝)＝)＝(－a＋b＋c)．
∵＝＝a＋b，
∴＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＋0＋0)＝0．
∴⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
∴＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
∴＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
∴⊥⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1，1，－1)，∴＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC．
类型3 平面与平面垂直
【例3】 (源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[证明] 如图所示，以点B为原点，分别以为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系．
设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F．
于是＝(0，0，－a)，＝，
＝＝．
法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
则
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
则
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，则n2＝(1，1，－)是平面BEF的一个法向量．
因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用线面垂直)∵＝，
∴＝0，＝0，∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF
∴平面BEF⊥平面ABC．
反思领悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[跟进训练]
3．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[证明] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，
＝(－2，2，1)，＝．
法一：(利用平面的法向量)设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则
令x1＝1，得y1＝1．∴n1＝(1，1，0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1．
∴n2＝(1，－1，4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
法二：(利用线面垂直)取AC1的中点D，连接ED(图略)．
则D＝(1，1，0)，
∴＝0，＝0，
∴ED⊥AC1，ED⊥AC，
又AC1∩AC＝A，AC1，AC 平面AA1C1C，
∴ED⊥平面AA1C1C，
又ED 平面AEC1，
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C． D．3
1
2
3
4
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]
√
1
2
3
4
2．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α斜交
B [∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α．]
√
1
2
3
4
3．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程( )
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
D [因为E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，
因为CF⊥B1E，所以＝0，
即2－2z＝0，即z＝1．]
√
1
2
3
4
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为____．
5 [∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
5
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线垂直的向量表达式是什么？
提示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？
提示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？
提示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
4．证明线面垂直有哪些方法？
提示：(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．
(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．
(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．(共52张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
学习任务 1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
知识点1 利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝ ．
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ ．
思考 1．设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
提示：θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－．
知识点3 利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中__________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
不大于90°
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝ ．
思考 2．(1)二面角与平面的夹角范围一样吗？
(2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
提示：(1)不一样．二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是．
(2)θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为________．
[设直线a与b所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈，故θ＝．]
2．设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________．
[由题意设直线a与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝．]
3．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β的夹角为_____．
[设u＝(1，0，－1)，v＝(0，－1，1)，α与β的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝，∴θ＝．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 两条异面直线所成的角
类型2 直线与平面所成的角
类型3 两个平面的夹角
类型1 两条异面直线所成的角
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值．
[解] 设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝，s2＝．
因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，
所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
设AC′与A′D所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝＝＝．
故AC′与A′D所成角的余弦值为．
反思领悟 求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[跟进训练]
1．如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
[解] 以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，
A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos 〈〉|＝
＝＝．
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为．
类型2 直线与平面所成的角
【例2】 (2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
[思路导引] (1)―→四边形ABCD为等腰梯形―→ ―→BD⊥平面PAD―→BD⊥PA．
(2)由(1)建系―→相关点坐标―→ ―→平面PAB的法向量―→PD与平面PAB所成角的正弦值．
[解] (1)证明：在四边形ABCD中，
因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD是等腰梯形，
易得BD＝，且AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，
又因为PD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PD⊥BD．
因为PD，AD 平面PAD，PD∩AD＝D，
所以BD⊥平面PAD，又因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA．
(2)由(1)可知，DA，DB，DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，
所以＝(0，0，－)，＝(1，0，－)，＝(0，，－)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即，
令y＝1，则z＝1，x＝，
故可取n＝(，1，1)，
设直线PD与平面PAB所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为．
反思领悟 利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝．
[跟进训练]
2．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
[解] 证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．
又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．
因为△A1B1C1是正三角形，
所以B1C1⊥A1N．
又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，
故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．
(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
[解] 由已知得AM⊥BC．
以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，
||为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝．
连接NP，则四边形AONP为平行四边形，
故PM＝，E．
∵MN⊥BC，AM⊥BC，MN∩AM＝M，
∴BC⊥平面A1AMN．
又∵BC 平面ABC，且平面A1AMN∩平面ABC＝AM，
平面A1AMN⊥平面ABC，
在平面A1AMN内作NQ⊥AM，垂足为Q，
则NQ⊥平面ABC．
设Q(a，0，0)，则NQ＝，B1，
故＝，||＝．
又n＝(0，－1，0)是平面A1AMN的一个法向量，
故sin ＝cos 〈n，〉＝＝．
所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为．
类型3 两个平面的夹角
【例3】 (2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 ．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥
平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
[思路导引] (1)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4―→三棱锥A-A1BC的体积―→点A到平面A1BC的距离．
(2)题设条件―→BA，BC，BB1两两垂直平面ABD与平面BDC的法向量平面ABD与平面BCD的法向量的夹角的余弦值二面角A-BD-C的正弦值．
[解] (1)设点A到平面A1BC的距离为h，
因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，
所以＝S△ABC×AA1＝＝，
又△A1BC的面积为2，
＝h＝×2h＝，所以h＝，
即点A到平面A1BC的距离为．
(2)取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B，
因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE 平面ABB1A1，
所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，
又AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥BC，因为AA1∩AE＝A，
所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB．
以B为坐标原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2，
因为△A1BC的面积为2，
所以2＝×A1B×BC，所以BC＝2，
所以A(0，2，0)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，
A1(0，2，2)，D(1，1，1)，E(0，1，1)，
则＝(1，1，1)，＝(0，2，0)，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1，0，－1)，
又平面BDC的一个法向量为＝(0，－1，1)，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－，
设二面角A-BD-C的平面角为θ，
则sin θ＝＝，
所以二面角A-BD-C的正弦值为．
反思领悟 求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉
[跟进训练]
3．(2021·全国乙卷改编)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
[解] 因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥DC．
在矩形ABCD中，AD⊥DC，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．
设BC＝t，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，M，P(0，0，1)，
所以＝(t，1，－1)，＝．
因为PB⊥AM，所以＝－＋1＝0，得t＝，
所以BC＝．
(2)求平面APM与平面PMB夹角的正弦值．
[解] 易知C(0，1，0)，由(1)可得＝(－，0，1)，＝＝(，0，0)，＝(，1，－1)．
设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝，则z1＝2，y1＝1，
所以平面APM的一个法向量为n1＝(，1，2)．
设平面PMB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
得x2＝0，令y2＝1，则z2＝1，
所以平面PMB的一个法向量为n2＝(0，1，1)．
cos 〈n1，n2〉＝＝＝，
所以平面APM与平面PMB夹角的正弦值为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若
cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
1
2
3
4
B [设l与α的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
∴θ＝60°，应选B．]
√
1
2
3
4
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )
A． B． C． D．
√
1
2
3
4
D [以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，
则＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)，
∴cos 〈〉＝＝＝，
即A1B与AC所成角的余弦值是．]
1
2
3
4
3．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
A [由＝＝，知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为．]
√
1
2
3
4
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝_____．
[cos θ＝＝＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
提示：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
提示：直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
提示：平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．
提示：(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标．
(2)求出两个平面的法向量．
(3)求出两个法向量的夹角．
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．(共17张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
微专题1 空间向量应用的综合问题
解决立体几何问题，常用三种方法：综合法、向量法、坐标法．处理空间图形之间的距离、夹角等度量问题时，综合法需要借助图形之间的位置关系或辅助线找出所求的距离、夹角，有一定的难度，但向量法和坐标法不用考虑图形之间的关系，直接套用相应的公式求解即可，将这些度量“公式化”，这就大大降低了难度．
类型1 利用空间向量求空间角
【例1】 (2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
(1)求证：EF∥平面ABC；
[解] 证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，再连接FK，
∵EK∥A1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，
∴FK∥AC，EG∥AB，又FK 平面ABC，AC 平面ABC，
∴FK∥平面ABC，同理可得，EG∥平面ABC，又FK∩EG＝K，
∴平面EFG∥平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
(2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值；
[解] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AA1⊥A1B1，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又AA1＝AB＝AC＝2，D为A1B1中点，
E为AA1中点，F为CD中点．
故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，
C1(0，0，2)，D(0，1，0)，
则＝(－1，－2，0)，＝(－2，0，0)，＝(－2，1，－2)，
设n＝(x，y，z)是平面CC1D的法向量，则有n·＝0，n·＝0，
即，
令z＝1，则x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)，
设直线BE与平面CC1D的夹角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，
即直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为．
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
[解] ∵A1(0，0，0)，则＝(2，0，2)，＝(0，1，0)，
设平面A1CD的法向量为m＝(x，y，z)，
则有m·＝0，m·＝0，
即，令x＝1，则y＝0，z＝－1，故m＝(1，0，－1)，
设平面A1CD与平面CC1D的夹角为β，
所以cos β＝|cos 〈n，m〉|＝＝．
类型2 立体几何中的探究、开放问题
【例2】 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
[思路导引] (1) BFAF，AC
建系―→相关点坐标―→ ―→证明结论．
(2) 二面角的余弦公式―→二面角的余弦最大值―→二面角的正弦最小值―→B1D．
[解] (1)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，所以AA1＝BB1＝CC1＝AB＝2．
又F为CC1中点，所以CF＝1．
因为CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以CC1⊥BC，
则在Rt△BCF中，BF＝＝．
如图所示，连接AF，由BF⊥A1B1且AB∥A1B1，
则BF⊥AB，故AF＝3，所以AC＝2，
由AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC，
故如图所示，以B为坐标原点，所在方
向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)．
则＝(0，2，1)，＝(1－m，1，－2)，
所以＝0，故BF⊥DE．
(2)由(1)得AB⊥BC，AB⊥BB1，
且BC∩BB1＝B，故AB⊥平面BB1C1C，
故可得平面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1，0，0)．
而＝(1－m，1，－2)，＝(－1，1，1)，
设平面DFE的法向量为n2＝(x，y，z)，
则，即，
令x＝3，则y＝m＋1，z＝2－m，所以n2＝(3，m＋1，2－m)，
∴cos 〈n1，n2〉＝＝
＝＝，
∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
类型3 立体几何中的翻折问题
【例3】 (2019·全国Ⅲ卷改编)图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
[证明] 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BC，BE 平面BCGE，故AB⊥平面BCGE．
又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．
(2)求图2中的平面BCGE与平面ACGD所成角的大小．
[证明] 作EH⊥BC，垂足为H．因为EH 平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，
可求得BH＝1，EH＝．
以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，＝(1，0，)，＝(2，－1，0)．
设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
所以可取n＝(3，6，－)．
又平面BCGE的法向量可取为m＝(0，1，0)，
所以cos 〈n，m〉＝＝．
因此平面BCGE与平面ACGD所成角的大小为30°．(共23张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
章末综合提升
类型1 空间向量的概念及运算
1．空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算．
2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算素养．
√
【例1】 (1)(多选)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2 ．以下选项正确的是( )
A．＝0
B．()·()＝0
C．＝0
D．＝
√
√
BCD [因为＝()＋()＝4≠0，O为AC与BD的交点，所以A错误；()·()＝＝0，所以B正确；＝＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以＝2×2×cos ∠ASB，＝2×2×cos ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是＝，因此D正确．]
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
①求的长；
②求与夹角的余弦值．
[解] 记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝．
①||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝ ．即AC1的长为．
②＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos 〈〉＝＝．
即夹角的余弦值为．
类型2 利用空间向量证明位置关系
1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．
2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．
【例2】 在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
[解] 证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
C(2，2，0)，M(1，1，1)，
∴＝(0，1，1)，
平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)，
∴·n＝0，即⊥n，
又BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．
[解] ＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)，
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD．
设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，
从而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴即∴∴N，
∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD．
类型3 利用空间向量求距离
1．空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为(如图1)．
(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，
A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则
点P到平面α的距离为(如图2)．
2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养．
【例3】 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
[解] 如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．
(1)∵＝(－2，－3，2)，＝(－4，－2，－2)，
∴上的投影向量的模＝
＝＝．
故M到PQ的距离为＝＝．
(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∵＝(－4，0，4)，＝(－4，4，0)，
∴
因此可取n＝(1，1，1)，由于＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝＝＝，故M到平面AB1P的距离为．
类型4 利用空间向量求夹角
1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．
2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．
【例4】 (2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
[解] 证明：连接OA．
因为PO是三棱锥P-ABC的高，
所以PO⊥平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以∠POA＝∠POB＝90°．
又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB．
取AB的中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB．
又AB⊥AC，所以OD∥AC．
因为OD 平面PAC，AC 平面PAC，所以OD∥平面PAC．
因为D，E分别为AB，PB的中点，所以DE∥PA．
因为DE 平面PAC，PA 平面PAC，所以DE∥平面PAC．
因为OD，DE 平面ODE，OD∩DE＝D，
所以平面ODE∥平面PAC．
又OE 平面ODE，所以OE∥平面PAC．
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．
[解] 由(1)易知OA＝OB，所以OD⊥AB．以D为坐标原点，分别以DB，DO所在直线为x轴、y轴，以过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．
因为PO＝3，PA＝5，且PO⊥OA，
所以OA＝OB＝4．
又∠ABO＝∠CBO＝30°，
所以OD＝OB＝2，DA＝DB＝2，
所以P(0，2，3)，B(2，0，0)，A(－2，0，0)，E．
设AC＝a，则C(－2，a，0)．
设平面AEB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
＝(4，0，0)，＝，
则所以
所以x1＝0．
令y1＝3，得z1＝－2，所以n1＝(0，3，－2)．
设平面AEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
＝(0，a，0)，＝，
则所以
所以y2＝0．
令x2＝，得z2＝－6，所以n2＝(，0，－6)．
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝＝．
设二面角C-AE-B的平面角为θ，则sin θ＝＝，
所以二面角C-AE-B的正弦值为．
