(共41张PPT)
第四章 数列
4.1 数列的概念
第2课时 数列的通项公式与递推关系
学习 任务 1．理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．
(逻辑推理)
2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)
3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
自上而下：
第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？
知识点1 数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的首项(或前几项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的____公式．
递推
知识点2 数列递推公式与通项公式的关系
分类 递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项________(或前几项)之间的关系 表示an与__之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an－1
n
知识点3 数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第_项起到第__项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝______________．
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
1
n
a1＋a2＋…＋an
序号n
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
思考S1与a1是什么关系？S2呢？
[提示] 由于S1表示数列的前1项的和，因此S1与a1相等，而S2表示数列的前2项的和，因此S2＝a1＋a2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法． ( )
(2)所有的数列都有递推公式． ( )
[提示] 随机的一个数列就不一定有递推公式．
(3)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}． ( )
[提示] 只能确定相邻两项间的关系但无法确定{an}．
√
×
×
2．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n∈N*，n>1)，则a3＝________．
[由已知，得a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝．]
3．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝______________．
[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 由递推公式求数列中的项
类型2 由Sn求通项an
类型3 根据递推公式求通项
类型1 由递推公式求数列中的项
【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
[解] ∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解] ∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
反思领悟 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)1，2，4，7，11，…；
[解] 因为a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)－1，2，5，8，11，…；
[解] 因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解] 因为＝＝＝＝－2，
所以＝－2．即an＋1＝－2an．
从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
类型2 由Sn求通项an
【例2】 根据下列数列的前n项和Sn求通项an．
(1)Sn＝2n2－n＋1；
[解] 由Sn＝2n2－n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3．
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3，
∴an＝
(2)Sn＝2·3n－2．
[解] 由Sn＝2·3n－2，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n-1－2)＝4·3n-1．
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31-1，
∴an＝4·3n-1(n∈N*)．
发现规律 由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用________，求出a1；
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝__________(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式；
(3)注意检验_____时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
a1＝S1
Sn－Sn－1
n＝1
[跟进训练]
2．(1)数列{an}的前n项和Sn＝3n2，则an＝________．
6n－3 ①当n＝1时，a1＝S1＝3；
②当n≥2时Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，
an＝Sn－Sn－1＝6n－3，当n＝1时上式也符合，
所以an＝6n－3．
6n－3
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通项公式是__________________．
an＝ ①当n＝1时，a1＝S1＝2＋1－5＝－2；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n－5)－[2(n－1)2＋(n－1)－5]＝4n－1，
当n＝1时，4n－1＝4－1＝3≠－2，
综上，an＝
an＝
类型3 根据递推公式求通项
【例3】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[思路引导] (1)先将递推公式变形为an＋1－an＝－，再利用累加法求通项公式；(2)先将递推公式化为＝，再利用累乘法求通项公式．
[解] (1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…；
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－．∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
[母题探究]
(变条件)将本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝，得＝＋，
即－＝．又∵a1＝1，
∴＝＋＋…＋＋＝＋1＝＋1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝(n∈N*)．
反思领悟
1．由递推公式求通项公式常用的两种方法
(1)累加法：当an＝an－1＋f (n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
2．此类题在累加或累积时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而失分．
[跟进训练]
3．已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，求数列{an}的通项公式．
[解] 因为an＝an－1＋(n≥2)，
所以an－an－1＝＝，
所以a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－an－1＝(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝(n≥2)，所以an＝a1＋＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝适合an＝，故数列{an}的通项公式为an＝．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C [A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．故选C．]
√
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则a3＝________．
5 [由Sn＝n2＋3可知a3＝S3－S2＝32＋3－(22＋3)＝5．]
1
2
3
4
5
3．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
1
2
3
4
n [由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，
以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，
因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，
a1＝1也满足an＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．]
n
1
2
3
4
4．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，则an＝____________．
[∵a1a2a3…an＝n2，∴n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴两式相除得an＝，
1
2
3
4
又∵a1＝12＝1，不适合an＝，
∴an＝]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
[提示] 数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式．
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
[提示] n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，这是因为当n＝1时Sn－1＝S0，数列中S0无意义．
(3)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累积法求通项an
[提示] ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累积法或迭代法．(共39张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习 任务 1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)
2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)
3．会求等差数列的通项公式．(数学运算)
4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模)
必备知识·情境导学探新知
01
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题．
1．我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…．
2．某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…．
3．全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5．
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
知识点1 等差数列的概念
文字语言 如果一个数列从第_项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2
前一项
同一个常数
常数
d
思考等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？
[提示] 第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
知识点2 等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是 ___________．
知识点3 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝________________．
a＋b＝2A
a1＋(n－1)d
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列{1－3n}的公差d＝1． ( )
[提示] 数列{1－3n}的公差为－3．
(2)所有的等差数列都有通项公式． ( )
[提示] 由等差数列的定义可知正确．
×
√
1
2
3
4
2．3与5的等差中项为( )
A．2 B．4
C．8 D．
√
B [3与5的等差中项为＝4．]
1
2
3
4
3．(多选)下列数列是等差数列的是( )
A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，…
C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
AC [根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．]
√
√
1
2
3
4
4．等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________．
2n－5 [由题知，a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5．]
2n－5
1
2
3
4
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 等差数列的通项公式的有关运算
类型2 等差中项的应用
类型3 等差数列的判定与证明
类型1 等差数列的通项公式的有关运算
【例1】 (1)已知a7＝，d＝－2，求a1；
[解] ∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝．
(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．
[解] 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24．
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得解得
∴a75＝75×＋4＝24．
反思领悟 求等差数列的通项公式的两种思路
(1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．
(2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．
注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．
[跟进训练]
1．在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________；
10 由题意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10．
10
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
－ 依题意可得
解得d＝－．
－
(3)已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
－ 法一：由得
解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．
－
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
得－＝＋4d，解得d＝－．
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－．
类型2 等差中项的应用
【例2】 (1)如果3是2a与a－6的等差中项，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
D 由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4．
√
(2)一个等差数列的前4项是1，x，a，2x，则x＝________．
2 由已知得可得2x＝1＋，
解得x＝2．
(3)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项是________．
因为a＝＝，b＝＝，所以＝．
2
发现规律 等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝____．
(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有_________；反之，若_________，则a，b，c成等差数列．
a＋c＝2b
a＋c＝2b
[跟进训练]
2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3．
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1．
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5．
∴该数列为：－1，1，3，5，7．
类型3 等差数列的判定与证明
【例3】 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[思路引导] 先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝．
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2．
[母题探究]
本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．”，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝两边取倒数，可得＝，即＝＋，所以－＝，因此数列是公差为的等差数列．
因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，因此＝＋(n－1)＝n，故an＝．
反思领悟 等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)已知数列{an}中，an－1＝，在n≥3时恒成立，求证：{an}是等差数列．
[证明] 因为an－1＝ 2an－1＝an＋an－2 an－an－1＝an－1－an－2，所以an－an－1＝an－1－an－2＝an－2－an－3＝…＝a2－a1．
因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2
ABD [选项A，B，D满足等差数列的定义，是等差数列；选项C中，因为24－25≠23－24，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．]
√
√
√
2．在等差数列{an}中，若a1＝2，a2＝4，则a4＝( )
A．6 B．8
C．16 D．32
B [因为等差数列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，则a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8．]
1
2
3
4
√
3．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是( )
A．该数列为等差数列 B．公差为3
C．a5＝15 D．－3是该数列的第11项
ACD [由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11，故ACD正确．]
1
2
3
4
√
√
√
4．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
1
2
3
4
3
3 [由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8．
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10．
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6．
所以m和n的等差中项为＝3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示] 等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解．
(2)任何两个数都有等差中项吗？
[提示] 任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为．
(3)如何判断数列为等差数列？
[提示] 判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法：an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b．(d，b为常数)．(共45张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质及应用
学习 任务 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)
2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
知识点1 等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以__为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
d
思考1．等差数列的单调性与公差有何关系？
[提示] 若{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
知识点2 等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝__________．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
ap＋aq
和
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_____的等差数列．
等差
d
cd
2d
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为____数列；
d<0 {an}为____数列；
d＝0 {an}为常数列．
pd1＋qd2
递增
递减
思考2．若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？
[提示] 不一定．如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．
提醒:推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列对应的图象是一条直线． ( )
[提示] 等差数列对应的图象是一列孤立的点．
(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可以看成an关于n的一次函数． ( )
[提示] 当d＝0时数列为常数列也是等差数列．
×
×
2．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝0
BCD [∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又 ∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴101a51＝0，
∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0．]
√
√
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 等差数列的设法与求解
类型2 等差数列的性质
类型3 等差数列的实际应用
类型1 等差数列的设法与求解
【例1】 (1)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
[解] 设{an}的公差为d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5．
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，
解得d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105．
[解] 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
因为该数列是递增数列，所以d>0，
(2)已知四个数依次成等差数列，且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
所以解得
故此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1．
发现规律 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为__．
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为_____．
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q．
d
2d
[跟进训练]
1．已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数分别为a，b，c，则
解得故这三个数分别为4，6，8．
法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2．
∵该数列是递增的，
∴d＝2，
∴这三个数分别为4，6，8．
类型2 等差数列的性质
【例2】 (1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[思路引导] 根据各个题的特征，选择相应等差数列的性质求解．
[解] (1)法一：设{an}的公差为d，
则解得
故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40．
法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．
法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．
(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，
所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，
故a1＋a9＝2a5＝28．
(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．
[母题探究]
(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
[解] 法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
反思领悟 等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．
[跟进训练]
2．(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
20 [3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20．]
20
(2)设等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9．
①求a3；
②若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求数列{an}的通项公式．
[解] ①因为等差数列{an}中，满足a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
所以a3＝3．
②设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，
所以3a2，3a5，3a8是公差为18的等差数列，
所以a8－a5＝3d＝6，所以d＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3．
类型3 等差数列的实际应用
【例3】 (1)(2022·厦门高二检测)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男、子、伯、侯、公．现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子，则m＝________．
3 设男、子、伯、侯、公各分得x－2m，x－m，x，x＋m，x＋2m个橘子，由已知，5x＝80，即x＝16，又16－2m>0且m为正整数，
所以m＝{1，2，3，4，5，6，7}，若“子”恰好分得13个橘子，则16－m＝13，即m＝3．
3
(2)高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为________．
12
12 设经过n次考试后该学生的成绩为an，
则an＝5(n－1)＋69，由5(n－1)＋69≥120，得n≥＝11 ，所以至少要经过12次考试．
反思领悟 等差数列在实际应用中的解法
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息，若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列，合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35 cm，第5级的宽为43 cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，求其余3级的宽度．
[解] 法一：依题意，a1＝35，a5＝43．
设公差为d，则35＋4d＝43，解得d＝2．
从而a2＝35＋2＝37，
a3＝37＋2＝39，
a4＝39＋2＝41．
因此，其余3级的宽度分别为37 cm，39 cm，41 cm．
法二：因为等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，共5项．
又因为2×3＝1＋5，所以2a3＝a1＋a5＝35＋43＝78，
即a3＝39．
类似地，有2a2＝a1＋a3＝35＋39＝74，2a4＝a3＋a5＝39＋43＝82，所以a2＝37，a4＝41．
因此，其余3级的宽度分别为37 cm，39 cm，41 cm．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5．]
√
2．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位) ( )
A．0.9升 B．1升
C．1.1升 D．2.1升
1
2
3
4
√
B [不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列{an}，公差为d．依题意得
故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故选B．]
1
2
3
4
3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．
12 [在等差数列{an}中，a1＋a15＝2a8，∵a1＋3a8＋a15＝60，
∴5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝2a8，∴a2－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]
1
2
3
4
12
4．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是_______________．
－2，0，2，4 [设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，∴d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．]
1
2
3
4
－2，0，2，4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在等差数列{an}中，任意两项an与am之间的关系是什么？
[提示] 在等差数列{an}中，an－am＝(n－m)d．
(2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？
[提示]
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d
性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列
性质6 若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列(共46张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第2课时 等差数列前n项和的最值及应用
学习 任务 能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模)
必备知识·情境导学探新知
01
等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时)
Sn＝n2＋n．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
根据公式能否求出等差数列前n项和的最大值或最小值？
知识点1 等差数列前n项和的函数特征
等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程
n2＋n
等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
知识点2 等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．
特别地，若a1>0，d>0，则___是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则___是{Sn}的最大值．
小
大
S1
小
S1
提醒由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
－1 [∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．]
－1
2．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最____________(填“大”或“小”)值为____________．
大
26
大 26 [由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值．
由得n＝4，
则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 等差数列前n项和最值问题的判断
类型2 等差数列前n项和Sn的最大(小)值
类型3 等差数列求和的实际应用
类型1 等差数列前n项和最值问题的判断
【例1】 (多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是( )
A．若S3＝S11，则必有S14＝0
B．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C．若S7>S8，则必有S8>S9
D．若S7>S8，则必有S6>S8
√
√
√
ABC [根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，
S14＝＝7(a7＋a8)＝0，A正确；
根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是＝7，且d<0，那么S7是最大值，B正确；
若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9，C正确；
S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符号不确定，D错误．故选ABC．]
反思领悟 一般地，在等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
[跟进训练]
1．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
√
√
√
ABD [∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0．
∴d<0．
∴S6与S7圴为Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0．
∴S9类型2 等差数列前n项和Sn的最大(小)值
【例2】 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大？
[思路引导] (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．
[解] (1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，
由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，又a17＝0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]
(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169．
反思领悟 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，
(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
[解] 当n＝1时，有a1＝S1＝－28．
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立，因此数列的通项公式为an＝4n－32.
因为an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4，
所以{an}是等差数列．
(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
[解] 法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝－，
又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112.
法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28<0.
令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0.
由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是＝－112.
类型3 等差数列求和的实际应用
【例3】 7月份，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
[解] 设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？
[解] 设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)．
反思领悟 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
[跟进训练]
3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，
∴在24小时内能构筑成第二道防线．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B．
C．2 D．3
√
C [设{an}的公差为d，首项为a1，
由题意得解得]
2．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．5或6 D．11
C [由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，
所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]
1
2
3
4
√
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝
( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
1
2
3
4
√
B [由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n.
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝.
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14.]
1
2
3
4
4．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有________个座位．
1
2
3
4
270 [从第1排开始每排座位数形成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.
∴该电影院共有＝270个座位．]
270
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
[提示] ①通项法：
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，
其中n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，
则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定．
②二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．
③图象法：借助二次函数的图象的对称性来求解．
(2)应用等差数列解决实际问题的一般思路是什么？
[提示] (共40张PPT)
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
学习 任务 1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算)
2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
在等差数列{an}中，存在很多的性质，如
(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
(3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则也成等差数列．
那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？
知识点1 推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝__________，an＝___________(m，n∈N*)．
知识点2 “子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为____数列，首项为_______，公比为__；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为____数列，首项为____，公比为____．
a1qn-1
am·qn－m
等比
ak＋1
q
等比
ak
qk
知识点3 等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝__________．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的___，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
ap·aq
积
思考将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是等比数列吗？其公比是什么？
[提示] 由于＝·＝q2，n≥2且n∈N*，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [D中，3，6，9为连续3的倍数，所以a3，a6，a9成等比数列．]
√
2．在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则公比q是________．
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________．
25 [在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝
＝a8a11＝a9a10．
∴原式＝(a7a12)2＝25．]
2 [由a6＝a3q3得q3＝＝8，
∴q＝2．]
2
25
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 灵活设项求解等比数列
类型2 等比数列的性质及应用
类型3 等比数列的实际应用
类型1 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
[解] 法一：设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a．
由题意得，解得q＝2或q＝．
当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；
当q＝时，a＝，这四个数为，，，．
法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d．
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，．
法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，
设第二个数为b，则第三个数为18－b，
则这四个数为a，b，18－b，21－a，
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，．
反思领悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2．
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2．若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3．
[跟进训练]
1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解] 法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，由条件得
解得或所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1．
法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a，
设第二个数为b，则第三个数为12－b，
∴这四个数为a，b，12－b，16－a，
由题意得
解得或
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
类型2 等比数列的性质及应用
【例2】 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[思路引导] 利用等比数列的性质，整体代换求解．
[解] (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．
(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．
[母题探究]
1．在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，其他条件不变，求an．
[解] 由等比数列的性质得a3a5＝a1a7＝4，又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n-3；若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25-n．
2．把例2(2)的条件改为“公比q为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解] ∵a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)
＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，∴a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0．
反思领悟 应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝进行求解．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．
[解] 法一：依题意，a1＝4，a5＝，由等比数列的通项公式，得＝4×q4，解得q＝±．
当q＝时，插入的3个数分别为4×＝2，2×＝1，1×＝；
当q＝－时，插入的3个数分别为4×＝－2，(－2)×＝1，1×＝－．
因此，插入的3个数分别为2，1，或－2，1，－．
法二：因为等比数列共有5项，即a1，a2，a3，a4，a5，
又因为2×3＝1＋5，所以＝a1a5＝4×＝1，
即a3＝±1．又因为a3要与a1同号，因此a3＝1．
类似地，有＝＝a3a5，而且a2与a4同号．因此当a2＝＝＝2时，a4＝＝＝；
当a2＝－＝－＝－2时，
a4＝－＝－＝－．
因此，插入的3个数分别为2，1，或－2，1，－．
类型3 等比数列的实际应用
【例3】 (1)光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，……，F64．光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
√
C 由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则F 4对应单位时间内的进光量为a5，F 1.4对应单位时间内的进光量为a2，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍．
(2)洗衣服时，小兰说“入水三分净”，即换水洗一次能去污30%．问：要使污渍不高于原来的30%，至少要换水洗多少次？( )
A．1 B．3
C．4 D．5
C 洗衣服时，换水洗一次能去污30%，要使污渍不高于原来的30%，设至少要换水洗n次，则a(1－30%)n≥a×30%，∴n≥4，
∴要使污渍不高于原来的30%，至少要换水洗4次，故选C．
√
反思领悟 等比数列实际应用
等比数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等比数列的模型，然后用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[跟进训练]
3．(1)某工厂2019年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2027年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )
A．－1 B．－1
C．－1 D．－1
A 设2019年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝－1，故选A．
√
(2)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为( )
A．55 989 B．46 656
C．216 D．36
B 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式：an＝6×6n-1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂．
√
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝( )
A．4 B．
C． D．2
√
A [根据等比数列的性质，a3，a6，a9成等比数列．
∴9a3＝62．∴a3＝4．故选A．]
2．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
1
2
3
4
√
A [由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝5，故选A．]
3．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，……．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某传染病的基本传染数R0＝3.8，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1 000时需要的天数至少为(参考数据：lg 38≈1.58)( )
A．34 B．35
C．36 D．37
1
2
3
4
√
D [设第n轮感染人数为an，则数列{an}为等比数列，其中a1＝3.8，公比为R0＝3.8，所以an＝3.8n>1 000，
解得n>log3.81 000＝＝≈≈5.17，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数为5.17×7＝36.19，即需要的天数至少为37天．]
1
2
3
4
4．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
1
2
3
4
8 [设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，所以b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8．]
8
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？
[提示] 三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个数成等比数列时只要公比大于零，可设为，，aq，aq3．
(2)在等比数列中，常用到的性质有哪些？
[提示] ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，则aman＝．
(3)解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？
[提示] 要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释．(共10张PPT)
第四章 数列
探究课 斐波那契数列的常见性质
知识提炼
01
1．数列的数学模型
数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，且a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．
2．斐波那契数列的性质
性质1：斐波那契数列的前n项的平方和：＝anan＋1，即
性质2：斐波那契数列的奇数项之和：a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，即
性质3：斐波那契数列的偶数项之和：a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1，即
性质4：斐波那契数列的前n项之和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1，即
性质5：连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即an＋1an－an－1an＝(n≥2)．
典例探究
02
【典例】 同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．若a2 026＝a，那么数列{an}的前2 024项的和为________．
a－1
a－1 [由a1＝a1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023
可得：a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝a2 024＋a2 025－a2＝a2 026－1＝a－1． 故数列{an}的前2 024项的和为a－1．]
对点训练
03
斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第________项．
2 026 [由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 025＝a2 026－a2 024，可得：a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第2 026项．]
2 026(共11张PPT)
第四章 数列
微专题1 数列通项公式的求法
类型1 直接利用等差数列、等比数列的通项公式
01
【例1】 已知数列{an}的各项均为正数，a1＝6，点An(an，)在抛物线y2＝x＋1上，
求数列{an}．
[解] ∵点An(an，)在抛物线y2＝x＋1上，
∴an＋1－an＝1，
∴数列{an}是以1为公差的等差数列．
∵a1＝6，∴an＝n＋5．
类型2 由Sn求通项公式
02
【例2】 已知数列{2n-1an}的前n项和为Sn＝9－6n，求数列{an}的通项公式．
[解] 当n＝1时，20a1＝S1＝9－6＝3，∴a1＝3．
当n≥2时，2n-1an＝Sn－Sn－1＝9－6n－[9－6(n－1)]＝－6，
∴an＝－，又a1＝3不符合上式，故an＝
类型3 由递推关系求通项公式
03
【例3】 在数列{an}中，an＝1，an＋1＝2an＋1，求an．
[解] ∵an＋1＝2an＋1(n∈N*)，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2n，即an＝22－1(n∈N*)．
类型4 由an与Sn的关系式求通项公式
04
【例4】 数列{an}的前n项和Sn＝an－3，求数列的通项公式．
[解] 由Sn＝an－3可得Sn＋1＝an＋1－3，两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝3an，a1＝S1＝a1－3，得a1＝6．所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式an＝．
类型5 构造法
05
【例5】 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
[解] 取以a1＝2为底的对数，得到log2an＋1＝，
即log2an＋1＝2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝2bn，所以{bn}是以b1＝log2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n-1，所以log2an
＝2n-1，(共13张PPT)
第四章 数列
微专题2 数列求和
类型1 分组转化求和法
01
【例1】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝9，S3－a1＝36．
(1)求{an}的通项公式；
[解] 设数列{an}的公比为q，
则
解得a1＝3，q＝3．
故an＝a1qn-1＝3×3n-1＝3n．
(2)若bn＝an＋log3an，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解] 由(1)可得bn＝3n＋log33n＝3n＋n．
则Tn＝(3＋1)＋(32＋2)＋…＋(3n＋n)＝(3＋32＋…＋3n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝．
类型2 并项求和法
02
【例2】 已知数列{an}各项均为正数，且a1＝－2an＋1＝＋2an
(1)求{an}的通项公式；
[解] 由－2an＋1＝＋2an得：(an＋1－an)·(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)，而n∈N*，an>0，
因此an＋1－an＝2，即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，an＝a1＋(n－1)d＝2n，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n．
【例2】 已知数列{an}各项均为正数，且a1＝－2an＋1＝＋2an
(2)设bn＝(－1)nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20．
[解] 由(1)知，bn＝(－1)n·2n，则有b2n－1＋b2n＝(－1)2n-1×2(2n－1)＋(－1)2n×2×2n＝2，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝2×10＝20．
类型3 裂项相消法
03
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2－1．
(1)求{an}的通项公式；
[解] 数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2－1，当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2－1＝n2－4n＋3，
所以Sn－Sn－1＝2n－3，即an＝2n－3(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝(1－1)2－1＝－1符合上式，
所以an＝2n－3(n∈N*)；
(2)若数列bn＝，求数列{bn}前n项和Tn．
[解] 由(1)可得
bn＝＝＝，
Tn＝＋＋＋…＋＝(－1－1)＋＋…＋＝＝＝－．
类型4 错位相减法
04
【例4】 设Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3＝14，S6＝126．
(1)求数列{an}的通项公式；
[解] 设等比数列{an}的公比为q，因S3＝14，S6＝126，
即a4＋a5＋a6＝S6－S3＝112，
而a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)＝14q3，于是得q3＝8，解得q＝2，显然S3＝a1(1＋q＋q2)＝7a1＝14，解得a1＝2，因此an＝a1qn-1＝2n，所以数列{an}的通项公式是an＝2n．
(2)记bn＝(n＋1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
[解] 由(1)知，bn＝(n＋1)·2n，则Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，
于是得2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n+1，两式相减得：－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n+1＝4＋－(n＋1)×2n+1＝－n×2n+1，所以Tn＝n·2n+1．(共28张PPT)
第四章 数列
章末综合提升
巩固层·知识整合
01
提升层·题型探究
02
类型1 求数列的通项公式
类型2 等差、等比数列的基本运算
类型3 等差、等比数列的判定
类型4 等差、等比数列的性质
类型5 数列求和
类型1 求数列的通项公式
数列通项公式的求法
(1)定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
(3)累加或累乘法
形如an－an－1＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式．
(4)构造法
如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋c}为等比数列，再求解得通项公式．
【例1】 (1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝( )
A．2n B．2n+1 C． D．
√
A [法一：由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，而＝a10＞0，所以q＞1，an＞0．由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)．由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2．因此an＝2n．
法二：由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，而＝a10＞0，所以an＞0，q＞1．由条件得2＝5，即2＝5，解得q＝2．又由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n．]
(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
[解] 法一：由题意得an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n-1a1＋3n-2×4＋3n-3×4＋…＋3×4＋4＝3n-1＋＝3n-1+2(3n-1-1)＝3n－2．
法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．
令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2．
法三：∵an＋1＝3an＋4， ①
∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②
①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．
∵a2－a1＝3＋4－1＝6，
∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，即an＋1－an＝6×3n-1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2．
类型2 等差、等比数列的基本运算
在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．
【例2】 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．
(1)求数列{an}的通项公式；
[解] 设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n-1＝2n．
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
[解] 由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32．
设{bn}的公差为d，则有
解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28．
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n．
类型3 等差、等比数列的判定
等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数) {an}是等差数列；
＝q(q为常数，q≠0) {an}是等比数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；
＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是等比数列．
【例3】 已知数列{an}，{bn}满足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．
(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项；
[解] ∵bn－an＝n，b1＝2，∴a1＝1，
∵an＋1＋1＝2an＋n，∴an＋1＋n＋1＝2(an＋n)，
∴＝2，即＝2．
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n．
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
[解] 由bn－an＝n，得an＝2n－n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n+1－2－．
类型4 等差、等比数列的性质
解决等差、等比数列有关问题的几点注意
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．
【例4】 (1)(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
BC 由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8不是定值．故选BC．
√
√
(2)(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列结论正确的是( )
A．S2 019B．a2 019a2 021－1<0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
√
√
AB 当q＜0时，a2 019a2 020＝q＜0，不成立；
当q≥1时，a2 019＞1，a2 020＞1，＜0不成立；
故0＜q＜1，且a2 019＞1，0＜a2 020＜1，故S2 020＞S2 019，A正确；
a2 019a2 021－1＝－1＜0，故B正确；
T2 019是数列{Tn}中的最大值，CD错误．故选AB．
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
5
5 由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝＝4 a3＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝＝5log22＝5．
类型5 数列求和
一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．形如{an＋bn}，其中{an}、{bn}是不同的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．形如，其中{an}为等差数列．
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．形如{anbn}，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
【例5】 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3．
(1)求an；
[解] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn-1)，
则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，
＝＝c3＝8，
∴c＝2．
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
解得k＝2，
∴an＝2n．
当n＝1时，a1＝S1＝2．
综上所述，an＝2n(n∈N*)．
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
[解] nan＝n·2n，
则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1，
∴Tn＝2＋(n－1)·2n+1．
