莆田锦江中学2023-2024（上）期中测试卷
高二数学参考答案
1．D
【详解】由，则，半径，
由，则，半径，
所以，即两圆相交.
2．A
【详解】因为过点点，
所以直线的方程为，即．
3．B
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
4．C
【详解】由于成等比数列，所以，
解得或.
5．B
【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，
又因为，所以.
6．A
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
依题意，，即，
解得，所以尺.
7．B
【详解】由圆，得圆心，半径为，
则，圆心到直线的距离为，
故直线被圆截得的弦长为.
8．C
【详解】由可得：和异号，
即或．而，，
可得和同号，且一个大于1，一个小于1因为，
所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1．
对于A：公比，因为，所以为减函数，
所以为递减数列．故A不正确；
对于B：因为，所以，所以．故B错误；
对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，
而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项．故C正确；
对于D：
，
因为，所以，即．故D错误．
9．BD
【详解】因为直线：，令，可得，即直线经过点，故B正确；
由可得，
所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线经过第二 三 四象限，
故AC错误，D正确.
10．BC
【详解】当时，，两圆方程相减可得，
所以相交弦所在直线方程为，故A错误，
由于,所以两圆圆心所在直线为，B正确，
由于,所以,故C正确，
当两圆外切时，，即，
当两圆内切时，，即，
故两圆的位置关系是相切，则或，故D错误，
11．ABC
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
12．ABD
【详解】当时，，
当时，，
两式相减可得：，
所以，当时，满足，故，故A正确；
的前项和为，故B正确；
令，的前100项和为：
，故C错误；
令，
所以的前20项和为：
，故D正确.
13．6
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
14．108
【详解】由题意等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，
故，
15．或
【详解】由已知圆心为，半径.，
又，所以点在圆外，
当直线斜率不存在时，直线的方程为.
此时，圆心到直线的距离，
所以直线是圆的切线；
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
整理可得，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
即，解得，
所以切线方程为：即，
综上所述所求的切线方程为：或，
16．
【详解】直线l：化为，
由，得 ，
直线l必过定点．
当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l，
即点与定点的连线长就是所求最大值，
此时直线与直线垂直，
，解得，
此时，点到直线的最大距离是．
综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为．
17．(1);(2)或
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18．(1)，;(2)
【详解】（1）根据题意，可得，
所以，，
所以，
所以，，
（2）由（1）知，，
．
19．(1);(2)
【详解】（1）设圆心为，半径为,
则由题意得，故该圆的方程为.
（2）圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，解得.
20．(1)；；(2)．
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
21．(1)，;(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，所以，
时，①，
②，
①-②得，
即，，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以；
（2），即③，
④，
④-③，得
，
因为，，所以.
22．(1)
(2)当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，弦长为
(3)
【详解】（1），
因为，
所以有，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由，
所以，半径，
当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有，
即，
所以
此时直线l的方程为，
点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为；
（3）如图所示：
由（2）可知直线l的方程为，
因为直线是过点且与直线l平行的直线，
所以设直线的方程为，把点的坐标代入，
得，
即直线的方程为，
过与直线垂直的方程设为，
把代入，得，
所以，
由，
到直线的距离为，
所以圆心在直线上，且与圆外切的动圆中最小的圆的半径为：，
因此圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为：
.
答案第1页，共2页莆田锦江中学2023-2024（上）期中测试卷
高二数学
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
2．已知直线过点点，则直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．6
4．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
5．已知两条平行直线：与：间的距离为4，则C的值为（ ）
A．14 B．－2 C．－10 D．14或－10
6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺
7．直线：被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递增数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．关于直线：，下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为 B．经过点
C．在轴上的截距为 D．直线经过第二 三 四象限
10．已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，两圆相交弦所在直线为
B．两圆圆心所在直线为
C．过作圆的切线，切点为，，则
D．已知两圆的位置关系是相切，则
11．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．
12．已知数列满足，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前100项和为 D．的前20项和为284
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若等差数列中，，则 ．
14．等比数列中，，，则 ．
15．已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 ．
16．已知直线l方程为，那m为 时，点到直线l的距离最大，最大值为
四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
18．（12分）
已知数列，满足，，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．
(1)求，的通项公式；
(2)求的前n项和．
19．（12分）
已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.
20．（12分）
记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
21．（12分）
已知数列和，其中的前项和为，且，.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记，求证：.
22.（12分）
已知直线l：和圆C：．
(1)直线l恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长；
(3)在（2）的前提下，直线是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．
答案第1页，共2页
