富源学校2023-2024学年高二上学期11月期中考试
答案
数 学 2023.11
一、选择题答案
A C A C A B B B AD ACD BCD ABD
三、填空题答案
2/3/4
16.
四、解答题
17．(1)
(2)或
【详解】（1）由已知得，，得
，解得
（2）设，由，可得
，得到，求得，
，则或
18．5.39m
【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
易知点A，B，P的坐标分别为，，．
设圆拱所在的圆的方程是．
因为点A，B，P在所求的圆上，
所以，解得．
故圆拱所在的圆的方程是．
将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）；
即支柱的长约为5.39m．
19．(1)
(2)
【详解】（1）由已知三棱柱为直三棱柱，且，
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
又是的中点，则，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
由已知，，且，平面，
所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，
因此，平面与平面的夹角的正弦值为.
20．(1)或 (2)
【详解】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
21．(1)存在点，且，理由见解析； (2).
【详解】（1）存在点，且时平面，理由如下：
连接相交于点，连接，则平面平面，
若平面，平面，平面，所以，
因为，，所以， ，
所以时平面；
（2）因为，，，
由余弦定理可得，
由可得， ，又平面，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．（1）；（2）直线恒过定点.
【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.
【详解】（1）椭圆的面积等于，，
，椭圆的焦距为，，
，
椭圆方程为
（2）设直线，，则，，三点共线，得，
直线与椭圆交于两点,,，，
由，得，，
，代入中，
，，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线,所以直线恒过定点.2023 年秋季学期富源学校高二年级期中考试
数 学 2023.11
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．圆 x2 y2 2x 4y 3 0的圆心为（ ）．
A． (1, 2) B． ( 1,2) C． (2, 4) D． ( 2,4)
2．经过两点 x ,y 、 x ,y1 1 2 2 的直线方程都可以表示为（ ）
x x1 y y1 x xA 2
y y
2． x2 x1 y y
B．
2 1 x1 x2 y1 y2
C y y
y y
x x x x y y D y y 2 1． 1 2 1 1 2 1 ． 1 x xx x 1 2 1
3．过点 (3,0)和点 (4, 3)的斜率是（ ）
A． 3 B． 3 C 3 D 3． ．
3 3
4．直线 l1 :mx y 1 0, l2 : 3m 2 x my 2 0，若 l1 l2，则实数m的值为（ ）
1
A．0 B．1 C．0或 1 D． 或 1
3
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实
为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”P ABCD中， PA 平面 ABCD，
AD 2 AB PA ，则直线 PC与面 PBD所成角的正弦值为（ ）
A 6 B 75． ． C 3 D 6． ．
9 9 3 3
高二数学 第 1页（共 6页）
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6．古希腊伟大的数学家阿基米德早在 2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长
半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米 200元，小张要买的镜子的
5
外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为 的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（ ）
3
A．320元 B．339元 C．341元 D．344元
7．若直线 kx y k 2 0与直线 x ky 2k 3 0交于点 P，则 P到坐标原点距离的最大值为（ ）
A． 2 2 B．2 2 1 C． 2 3 D． 2 3 1
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑 A BCD中，AB 平
面 BCD， BDC 90 ，BD 2AB 2CD 2，E是 BC的中点，H是△ABD内的动点（含边界），且 EH / /
平面 ACD，则CA EH的取值范围是（ ）
A． 0,3 1B． ,3
1 11 11
C． 2
, D． 3,
2 2 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．直线 l的方程为： x my 1，则（ ）
A．直线 l恒过定点 1,0
B．直线 l斜率必定存在
C．m 3 时直线 l的倾斜角为60
1
D．m 2时直线 l与两坐标轴围成的三角形面积为
4
高二数学 第 2页（共 6页）
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10．给出下列命题正确的是（ ）
A
1
．直线 l的方向向量为a (1, 1,2)，直线 m的方向向量为b 2,1, ，则 l与 m垂直
2
B．直线 a，b的方向向量 a，b ，若 a (1, 2,1)，b ( 1,2, 2)，则直线 a，b相交
C．无论 m取何实数，直线 l :mx y 1 2m 0恒过一定点 ( 2,1)
D．平面 经过三点 A(1,0, 1)
，B(0,1,0)，C( 1,2,0)，向量 n (1,u, t)是平面 的法向量，则u 1，t 0
11．已知直线 l : kx y k 1 0和圆C：x2 y2 4x 0，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 k，使得直线 l与圆C相切
B．若直线 l与圆C交于 A，B两点，则 AB 的最小值为 2 2
C 1．对任意 k，圆C上恒有 4个点到直线的距离为 2
D．当 k 2时，对任意 R，曲线 E : x2 y2 (2 4)x y 0恒过直线 l与圆C的交点
12．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系
xOy中， F1 1,0 ,F2 1,0 ，动点 P满足 PF1 PF2 4，其轨迹为曲线C，则（ ）
A．曲线C的方程为 y2 2 x2 4 x2 1 B．曲线C关于原点对称
C．△F1PF2 面积的最大值为 2 D． OP 的取值范围为 3, 5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 a 2, 1,0 ，b k,0,1 ，若 a,b 120 ，则 k .
14 C x 4 2．已知圆 1： y 2 2 9与圆C2： x2 y2 2x 4 y m 0相离，则整数 m的一个取值可以
是 ．
15．在空间直角坐标系Oxyz中， AB 2,1,0 ,AC 1,1, 2 ，则点 B到直线 AC的距离为 .
16．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即
是椭圆．现有一高度为 12厘米，底面半径为 3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯
容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的
椭圆的离心率的取值范围是 ．
高二数学 第 3页（共 6页）
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四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 a 1,2, 1 ，b 2,4,2 ；
(1)若 (ka b ) b，求实数 k的值；
(2)若 a∥c，且 c 2 6，求 c的坐标．
18．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度 AB是 36m，拱高 OP是 6m，在建造时，每隔 3m需要一
个支柱支撑，求支柱 A2P2的长（精确到 0.01m）．
19．如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中， AB AC， AB AC 2， A1A 4，D是BC的中点.
(1)求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面 ADC1与平面 ABA1的夹角的正弦值.
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20．已知圆 C： x 1 2 y 1 2 4．
(1)过点 P 3,2 向圆 C作切线 l，求切线 l的方程；
(2)若 Q为直线 m：3x 4y 8 0上的动点，过 Q向圆 C作切线，切点为 M，求 QM 的最小值．
21．四棱锥 P ABCD底面为平行四边形，且 ABC 60 , PA AB 2, AD 3， PA 平面
1 ABCD,BM BC .
3
(1)在棱 PD上是否存在点 N，使得PB//平面 AMN .若存在，确定 N点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值.
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22．阿基米德(公元前 287年---公元前 212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学
家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系
x2 y2
中，椭圆C : 2 2 1(a b 0)的面积等于2 ，且椭圆C的焦距为 2 3 .a b
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点 P(4,0)是 x轴上的定点，直线 l与椭圆C交于不同的两点 A、B，已知 A关于 y轴的对称点为M ，B
点关于原点的对称点为 N，已知 P、M、N 三点共线，试探究直线 l是否过定点.若过定点，求出定点坐标；
若不过定点，请说明理由。
高二数学 第 6页（共 6页）
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