新人教A版选择性必修第二册2023年秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用 章末综合测评（含解析）

章末综合测评(二)　一元函数的导数及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是(　　)
A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
2．若f ′(x)＝，则函数f (x)可以是(　　)
A． B．
C．x-3 D．ln x
3．下列函数中，既是奇函数，又存在极值的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝x＋
4．若函数f (x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A．－5 B．7
C．10 D．－19
5．已知函数f (x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f (x)在R上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e
C． D．－
7．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为(　　)
A． B．10
C．20 D．
8．已知函数g(x)的图象关于y轴对称，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，g(2)＝0，且g(x)＝f (x＋1)，则(x＋1)f (x)>0的解集为(　　)
A．(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列结论中正确的有(　　)
A．若y＝sin ，则y′＝0
B．若f (x)＝3x2－f ′(1)x，则f ′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
10．设点P是曲线y＝ex－x＋上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含区间(　　)
A． B．
C． D．∪
11．如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，则(　　)
A．在x＝－2时，函数y＝f (x)取得极值
B．在x＝1时，函数y＝f (x)取得极值
C．y＝f (x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f (x)在区间(－2，2)上单调递增
12．已知函数f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x ln x，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)在区间上单调递减
B．f (x)在区间上单调递增
C．当－D．f (x)有两个极值点
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)
13．若曲线f (x)＝x ln x＋x在点(1，1)处的切线与直线2x＋ay－4＝0平行，则a＝________．
14．函数f (x)＝的极小值点为________．　
15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)＝________．
①f (x1x2)＝f (x1)f (x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0；③f ′(x)是奇函数．
16．若函数f (x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，则实数a的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f (x)＝ln x－ex＋m在x＝1处有极值，求m的值及f (x)的单调区间．
18．(本小题满分12分)设函数f (x)＝a ln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f (x)的极值．
19．(本小题满分12分) (2021·全国甲卷)设函数f (x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若y＝f (x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝12－x2．
(1)求曲线y＝f (x)的斜率等于－2的切线方程；
(2)设曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
21．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
22．(本小题满分12分)函数f (x)＝ex－(k＋1)ln x＋2sin α．
(1)已知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)当k＝0时，讨论函数f (x)零点的个数．
章末综合测评(二)
1．A　[∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2．
故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－＋2＝．]
2．A　[′＝＝，′＝－，′＝－x-4，(ln x)′＝．
故满足f ′(x)＝的f (x)可以是f (x)＝．故选A．]
3．D　[A，f (－x)＝(－x)2＝x2＝f (x)，是偶函数，该选项不符合题意．
B，y＝x3单调递增，没有极值，该选项不符合题意．
C，y＝ln x单调递增，没有极值，该选项不符合题意．
D，函数y＝x＋满足f (－x)＝－f (x)，函数是奇函数，
f ′(x)＝1－＝，
∴f (x)在x＝－1时取得极大值，在x＝1时取得极小值．
故选D．]
4．A　[∵f ′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
∴函数f (x)在[－2，－1]上单调递减，
∴最大值为f (－2)＝2＋a＝2，
∴a＝0，函数f (x)在区间[－2，－1]上的最小值为f (－1)＝a－5＝－5．]
5．A　[f ′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f ′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f (x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]
6．C　[设切点坐标为(a，ln a)，∵y＝ln x(x>0)，
∴y′＝，切线的斜率是，切线的方程为y－ln a＝(x－a)，将(0，0)代入可得ln a＝1，∴a＝e，
∴切线的斜率是＝．故选C．]
7．A　[设圆锥的高为x(0＜x＜20)，
则圆锥底面半径r＝，
∴圆锥体积V＝πr2·x＝π(400－x2)x＝－x3＋x，
∴V′＝－πx2＋，令V′＝0，解得x＝，
当x∈时，V′＞0；当x∈时，V′＜0，
∴当x＝时，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为．]
8．A　[因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数，则g(－2)＝g(2)＝0．
因为当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)单调递增，故当x<－2或x>2时，g(x)>0，当－2因为g(x)＝f (x＋1)，所以f (x)＝g(x－1)，
故不等式(x＋1)f (x)>0等价于(x＋1)g(x－1)>0，
所以或或
解得x>3，
所以(x＋1)f (x)>0的解集为(3，＋∞)．故选A．]
9．ABC　[选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；
选项B中，若f (x)＝3x2－f ′(1)·x，则f ′(x)＝6x－f ′(1)，
令x＝1，则f ′(1)＝6－f ′(1)，解得f ′(1)＝3，故B正确；
选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；
选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．故选ABC．]
10．CD　[y＝ex－x＋的导数为y′＝ex－，由ex>0，可得切线的斜率k>－，由tan α>－，可得0≤α<或<α<π，故选CD．]
11．AD　[由题图可知，x＝－2是导函数f ′(x)的一个变号零点，
故当x＝－2时，函数f (x)取得极值，选项A正确；
x＝1不是导函数f ′(x)的一个变号零点，
故当x＝1时，函数f (x)不能取得极值，选项B错误；
y＝f (x)的图象在x＝0处的切线斜率为f ′(x)＞0，选项C错误；
当x∈(－2，2)时，f ′(x)≥0，此时函数y＝f (x)单调递增，选项D正确．故选AD．]
12．AD　[因为当x>0时，f (x)＝x ln x，所以f ′(x)＝ln x＋1，当x∈时，f ′(x)<0，则f (x)在上单调递减，当x∈时，f ′(x)>0，则f (x)在上单调递增，所以当x＝时，f (x)取得极小值，又当x→0＋时，f (x)→0，函数f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以当x＝0时，f (x)＝0，当x＝－时，f (x)取得极大值，所以f (x)在区间上单调递减，故A正确，D正确，C错误；又0<<，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，故B错误．]
13．－1　[∵f (x)＝x ln x＋x(x＞0)，∴f ′(x)＝ln x＋2，
∴f (x)在x＝1处的切线斜率k＝f ′(1)＝2．
由条件知－＝2，解得a＝－1．故答案为－1．]
14．x＝1　[由f (x)＝，可得f ′(x)＝，
x＝1时，f ′(x)＝0，
当x∈(－∞，1)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以函数f (x)＝的极小值点为x＝1．
故答案为x＝1．]
15．x4(答案不唯一)　[取f (x)＝x4，则f (x1x2)＝(x1x2)4＝＝f (x1)f (x2)，满足①；
f ′(x)＝4x3，当x>0时有f ′(x)>0，满足②；
f ′(x)＝4x3的定义域为R，
又f ′(－x)＝－4x3＝－f ′(x)，故f ′(x)是奇函数，满足③．]
16．　[f (x)＝(－x2＋ax)ex，则f ′(x)＝ex(－x2＋ax－2x＋a)，函数f (x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，只需－x2＋ax＋a－2x<0在区间(－1，1)上有解，记g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，对称轴x＝，开口向下，g(－1)＝－1－(a－2)＋a＝1>0，只需g(1)<0，所以－1＋a－2＋a<0，解得a<．]
17．解：　f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－ex＋m，由题意f ′(1)＝0，解得m＝－1，所以f ′(x)＝－ex-1，利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f ′(x)是减函数，且f ′(1)＝0，所以当00，f (x)是增函数，当x>1时，f ′(x)<0，f (x)是减函数．
所以f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
18．解：　(1)f ′(x)＝－＋．
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即
f ′(1)＝0，所以a－＋＝0，解得a＝－1．
(2)由(1)知f (x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f ′(x)＝－－＋＝＝．
令f ′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，故f (x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，
故f (x)在(1，＋∞)上单调递增．故f (x)在x＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．
19．解：　(1)由题意，f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝2a2x＋a－＝＝，
则当x＞时，f ′(x)>0，f (x)单调递增；
当0故函数f (x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)知函数f (x)的最小值为f ，
要使y＝f (x)的图象与x轴没有公共点，只需f (x)的最小值恒大于0，即f >0恒成立，
故a2·＋a·－3ln ＋1＞0，得a＞，
所以a的取值范围为．
20．解：　(1)f ′(x)＝－2x．设切点坐标为(x0，y0)，
∵f ′(x0)＝－2x0＝－2，∴x0＝1，y0＝11，
∴切点坐标为(1，11)，
∴切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0．
(2)由题意知t≠0．∵f ′(x)＝－2x，
∴曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线的斜率为f ′(t)＝－2t．
又f (t)＝12－t2，∴曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，
即y＝－2tx＋t2＋12．
令x＝0，则y＝t2＋12；令y＝0，则x＝，
∴切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，t2＋12)，，
∴S(t)＝(t2＋12)·＝，t≠0．
∵S(t)为偶函数，∴仅需考虑t＞0即可，
则S(t)＝，t＞0，
S′(t)＝＝(t＋2)(t－2)(t2＋12)．
令S′(t)＞0，得t＞2，令S′(t)＜0，得0＜t＜2，
∴S(t)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
S(t)min＝S(2)＝32．
由S(t)为偶函数，知当t＝±2时，S(t)取最小值，最小值为32．
21．解：　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，r∈(0，5)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
22．解：　(1)f ′(x)＝ex－，x>0，
因为函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以ex－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即k＋1≤xex在(0，＋∞)上恒成立，
因为函数y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，且y∈(0，＋∞)，
所以k＋1≤0，所以k≤－1，
即实数k的取值范围是(－∞，－1]．
(2)当k＝0时，f ′(x)＝ex－，x>0，f ′(x)为增函数且f ′(1)>0，f ′<0，所以存在m∈，使f ′(m)＝0，即em＝，且x∈(0，m)，f ′(x)<0，f (x)单调递减，x∈(m，＋∞)，f ′(x)>0，f (x)单调递增，故当x＝m时，f (x)min＝f (m)＝em－ln m＋2sin α＝＋m＋2sin α≥2＋2sin α≥0，当且仅当m＝，即m＝1时取等号，由m∈，
所以>0，
所以f (x)>0恒成立，所以函数f (x)零点个数为0．