微专题强化练(一) 空间向量应用的综合问题
一、选择题
1．如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE与平面BDE的夹角为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为( )
A．45°B．90° C．135°D．150°
2．(2022·山东泰安期中)如图，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E为CD的中点，F为AD上一点，当BF⊥PE时，＝( )
A．3B． C．D．2
3．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，当异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为( )
A．0 B． C． D．
二、填空题
5．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．
6．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
三、解答题
7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2，E为CD的中点，点F在线段PB上．
(1)求证：AD⊥PC；
(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．
微专题强化练(一)
1．B 2．C 3．B 4．C 5．
7．解：(1)证明：如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，
因为AB＝2，
BC＝2，∠ABC＝45°，
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos 45°＝4，得AC＝2，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC．
又AD∥BC，所以AD⊥AC．
因为AD＝AP＝2，DP＝2，
所以PA⊥AD，
又AP∩AC＝A，AP，AC 平面PAC，
所以AD⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，所以AD⊥PC．
(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 侧面PAD，
所以PA⊥底面ABCD，
所以直线AC，AD，AP两两垂直，
以A为原点，直线DA，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，
B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)，
所以＝(0，2，－2)，＝(－2，0，－2)，＝(2，2，－2)．
设＝λ(λ∈[0，1])，
则＝(2λ，2λ，－2λ)，F(2λ，2λ，－2λ＋2)，
所以＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2)．
易得平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)．
设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．
因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，
所以|cos 〈，m〉|＝|cos 〈，n〉|，
即＝，
所以|－2λ＋2|＝，
即|λ－1|＝|λ|(λ∈[0，1])，
解得λ＝，
所以＝，
即当＝时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．微专题强化练(二) 与圆有关的最值问题
一、选择题
1．(2022·安徽省池州一中期中)若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为( )
A． B．
C． D．
2．(2022·重庆市巴蜀中学月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )
A．0 B．2 C．2 D．4
3．(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为( )
A．±2 B．± C．± D．±3
4．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
5．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5，4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
7．在平面直角坐标系xOy中，圆Ω经过点(0，0)，(2，4)，(3，3)，则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为________．
8．已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为________；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，则的最大值为________．
三、解答题
9．已知P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．
微专题强化练(二)
1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．＋2 7．2 8．－1
9．解：如图所示，
设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)．
线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，则点R的坐标为(－y，x)，
则|QR|＝＝．
∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2上的点，
∴的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离．
连接PM，当|PM|最小时，|QR|也最小；
当|PM|最大时，|QR|也最大．
连接MC，则|PM|min＝||MC|－r|＝|－r|＝|2－r|，
|PM|max＝|MC|＋r＝2＋r．
∴|QR|min＝|2－r|，|QR|max＝(2＋r)．微专题强化练(三) 轨迹问题
一、选择题
1．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝15，则动点M的轨迹是( )
A．直线B．圆 C．椭圆D．线段
2．曲线方程＝10的化简结果为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＝1(x≠0)
B．＝1(x≠0)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(x≠0)
4．已知在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan ∠CAB·tan ∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1(x≠±2)
C．＝1 D．＝1(x≠±2)
5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，O为坐标原点，且|AB|＝5，＝，则点M的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
7．如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
8．已知P是椭圆＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝，则动点Q的轨迹方程是________．
三、解答题
9．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
微专题强化练(三)
1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．x2＋＝1 7．＋＝1
8．＋＝1
9．解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，
则c＝2，a＝4，故b＝2．所以曲线C的标准方程为＋＝1．
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，∴＝3，
∴
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．微专题强化练(四) 破解圆锥曲线的离心率问题
一、选择题
1．(2022·浙江省杭州市检测)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A．4＋2 B．－1
C． D．＋1
2．(2022·郑州市模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>2)的左、右焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P满足△PF1F2的面积为4，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3．(多选)已知点P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，点M，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆C中以M为中点的弦所在直线的方程为6x＋24y－11＝0
C．圆D在椭圆C的内部
D．|PQ|的最小值为
4．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为( )
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(1，]
二、填空题
5．(2022·河北省石家庄市期末)椭圆＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
6．已知椭圆＝1(a>b>0)的内接△ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点为F，线段AB的中点为K，且＝2，则椭圆离心率的取值范围是______．
7．设双曲线C：x2－＝1(b>0)的右焦点为F，点Q(0，b)，已知点P在双曲线C的左支上，若△PQF的周长的最小值是8，则双曲线C的离心率是________，此时，点P的坐标为________．
三、解答题
8．如图，已知在梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．
微专题强化练(四)
1．D 2．D
3．ABC [对于A，由椭圆C：＋y2＝1得a＝，b＝1，c＝＝，则离心率为＝＝，故A正确；对于B，设以M为中点的弦交椭圆于点(x1，y1)，(x2，y2)，则＝，＝，＝1 ①，
＝1 ②，①－②得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，则可得＝－，即所求直线的斜率为－，则所求直线方程为y－＝－，整理得6x＋24y－11＝0，故B正确；对于C，设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝＋>，所以圆D在椭圆C的内部，故C正确；对于D，由C选项可得|PQ|的最小值为－＝，故D错误．故选ABC．]
4．D
5．－1 6．
8．解：由题意可知CD⊥y轴．
∵双曲线经过C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．
依题意，记A(－c，0)，C，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式得x0＝，y0＝．
设双曲线的方程为－＝1，则离心率e＝．
∵点C，E在双曲线上，
∴将点C的坐标代入双曲线方程得－＝1，①
将点E的坐标代入双曲线方程得－＝1.②
再将e＝代入①得－＝1，
∴＝－1，③
将e＝代入②，得－＝1．④
将③式代入④式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，
∴λ＝1－．
由题设≤λ≤，
得≤1－≤，
解得≤e≤．
∴双曲线离心率的取值范围是[，]．微专题强化练(五) 圆锥曲线中的综合问题
一、选择题
1．抛物线y2＝4x上不同两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点( )
A．(0，2) B．(0，4)
C．(－4，0) D．(－2，0)
2．已知椭圆＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为( )
A．[1，2] B．[]
C．[，4] D．[1，4]
3．已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则b2＋的最小值为( )
A． B．6＋
C．6＋2 D．2
4．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B． C． D．2
二、填空题
5．已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是________．
6．如图，圆O与离心率为的椭圆T：＝1(a>b>0)相切于点M(0，1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是________；此时P点坐标为________．
7．已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则为定值________．
三、解答题
8．(2022·华南师大附中高二上期中)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点A(2，1)，焦距为2，B(0，b)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M，N两点，使△BMN是以∠MBN为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
微专题强化练(五)
1．B 2．D 3．D 4．A 5． 7．7
8．解：(1)由题得c＝．
又点A(2，1)在双曲线上，
所以得
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1．
(2)由(1)知B(0，1)，直线l的斜率一定存在．
当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0，符合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为y＝k，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－4k2)x2－12k2x－(9k2＋4)＝0．
由题意，得即k2<且k2≠，
又x1＋x2＝，x1x2＝－，
则y1＋y2＝k(x1＋x2＋3)＝．
要使△BMN是以∠MBN为顶角的等腰三角形，则点B在MN的垂直平分线上．
又MN的中点坐标为，
所以－＝＝，
解得k＝或k＝－2(舍去)，
此时直线l的方程为2x－16y＋3＝0．
所以存在满足题意的直线l，且直线l的方程为y＝0或2x－16y＋3＝0．
