新人教A版选择性必修第二册2023年秋高中数学模块综合测评（含解析）

模块综合测评(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，则该数列的公差为(　　)
A． B．1
C． D．2
2．已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a5＝4，则a3的值为(　　)
A．±2 B．2
C．±2 D．2
3．已知f (x)＝ex－e－x，f ′(x)是f (x)的导函数，则f ′(2)＝(　　)
A．0 B．e2＋e-2
C．e2－e-2 D．1
4．对任意的0A．1 B．e
C．e2 D．
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且－＝3则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知定义在R上的函数f (x)的图象如图所示，则xf ′(x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，0)∪(1，2) B．(1，2)
C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(0，1)
7．函数y＝x3－x的导函数的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C． D．(－1，＋∞)
8．已知可导函数f (x)的导函数为f ′(x)，若对任意的x∈R，都有f (x)>f ′(x)＋1，且函数y＝f (x)－2 021为奇函数，则不等式f (x)－2 020ex<1的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C． D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且＋＝，则a5的值可能是(　　)
A．2 B．4
C． D．
10．下列函数存在极值点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝2|x|
C．y＝－2x3－x D．y＝x ln x
11．已知{an}是等比数列，下列结论错误是(　　)
A．若a1＜a2，则a4＜a5
B．若a1＜a2，则a3＜a4
C．若S3＞S2，则a1＜a2
D．若S3＞S2，则a1＞a2
12．过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a可能的值是(　　)
A．0 B．
C．－ln e5 D．e
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)
13．已知4，a，b，25成等差数列，4，c，d，25成等比数列，则a＋b＝________，cd＝________．
14．已知函数f (x)＝x－－2ln x在(0，＋∞)上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．
15．在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为________．　
16．设函数f (x)＝x3＋(a＋3)x2＋ax，若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为________；函数f (x)的极大值点为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a58．
18．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝x＋ax2＋3ln x，曲线y＝f (x)过点P(1，0)．
(1)求函数f (x)解析式；
(2)求函数f (x)的单调区间与极值．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝ex(2x2－3x)．
(1)求不等式f (x)>0的解集；
(2)求函数f (x)在区间[0，2]上的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)设n∈N*，正项数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，________．请在①a1，a2，a5成等比数列；②4a3－1，2a4＋3，a8成等差数列；＝S1S5这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，记数列{bn}前n项和为Tn，求T6．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝＋(a＋2)x＋b，g(x)＝－x3＋x2＋a ln x．
(1)当a＝1时，若f (x)在x∈[－3，2)上的最大值为10，求实数b的值；
(2)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)＋b≥f (x)恒成立，求实数a的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝a ln x＋x2－(1＋a)x，a∈R．
(1)当a＝1时，求函数y＝f (x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性；
(3)若对任意的x∈(e，＋∞)都有f (x)＞0成立，求a的取值范围．
模块综合测评(一)
1．A　[因为等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，
所以解得d＝，a1＝，
所以该数列的公差为．]
2．B　[因为数列{an}为等比数列，
a1＝2，a5＝4，则＝a1·a5＝8，
所以a3＝±2．
又a1，a3，a5的符号相同，故a3＝2．]
3．B　[函数f (x)的导函数为f ′(x)＝ex＋e－x，
则f ′(2)＝e2＋e-2．]
4．B　[∵0＜a＜b＜t，b ln a＜a ln b，∴＜(a＜b)，
令y＝，则函数在(0，t)单调递增，故y′＝＞0，
解得0＜x＜e，所以(0，t)是(0，e)的子集，
可得05．B　[等差数列的前n项和Sn＝na1＋d，
∴＝a1＋d，∴－＝(a1＋2d)－＝d＝3，解得：d＝2．故选B．]
6．C　[当x<0时，f ′(x)<0，
所以xf ′(x)>0，不满足题意；
当00，所以xf ′(x)>0，不满足题意；当x>2时，f ′(x)<0，所以xf ′(x)<0，满足题意．]
7．A　[由y＝x3－x，得y′＝3x2－1．令f (x)＝y′＝3x2－1，
则f ′(x)＝6x，由f ′(x)＝6x>0，得x>0．
所以函数f (x)＝y′＝3x2－1的单调递增区间为(0，＋∞)．]
8．A　[构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)＝在R上单调递减．由于函数y＝f (x)－2 021为R上的奇函数，则f (0)－2 021＝0，则f (0)＝2 021，所以g(0)＝＝2 020．由f (x)－2 020ex<1，得f (x)－1<2 020ex，即<2 020，所以g(x)0，故选A．]
9．ABD　[∵a3>0，a7>0，∴＝＋≥2＝，当且仅当3a3＝2a7时，等号成立．又a5>0，∴上式可化为a5≥2，当且仅当3a3＝2a7时，等号成立．故选ABD．]
10．BD　[对于A，求导得y′＝1＋>0，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，所以函数无极值点；对于B，x＝0是函数的极小值点；对于C，求导得y′＝－6x2－1<0恒成立，函数在R上单调递减，所以函数无极值点；对于D，求导得y′＝1＋ln x，当x∈时，y′<0，当x∈时，y′>0，当x＝时，y′＝0，所以x＝是函数的极小值点．]
11．ACD　[∵等比数列{an}中，q2＞0，
∴当a1＜a2时，可得a1q2＜a2q2，即a3＜a4，故B正确；
但a4＝a1q3和a5＝a2q3不能判断大小(q3正负不确定)，故A错误；
当S3＞S2时，则a1＋a2＋a3＞a1＋a2，可得a3＞0，即a1q2＞0，可得a1＞0，
由于q不确定，不能确定a1，a2的大小，故CD错误．]
12．BCD　[设切点坐标为，因为y′＝(x＋1)ex，
所以＝，所以切线方程为＝(x－x0)，将点A(a，0)代入可得＝(a－x0)，化简得－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程－ax0－a＝0有两个不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得：a>0或a<－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．－ln e5＝－5ln e＝－5，所以由选项判断可知BCD正确．故选BCD．]
13．29　100　[a＋b＝4＋25＝29，cd＝4×25＝100．]
14．[1，＋∞)　[根据题意得f ′(x)＝1＋－≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以k≥－x2＋2x，当x>0时，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1．]
15．2　[正项等比数列{an}的公比设为q，q>0，
a6，3a5，a7依次成等差数列，可得6a5＝a6＋a7，
即有6a1q4＝a1q5＋a1q6，化简为q2＋q－6＝0，
解得q＝2(q＝－3舍去)，
则{an}的公比为2，故答案为：2．]
16．3x＋y＝0　－1　[因为函数f (x)＝x3＋(a＋3)x2＋ax是奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)，从而得到a＋3＝0，即a＝－3，
所以f (x)＝x3－3x，
因为f ′(x)＝3x2－3，所以f ′(0)＝－3，
所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x，
f ′(x)＝3x2－3＜0，则－1故答案为：3x＋y＝0；－1．]
17．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a1，a11，a13成等比数列，得＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，化简为d(2a1＋25d)＝0，
又a1＝25，所以d＝－2，
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27；
(2)由(1)可知a1＋a4＋a7＋…＋a58
＝25＋19＋13＋…＋(－89)＝(25－89)＝－640．
18．解：　(1)由f (x)＝x＋ax2＋3ln x过点P(1，0)得，1＋a＝0，
即a＝－1，
所以f (x)＝x－x2＋3ln x．
(2)由(1)知，f ′(x)＝1－2x＋＝＝(x>0)，
令f ′(x)>0，则0，所以f (x)在上单调递增，在上单调递减，f (x)极大值为f ＝－＋3ln ，无极小值．
19．解：　(1)因为ex＞0，由f (x)＝ex(2x2－3x)＞0，得2x2－3x＞0．
所以x＜0或x＞．所以不等式f (x)＞0的解集为．
(2)由f (x)＝ex(2x2－3x)得：
f ′(x)＝ex(2x2＋x－3)＝ex(2x＋3)(x－1)，
令f ′(x)＝0，得x＝1，或x＝－(舍)．
f (x)与f ′(x)在区间[0，2]上的情况如表所示：
x 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 0 单调递减 －e 单调递增 2e2
所以当x＝1时，f (x)取得最小值f (1)＝－e；
当x＝2时，f (x)取得最大值f (2)＝2e2．
20．解：　选①，(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋2，得an＋1－an＝2(n∈N*)，
∴数列{an}是以a1为首项，2为公差的等差数列．
由a1，a2，a5成等比数列，可得＝a1a5，即(a1＋2)2＝＋8)，解得a1＝1．∴an＝2n－1(n∈N*)．
选②，(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋2，得an＋1－an＝2(n∈N*)，
∴数列{an}是以a1为首项，2为公差的等差数列．
由4a3－1，2a4＋3，a8成等差数列，得(4a3－1)＋a8＝2(2a4＋3)，解得a1＝1，
∴an＝2n－1(n∈N*)．
选③，(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋2，得an＋1－an＝2(n∈N*)，
∴数列{an}是以a1为首项，2为公差的等差数列，
由＝S1S5，得(a1＋4)2＝a1(5a1＋20)，
＋3a1－4＝0解得a1＝1，
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得an＝2n－1，
则bn＝＝，
数列{bn}前n项和为
Tn＝＝，故T6＝＝．
21．解：　(1)当a＝1时，由f (x)＝－x3＋3x＋b，得
f ′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1．
当x变化时，f ′(x)，f (x)在x∈[－3，2)的变化情况如表：
x －3 (－3，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 18＋b 单调递减 极小值－2＋b 单调递增 极大值2＋b 单调递减
所以f (x)在x∈[－3，2)上的最大值为f (－3)＝18＋b＝10，得b＝－8．
(2)由g(x)＋b≥f (x)，得(x－ln x)a≤x2－2x，
因为x∈[1，e]，ln x≤1≤x且等号不能同时取得，
所以ln x＜x，即x－ln x＞0，
所以a≤恒成立，即a≤．
令h(x)＝，x∈[1，e]，
则h′(x)＝，
当x∈[1，e]时，0≤ln x≤1，x＋2－2ln x＞0且x－1≥0，从而h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，e]上为增函数，所以h(x)min＝h(1)＝－1，
所以a≤－1．
22．解：　(1)f ′(x)＝，f ′(1)＝0，f (1)＝－，
所以所求切线方程为y＝－．
(2)f ′(x)＝＝，x＞0．
当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)单调递增；
当a≤0时，f (x)在(0，1)单调递减，(1，＋∞)单调递增；
当0＜a＜1时，f (x)在(0，a)单调递增，(a，1)单调递减，(1，＋∞)单调递增；
当a＞1时，f (x)在(0，1)单调递增，(1，a)单调递减，(a，＋∞)单调递增．
(3)由f (x)＞0，得(x－ln x)a＜x2－x．
令y＝x－ln x，y′＝，于是y＝x－ln x在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为y(1)＝1，所以 x∈(e，＋∞)，x－ln x＞0．
于是只要考虑 x∈(e，＋∞)，a＜．
设g(x)＝，
g′(x)＝，
令h(x)＝x＋2－2ln x，则h′(x)＝，于是h(x)＝x＋2－2ln x在(e，＋∞)上单调递增，h(x)＞h(e)＝e＞0，
所以g(x)在(e，＋∞)上单调递增，于是a≤g(e)＝．