2024人教A版数学必修第一册达标自测4.3.1对数的概念（含解析）

第四章　4.3　4.3.1　对数的概念
一、选择题
1．如果N＝a2(a>0，且a≠1)，则有(　　)
A．log2N＝a　 B．log2a＝N
C．loga2＝N　 D．logaN＝2
2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是(　　)
A．32＝9与log39＝2
B．27－＝与log27＝－
C．(－2)5＝－32与log(－2)(－32)＝5
D．100＝1与lg 1＝0
3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
4．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A．1　 B．－1
C．5　 D．
5．已知f(ex)＝x，则f(3)＝(　　)
A．log3e　　 B．ln 3　　
C．e3　　 D．3e
6．设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为(　　)
A．－3　　 B．　　
C．3　　 D．－
7．若loga3＝2log230，则a的值为(　　)
A．2　　 B．3　　
C．8　　 D．9
8．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．8－＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
9．(多选题)下列等式中正确的是(　　)
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
10．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①②　　 B．②③④　　
C．②　　 D．②③
二、填空题
11． eq log\s\do8(() (3－2)＝____．
12．log4[log3(log2x)]＝0，则x＝____．
13． eq log\s\do8(() (＋1)＋ln 1－lg ＝____．
14．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝____．
15方程3log2x＝的解是___．
16．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝____．
三、解答题
17．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋1)(x－1)2.
18．计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log32；
(2)3log34－lg 10＋2ln 1.
19．求下列各式中的x的值．
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
第四章　4.3　4.3.1　对数的概念
一、选择题
1．如果N＝a2(a>0，且a≠1)，则有(　D　)
A．log2N＝a　 B．log2a＝N
C．loga2＝N　 D．logaN＝2
[解析]　∵N＝a2(a>0，且a≠1)，∴2＝logaN.
2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是(　C　)
A．32＝9与log39＝2
B．27－＝与log27＝－
C．(－2)5＝－32与log(－2)(－32)＝5
D．100＝1与lg 1＝0
[解析]　对数的底数和真数都不能为负数．
3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
[解析]　3a＝10，3b＝7，所以3a－b＝＝.故选A．
4．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　A　)
A．1　 B．－1
C．5　 D．
[解析]　log3(log5a)＝0，log5a＝1，a＝5，
log4(log5b)＝0，log5b＝1，b＝5，所以＝1.
5．已知f(ex)＝x，则f(3)＝(　B　)
A．log3e　　 B．ln 3　　
C．e3　　 D．3e
[解析]　令ex＝3，∴x＝ln 3，∴f(3)＝ln 3，故选B．
6．设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为(　C　)
A．－3　　 B．　　
C．3　　 D．－
[解析]　由得x∈ ；由得x＝3.
7．若loga3＝2log230，则a的值为(　B　)
A．2　　 B．3　　
C．8　　 D．9
[解析]　∵loga3＝2 log230＝20＝1，∴a＝3，故选B．
8．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　ACD　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．8－＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
[解析]　log39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD．
9．(多选题)下列等式中正确的是(　AB　)
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
[解析]　对于A，lg(lg 10)＝lg 1＝0；对于B，lg(ln e)＝lg 1＝0；对于C，若lg x＝10，则x＝1010；对于D，若ln x＝e，则x＝ee，故选AB．
10．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　C　)
①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①②　　 B．②③④　　
C．②　　 D．②③
[解析]　①当M、N≤0时，logaM、logaN均无意义；②正确；③由logaM2＝logaN2，可得M2＝N2，但得不出M＝N；④当M＝N＝0时，式子无意义．故选C．
二、填空题
11． eq log\s\do8(() (3－2)＝__2__．
[解析]　原式＝ eq log\s\do8(() (－1)2＝2.
12．log4[log3(log2x)]＝0，则x＝__8__．
[解析]　由log4[log3(log2x)]＝0得
log3(log2x)＝1，得log2x＝3，得x＝23＝8.
13． eq log\s\do8(() (＋1)＋ln 1－lg ＝__1__．
[解析]　设 eq log\s\do8(() (＋1)＝x，则(－1)x＝＋1＝＝(－1)－1，
∴x＝－1；设lg ＝y，则10y＝＝10－2，∴y＝－2；
又ln 1＝0，∴原式＝－1＋0－(－2)＝1.
14．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝__12__．
[解析]　∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m＝4，
又∵loga3＝n，∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12.
15方程3log2x＝的解是____．
[解析]　∵3log2x＝3－3，∴log2x＝－3，x＝2－3＝.
16．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝__8或__．
[解析]　设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
三、解答题
17．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋1)(x－1)2.
[解析]　(1)由
得即
故x的取值范围是{x|x>1且x≠2}．
(2)由得
故x的取值范围是{x|x>－1且x≠0，x≠1}．
18．计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log32；
(2)3log34－lg 10＋2ln 1.
[解析]　(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式＝3log34－1＋20＝3log34÷31＋1＝＋1＝.
19．求下列各式中的x的值．
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
[解析]　(1)由logx27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，
得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，
得log2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，
即33x＝3－2，则3x＝－2，所以x＝－.