2024人教A版数学必修第一册达标自测4.3.2对数的运算（含解析）

第四章　4.3.2对数的运算
一、选择题
1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　)
A．a2＋b　　　　　　　 B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
2．已知指数函数y＝ax的图象过点，则loga4＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
3．(2021·四川成都高一联考)已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；
③lg()2＝lg ；④lg(ab)＝.
其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
4．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A．3 B．8
C．4 D．log48
6．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是(　　)
A．20 B．2
C．±2 D．400
7．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　　)
A． B．
C．2 D．1
8．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
9．(多选题)下列等式不成立的是(　　)
A．ln e＝1
B．＝a
C．lg(MN)＝lg M＋lg N
D．log2(－5)2＝2log2(－5)
10 (多选题)(2022·山东滨州高一期末)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
二、填空题
11．计算：27＋lg 4＋2lg 5－eln 3＝ ．
12．溶液的酸碱度是通过pH刻画的，已知某溶液的pH等于－lg[H＋]，其中[H＋]表示该溶液中氢离子的浓度(单位：mol/L)，若某溶液的氢离子的浓度为10－5 mol/L，则该溶液的pH为 ．
13．方程log2(x2－8)＝1＋log2x的解是 ．
14．已知函数f(x)＝则f＝ ．
15．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝ ．
16．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则lg(ab)·＝ ．
三、解答题
17．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；
(3)lg ；(4)lg .
18．已知loga2＝m，loga3＝n.
(1)求a2m－n的值；
(2)求loga18.
19．计算：(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2)ln(e)＋log26＋log3－log34.
第四章　4.3.2对数的运算
一、选择题
1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　B　)
A．a2＋b　　　　　　　 B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
[解析]　lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.
2．已知指数函数y＝ax的图象过点，则loga4＝(　C　)
A． B．
C．2 D．4
[解析]　因为指数函数y＝ax的图象过点(2，4)，所以4＝a2，即a＝2，
所以loga4＝log24＝2，故选C．
3．(2021·四川成都高一联考)已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；
③lg()2＝lg ；④lg(ab)＝.
其中正确的是(　C　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
[解析]　当a<0，b<0时，①lg(ab)＝lg a＋lg b不成立；
②lg ＝lg a－lg b不成立；
③由ab>0，可得>0，lg ＝lg 成立；
④根据对数的换底公式可得lg(ab)＝成立．
故选C．
4．已知x，y为正实数，则(　D　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
[解析]　根据对数、指数的运算法则，有2lg (xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y．故选D．
5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　A　)
A．3 B．8
C．4 D．log48
[解析]　x＋2y＝log23＋2log4＝log49＋log4
＝log4＝log464＝3，故选A．
6．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是(　B　)
A．20 B．2
C．±2 D．400
[解析]　∵2a＝5b＝M，∴a＝log2M＝，
b＝log5M＝，
∴＝，
＝，∴＋＝＋＝＝＝2，
∴2lg M＝lg 20，∴lg M2＝lg 20，
∴M2＝20，
∵M>0，∴M＝2.
7．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　B　)
A． B．
C．2 D．1
[解析]　由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋＝，故选B．
8．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　A　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[解析]　log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)
＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A．
9．(多选题)下列等式不成立的是(　CD　)
A．ln e＝1
B．＝a
C．lg(MN)＝lg M＋lg N
D．log2(－5)2＝2log2(－5)
[解析]　根据对数式的运算，可得ln e＝1，故A成立；
由根式与指数式的互化可得＝a，故B成立；取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立，故选CD．
10 (多选题)(2022·山东滨州高一期末)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　AD　)
A． B．
C． D．2
[解析]　令t＝logab，则t＋＝，
∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，∴t＝或t＝2，
∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b.
∵ab＝ba，∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，
∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4，
∴＝2或＝.故选AD．
二、填空题
11．计算：27＋lg 4＋2lg 5－eln 3＝2．
[解析]　27＋lg 4＋2lg 5－eln 3＝(33)＋(lg 4＋lg 25)－eln 3＝3＋2－3＝2.
12．溶液的酸碱度是通过pH刻画的，已知某溶液的pH等于－lg[H＋]，其中[H＋]表示该溶液中氢离子的浓度(单位：mol/L)，若某溶液的氢离子的浓度为10－5 mol/L，则该溶液的pH为5．
[解析]　由题意可知溶液的pH为－lg[H＋]＝－lg10－5＝5.
13．方程log2(x2－8)＝1＋log2x的解是x＝4．
[解析]　∵log2(x2－8)＝1＋log2x，
∴x2－8－2x＝0，∴x＝4或－2(舍去)．
14．已知函数f(x)＝则f＝4．
[解析]　∵函数f(x)＝，
∴f＝log2＝－1，
所以f＝f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＝4.
15．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝1．
[解析]　∵logax＝＝2，∴logxa＝.同理logxc＝，logxb＝.
∴log(abc)x＝＝＝1.
16．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则lg(ab)·＝4．
[解析]　由题意得，
∴lg(ab)·＝(lg a＋lg b)(lg a－lg b)2
＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]
＝2(4－4×)＝4.
三、解答题
17．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；
(3)lg ；(4)lg .
[解析]　(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z
＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)log＝lg(xy3)－lg
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg－lg(y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
18．已知loga2＝m，loga3＝n.
(1)求a2m－n的值；
(2)求loga18.
[解析]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n，
所以am＝2，an＝3.
所以a2m－n＝a2m÷an＝22÷3＝.
(2)loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.
19．计算：(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2)ln(e)＋log26＋log3－log34.
[解析]　(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
(2)原式＝lne＋log26－log23＋log24
＝＋log22＋log24
＝＋1＋2
＝4.