2024人教A版数学必修第一册达标自测5.1.1任意角（含解析）

第五章　5.1.1任意角
一、选择题
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120°　　　　 B．－120°
C．－60° D．60°
2．给出下列命题：
①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是(　　)
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是(　　)
INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\2022年新教材人教A版数学必修第1册教师做课件\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α5．下列叙述正确的是(　　)
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
D．钝角比第三象限角小
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
7．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是(　　)
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　　)
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
9．(多选题)下列与412°角的终边相同的角是(　　)
A．52° B．778°
C．－308° D．1 132°
10．(多选题)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
二、填空题
11．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：
角α终边所在的位置 角α的集合
第一象限 {α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限
第三象限
第四象限
12.－1 485°角是第四象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是 ．
13．终边在直线y＝x上的角的集合S＝ ．
14．与－500°角的终边相同的最小正角是 ，最大负角是 ．
15已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈．
三、解答题
16．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
17．在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？
(3)写出其中的第三象限角．
18．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
第五章　5.1.1任意角
一、选择题
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　B　)
A．120°　　　　 B．－120°
C．－60° D．60°
[解析]　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B．
2．给出下列命题：
①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　D　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　①－75°是第四象限角，正确．②225°是第三象限角，正确．③475°＝360°＋115°是第二象限角，正确．④－315°＝－360°＋45°，是第一象限角．故选D．
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是(　A　)
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
[解析]　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．
综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是(　C　)
INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\2022年新教材人教A版数学必修第1册教师做课件\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W3.tif" \* MERGEFORMATINET
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α[解析]　在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C．
5．下列叙述正确的是(　B　)
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
D．钝角比第三象限角小
[解析]　－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若α是第一象限角，则k·360°<α6．已知α为第三象限角，则所在的象限是(　D　)
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
[解析]　因为α终边在第三象限，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D．
7．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是(　C　)
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
[解析]　由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.
∴k·180°<α8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　C　)
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[解析]　令k分别取－1，0，1，2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C．
9．(多选题)下列与412°角的终边相同的角是(　ACD　)
A．52° B．778°
C．－308° D．1 132°
[解析]　因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z.当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1 132°.综上，ACD正确．
10．(多选题)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　BD　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
[解析]　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，AC都不满足条件．
INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\2022年新教材人教A版数学必修第1册教师做课件\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\AB57.TIF" \* MERGEFORMATINET
二、填空题
11．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：
角α终边所在的位置 角α的集合
第一象限 {α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限
第三象限
第四象限
[解析]　如下表：
角α终边所在的位置 角α的集合
第一象限 {α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}
第三象限 {α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}
第四象限 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}
12.－1 485°角是第四象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是－45°．
[解析]　因为－1 485°＝－5×360°＋315°，
而315°∈(270°，360°)，所以－1 485°是第四象限角．
又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.
13．终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
[解析]　
INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\2022年新教材人教A版数学必修第1册教师做课件\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W1.tif" \* MERGEFORMATINET
在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°、210°(如图)，
所以终边在y＝x上的角的集合是
S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
14．与－500°角的终边相同的最小正角是220°，最大负角是－140°．
[解析]　与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．
15已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈{α|n·180°＋30°<α[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
16．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[解析]　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
令－1 910°－k·360°≥0°，解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
17．在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？
(3)写出其中的第三象限角．
[解析]　(1)由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8个．
(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
18．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析]　 (1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；
60°＋3×180°＝600°.