5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
学习任务 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算) 3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象)
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？
知识点1 平均变化率
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1．
(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．
(3)平均变化率＝＝．
Δy，Δx可正，可负，但Δx≠0．
知识点2 瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即＝．
知识点3 割线斜率与切线斜率
(1)割线与切线的关系
如图所示，当点Pn(xn，f (xn))沿着曲线无限接近点P(x0，f (x0))时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．
(1) (2)
(3) (4)
(2)割线与切线的斜率
①设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率．
②当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率，即k＝．
(1)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？
(2)如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
[提示] (1)不一定．
二次曲线与其切线有且只有一个公共点，其他曲线与其切线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．如图．
(2)当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝5t2，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为20 m/s． ( )
(2)汽车在行驶时的平均速度与瞬时速度一定不相等． ( )
[答案] (1)√ (2)×
[提示] (2)当汽车匀速行驶时，平均速度与瞬时速度相等．
2．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．
2 [＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时→1.8 t0．即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2．]
3．过曲线y＝f (x)＝x2图象上一点(2，4)及邻近一点(2＋Δx，4＋Δy)作割线，则当Δx＝时割线的斜率为________，在点(2，4)处的切线斜率为________．
4 [当Δx＝时，割线的斜率k1＝＝，
在(2，4)处切线斜率k2＝＝＝4．]
类型1 求平均变化率
【例1】 (1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为( )
A． B．－
C．2 D．－2
(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．
(1)B (2)－4－2Δx [(1)＝＝＝－．故选B．
(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均变化率为＝＝－4－2Δx．]
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均变化率＝．
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t＝0.1时，x＝0.25；t＝0.5时，x＝2.25．
(1)求这个物体在时间段[0.1，0.5]内的平均速度；
(2)估计出t＝0.2时物体的位移．
[解] (1)所求平均速度为＝＝5(m/s)．
(2)将x在[0.1，0.5]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为5，且直线经过点(0.1，0.25)，因此，x与t的关系可近似地表示为x－0.25＝5(t－0.1)．
在上式中令t＝0.2，可求得x＝0.75，即t＝0.2时物体的位移可以估计为0.75 m．
类型2 求瞬时速度
【例2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路引导] 计算物体在
[解] ∵＝＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴＝1．
即物体的初速度为1 m/s．
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s．
[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1．
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4．
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s．
求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．
(2)求平均速度：＝．
(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．
[跟进训练]
2．(1)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
(2)质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是( )
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．8 m/s
(1)D (2)D [(1)v＝＝－6．
(2)v＝＝＝＝8(m/s)．]
类型3 求函数在某点的切线斜率或方程
【例3】 (1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．
(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
[思路引导] 求切线斜率及方程可按下列顺序进行：求平均变化率→求瞬时变化率即斜率→求出切线方程．
(1)2 [∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴斜率k＝＝＝1＋1＝2．]
(2)[解] 显然点P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率为k＝
＝＝
＝＝2．
故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．
求函数y＝f (x)在点x0处的切线斜率的三个步骤
[跟进训练]
3．求曲线y＝x2－2x＋2在点(2，2)处的切线方程．
[解] ∵Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx，k＝＝2．
即曲线在点(2，2)处的切线斜率为2．
∴切线方程为y－2＝2(x－2)，
即2x－y－2＝0．
1．函数f (x)＝x在区间[0，1]上的平均变化率为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
B [＝＝1．故选B．]
2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为 ( )
A．6 B．18
C．54 D．81
B [由题可得＝＝＝18．故选B．]
3．设函数f (x)在x＝1处切线斜率为2，则＝________．
[根据条件知k＝＝2，
∴＝＝．]
4．过曲线y＝f (x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．
1 [割线的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝
＝
＝＝1，故切线斜率为1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？
[提示] 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？
[提示] 函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．
(3)求函数y＝f (x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？
[提示] ①求斜率：k＝；
②写方程：用点斜式y－f (x0)＝k(x－x0)写出切线方程；
③变形式：将点斜式变为一般式．5.1.2 导数的概念及其几何意义
学习任务 1．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景．(数学抽象) 2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学抽象) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算) 4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(数学运算)
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
知识点1 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝＝．
简记：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f (x)在(x0，f (x0))处的瞬时变化率．
知识点2 导数的几何意义
(1)导数的几何意义
如图，割线P0P的斜率k＝．记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即
k0＝＝f ′(x0)．
(2)切线方程
曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
知识点3 导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)，即f ′(x)＝y′＝．
f ′(x)与f ′(x0)有何关系？
[提示] f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处的导数值，是f ′(x)在x＝x0时的函数值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度．( )
(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关，但与x0的值有关．( )
[答案] (1)× (2)√
[提示] (1)导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的．
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是( )
A．在点(x0，f (x0))处与y＝f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点(x0，f (x0))的切线的斜率
C．点(x0，f (x0))与点(0，0)的连线的斜率
D．函数y＝f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线的斜率
D [根据导数几何意义知，只有D正确．在点(x0，f (x0))处的切线可能与函数有多个交点．]
3．设f (x)＝2x＋1，则f ′(1)＝________．
2 [f ′(1)＝＝＝2．]
4．已知函数y＝f (x)的图象在点M(1，f (1))处的切线方程是y＝x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________．
3 [由在M点处的切线方程y＝x＋2，
得f (1)＝×1＋2＝，f ′(1)＝．
∴f (1)＋f ′(1)＝＋＝3．]
5．已知函数f (x)＝x2－x，则f ′(x)＝________．
2x－ [∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－，
∴f ′(x)＝＝2x－．]
类型1 利用定义求函数在某点处的导数
【例1】 (1)若函数f (x)在x＝1处的导数为1，则＝( )
A．2 B．1
C． D．
(2)已知函数f (x)可导，且满足＝2，则函数y＝f (x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
(3)利用导数的定义，求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
(1)B (2)B [(1)根据导数的定义，
＝f ′(1)＝1．
(2)由题意，＝－＝－f ′(3)，所以f ′(3)＝－2．]
(3)[解] 因为Δy＝－＝
所以y′|x＝1＝＝＝－2．
1．利用定义求函数f (x)的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求函数的平均变化率＝；
(3)取极限，得f ′(x)＝．
其中，在第二步求平均变化率时，要注意对的变形与约分，如果变形或约分不彻底，可能导致极限不存在；在对取极限时，必须将变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式，如例1(3)．
2．求函数f (x)在某一点x0处的导数，通常可以有两种方法：一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解；二是先利用导数的定义求出函数的导函数，再计算导函数在x0处的函数值．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知函数f (x)＝－x2，求f (x)在x＝3处的导数f ′(3)．
[解] 当自变量在x＝3处的改变量为Δx时，平均变化率＝＝＝－6－Δx．
可以看出，当Δx无限接近于0时，无限接近于－6，因此f ′(3)＝＝＝－6．
类型2 导数几何意义的理解与应用
【例2】 (1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)
C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能确定
(2)若函数f (x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f (x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
A B C D
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是在点A，B处切线的斜率，
由图象可知，f ′(xA)(2)函数f (x)的导函数f ′(x)在[a，b]上是增函数，
若对任意x1和x2满足a则有f ′(a)根据导数的几何意义，可知函数y＝f (x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合．]
导数几何意义理解中的两个关键点
关键点一：y＝f (x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0 f ′(x0)＞0；k＜0 f ′(x0)＜0；k＝0 f′(x0)＝0．
关键点二：|f ′(x0)|越大 在x0处瞬时变化越快；|f ′(x0)|越小 在x0处瞬时变化越慢．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f ′(1)C．f ′(2)B [由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f (x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，
∵＝a，∴f ′(1)类型3 求切线方程
【例3】 已知曲线C：y＝x3．
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
[思路引导] (1)
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y′|x＝1＝3．
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0．
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知由题意可知
即＝，又y0＝，所以＝，
即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0．
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0．
[母题探究]
1．本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由解得或
从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)．
2．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x3＋1”，求曲线过点(1，1)的切线方程．
[解] ＝
＝
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
则＝3x2，因此y′＝3x2．
设过点M(1，1)的直线与曲线y＝x3＋1相切于点＋1)，根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k＝①，过点M和点P的切线的斜率k＝②，由①－②得＝，解得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此过点M(1，1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线有两条，方程分别为y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1．
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[跟进训练]
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，
由y′＝＝＝＝4x，得k＝4m．
由题意可知4m＝8，则m＝2，代入y＝2x2－7，得n＝1．故所求切点P的坐标为(2，1)．
1．下面说法正确的是( )
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
2．已知f ′(x)是f (x)的导函数，且f ′(1)＝3，则＝( )
A．3 B．6 C．－6 D．－
C [∵f ′(1)＝3，
∴
＝
＝－2＝－2f ′(1)＝－6，
故选C．]
3．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是( )
A B C D
A [根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B，故选A．]
4．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________．
[由导数的定义可求得
y′＝＝2ax，
所以曲线斜率k＝2ax＝1，所以x＝，y＝－1．
代入y＝ax2，可解得a＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)f ′(x0)是如何反映函数y＝f (x)的图象特征的？
[提示] 曲线的升降、切线的斜率与f ′(x0)的关系如下：
f ′(x0)的符号 曲线f (x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行)
(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)与导函数f ′(x)之间的区别和联系是什么？
[提示] 区别：①f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
②f ′(x)是函数f (x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．
联系：函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
(3)曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示] 曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．