5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
学习 任务 1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f (t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f (t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？
知识点1 几个常用函数的导数
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f (x)＝ f ′(x)＝－
f (x)＝ f ′(x)＝
这6个函数都是幂函数f (x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了．
知识点2 基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sinx
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
函数f (x)＝ln x与f (x)＝logax的求导有什么内在联系？
[提示] f (x)＝ln x时f ′(x)＝，
而f (x)＝logax＝，
∴f ′(x)＝′＝×(ln x)′＝．
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．若y＝2 023，则y′＝0
B．若y＝x，则y′＝1
C．若y＝x-1，则y′＝－x-2
D．若y＝，则y′＝
ABC [由公式易知ABC正确．]
2．已知函数f (x)＝cos ，则f ′(x)＝( )
A．sin B．－sin
C．cos D．0
D [f (x)＝cos ＝－，所以f ′(x)＝0．]
类型1 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos ．
[解] (1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0．
(2)∵y＝＝x-5，∴y′＝－5x-6．
(3)∵y＝＝＝，∴y′＝．
(4)∵y＝lg x，∴y′＝．
(5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5．
(6)y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x．
求简单函数的导函数的基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝(x＞0)；
(3)y＝sin(π－x)．
[解] (1)∵y＝x＝，
∴y′＝′＝＝．
(2)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝(x>0)．
(3)y＝sin (π－x)＝sin x，∴y′＝cos x．
类型2 利用导数公式解决切线问题
【例2】 (源于人教B版教材)已知函数f (x)＝x2，而l是曲线y＝f (x)的切线，且l经过点(2，3)．
(1)判断(2，3)是否是曲线y＝f (x)上的点；
(2)求l的方程．
[思路引导] 利用导数的几何意义求解，但要注意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解．
[解] (1)因为 f (2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f (x)上的点．
(2)设切点为(x0，f (x0))．
因为f ′(x)＝2x，
所以切线的斜率为f ′(x0)＝2x0，又因为f (x0)＝，
所以直线l的方程为＝2x0(x－x0)，
将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0，
由此可解得x0＝1或x0＝3．
因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．
即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9．
[母题探究]
1．将本例变为“求曲线f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．
[解] 由题意f ′(x)＝－2x-3，所以曲线f (x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．
2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值．
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得
又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，
从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝．
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[跟进训练]
2．(1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．
[解] (1)设所求切线的斜率为k．
因为y′＝()′＝，k＝，
所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．
(2)设切点坐标为(x0，y0)．
因为y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，所以＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，
所以切点为，所以所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0．
类型3 导数公式的实际应用
【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
[解] 由题意得p′(t)＝1.1t ln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．
[跟进训练]
3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
[解] 由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
1．已知f (x)＝x2，则f ′(3)等于( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
C [因为f (x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，所以f ′(3)＝6．]
2．下列结论正确的个数为( )
①若y＝ln 2，则y′＝；
②若f (x)＝，则f ′(3)＝－；
③若y＝2x，则y′＝x2x-1；
④若y＝log2x，则y′＝．
A．4 B．3
C．2 D．1
D [由y＝ln 2得y′＝0，故①错误；对于f (x)＝，f ′(x)＝－，故f ′(3)＝－，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2x ln 2，故③错误；对于y＝log2x，则y′＝，故④错误．]
3．曲线f (x)＝x3在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．
3 [因为f (x)＝x3，所以f ′(x)＝3x2，所以在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝3．]
4．函数y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程为________________．
2x－y＋1＝0 [当x＝0时，y＝sin 0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sin x＋ex的曲线上．y＝sin x＋ex的导数y′＝cos x＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos 0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？
[提示] 几个常见函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f (x)＝xα(α∈R，且a≠0)时，f ′(x)＝αxα-1．
(2)对于三角函数关系式，如何求导？
[提示] 对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
(3)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？
[提示] ①求解以曲线上的点(x0，f (x0))为切点的切线方程的步骤：
ⅰ．求出函数f (x)的导数f ′(x)；
ⅱ．求切线的斜率f ′(x0)；
ⅲ．写出切线方程y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．
②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组，得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
导数法研究圆的面积与周长的关系
我们知道，圆周长l是圆的半径r的函数，即l＝2πr．
你知道吗？利用前面我们学习过的导数知识，可以由圆的周长计算公式得到圆的面积计算公式！
如图1所示，设半径为r时圆的面积为S，且半径增加Δr时，圆的面积增加ΔS．
半径为r时圆的周长为2πr，而且当Δr很小时，ΔS近似地等于如图2所示的矩形的面积，因此ΔS≈2πrΔr，
从而可知≈2πr，
令Δr→0，并注意到Δr越接近于0，近似程度越高，由此可知S′＝2πr．
又由于(πr2)′＝2πr，可知(S－πr2)′＝0，
然后根据只有常数的导数才能恒为0，以及半径为0时面积也应该为0可得S＝πr2．
利用类似的方法可以解决很多能求出平均变化率的函数问题，例如由球的表面积计算公式得到球的体积计算公式等，请读者自行尝试．5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.3 简单复合函数的导数
学习任务 1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．(数学运算) 2．能求简单的复合函数(限于形如f (ax＋b))的导数．(数学运算)
海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f (r)＝πr2．
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1．
思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？
知识点1 导数的运算法则
(1)和差的导数
[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
②[cf (x)]′＝cf ′(x)．
(3)商的导数
′＝(g(x)≠0)．
如果f (x)的导数为f ′(x)，c为常数，则函数cf (x)的导数是什么？
[提示] 由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的乘法法则，得[cf (x)]′＝cf ′(x)．
知识点2 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
内、外层函数通常为基本初等函数．
知识点3 复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．下列对函数的求导正确的是( )
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos ，则y′＝sin
D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2
D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确．]
2．(1)′＝____________；
(2)(xex)′＝____________．
(1) (2)(1＋x)ex [(1)′＝＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．]
类型1 利用运算法则求导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x2cos x；
(2)y＝；
(3)y＝ln x＋4x；
(4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)．
[思路引导] 根据每个函数的解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．
[解] (1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．
(2)法一：y′＝′＝＝．
法二：∵＝＝1－，
∴′＝′＝．
(3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝＋4x ln 4．
(4)∵y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，
∴y′＝(x4－1)′＝4x3．
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则并利用基本公式进行求解．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x2－sin cos ；(2)y＝x tan x．
[解] (1)∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x．
(2)y′＝(x tan x)′＝′
＝
＝＝．
类型2 求简单复合函数的导数
【例2】 (源于人教B版教材)求下列函数的导数．
(1)h(x)＝e5x-1；(2)f (x)＝ln (2x＋1)；
(3)y＝；(4)y＝sin ．
[思路引导] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．
[解] (1)h(x)＝e5x-1可以看成f (u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1．
(2)f (x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝×2＝．
(3)y＝可以看成函数y＝与u＝2x－1的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝()′(2x－1)′＝×2＝＝．
(4)y＝sin 可以看成函数y＝sin u与u＝2x＋的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(sin u)′′＝2cos u＝2cos ．
复合函数的求导注意事项
(1)仔细观察和分析函数的结构特征，紧紧扣住求导运算法则，联系基本函数求导公式．不具备求导法则的可适当恒等变形；
(2)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝e－xsin 2x；
(3)y＝ln －1；
(4)y＝cos (－2x)＋32x+1．
[解] (1)∵y＝，
∴y′＝＝．
(2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
(3)∵y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1，
∴y′＝××(2x＋1)′＝．
(4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3
＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3．
类型3 导数运算法则的综合应用
【例3】 (1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值．
[思路引导] (1)曲线上离直线2x－y＋3＝0最近的点一定是与2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝ln (2x－1)相切的直线的切点．
(2)尝试用导数的几何意义．
(1)A [设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln (2－1)＝0，
即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．]
(2)[解] 令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，
∴＝2，解得m＝8或－12．
即实数m的值为8或－12．
2．(变条件，变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值．
[解] 函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝．
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln (n＋1)．
整理后对比得
解得
因此b＝1－ln 2．
利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．
[解] 由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2．
∴k＝y′|x＝1＝3．
又x＝1时y＝1．
∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
1．设函数f (x)＝ln (2x)＋，则f ′(1)＝( )
A． B．1
C．－ D．1－
B [f ′(x)＝，则f ′(1)＝1．故选B．]
2．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C．′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin x
AD [A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，′＝，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD．]
3．设f (x)＝sin x cos x，则f (x)在点处的切线的斜率为( )
A．
C．－ D．－
A [法一：f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴k＝f ′＝cos ＝．
法二：f (x)＝sin x cos x＝sin 2x，
∴f ′(x)＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝cos 2x，
∴k＝f ′＝．]
4．已知函数f (x)＝(2x－1)2＋5x．则f ′(x)＝________；曲线y＝f (x)在点(2，19)处的切线方程是________________．
8x＋1 17x－y－15＝0 [f ′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1．
又f ′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，
即17x－y－15＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？
[提示] ①若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．
②若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．
(2)求复合函数的导数，应该注意哪些问题？
[提示] 求复合函数的导数的注意点：
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；
③计算结果尽量简洁．
(3)利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？
[提示] “分解—求导—还原”．
即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；
②利用求导法则分层求导；
③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．
