微专题3 导数构造法解决函数问题
在考试中经常见到一类试题，即不给出解析式，而是给出函数f (x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法：
1．关系式为“加”型：
(1)f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) 构造[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
(2)xf ′(x)＋f (x)≥0构造[xf (x)]′＝xf ′(x)＋f (x)
(3)f ′(x)＋f (x)≥0构造[exf (x)]′＝ex[f ′(x)＋f (x)]
2．关系式为“减”型
(4)f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)构造′＝
(5)xf ′(x)－f (x)≥0构造′＝
(6)f ′(x)－f (x)≥0构造′＝＝
类型1 关系式为“加”型
【例1】 (1)已知函数f (x)的定义域为R，且对任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．则对任意正数a必有( )
A．f (a)>eaf (0) B．f (a)
C．f (a)< D．f (a)>
(2)设f ′(x)是定义域为R的函数f (x)的导函数，f ′(x)<3，f (－3)＝－2，则f (x)>3x＋7的解集为( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－3)
C．(－3，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
(3)已知y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f (log3)，则a，b，c的大小关系是________．
(4)设f (x)，g(x)是R上的可导函数，f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)<0，g(－3)＝0，求不等式f (x)g(x)<0的解集．
(1)D (2)B (3)c>b>a [(1)构造函数F (x)＝exf (x)，则F ′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F (x)在R上单调递增，又a>0，所以F (a)>F (0)，
即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>，故选D．
(2)因为f ′(x)<3，即f ′(x)－3<0，设函数g(x)＝f (x)－3x，g′(x)＝f ′(x)－3<0，则g(x)在R上单调递减，
又f (－3)＝－2，所以g(－3)＝f (－3)－3×(－3)＝7，不等式f (x)>3x＋7转化为：f (x)－3x>7，即g(x)>g(－3)，所以x<－3．
(3)令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由条件知，x>0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f (x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减．又log3b>a．]
(4)[解] 因为f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)的原函数为f (x)g(x)，构造新函数h(x)＝f (x)g(x)可知h′(x)<0，h(x)单调递减，又因为g(－3)＝0，即h(－3)＝0，所以f (x)g(x)<0的解集是(－3，＋∞)．
类型2 关系式为“减”型
【例2】 (1)设f (x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，则当aA．f (x)g(x)>f (b)g(b)
B．f (x)g(b)>f (b)g(x)
C．f (x)g(a)>f (a)g(x)
D．f (x)g(x)>f (a)g(x)
(2)设函数f ′(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(3)若可导函数f (x)(x∈R)满足f ′(x)－f (x)>0，比较f (1)与ef (0)的大小为f (1)________ef (0)．
(1)B (2)A (3)> [(1)设F (x)＝，则F ′(x)＝，由f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，得F ′(x)<0，所以F (x)为减函数．
因为a故f (x)g(b)>f (b)g(x)．
(2)构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为f (x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0．当00，则f (x)>0；
当x<－1时，g(x)<0，则f (x)>0，综上所述，使得f (x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
(3)构造F (x)＝，则F ′(x)＝＝>0，所以F (x)是R上的单调递增函数，
因此F (1)>F (0)，即>，f (1)>ef (0)．]微专题4 导数法研究恒成立问题
用导数研究恒成立问题时，一般我们既要对函数和方程的形式进行特别的观察，又要时刻注意数形结合帮助我们理解题意，需要灵活的选择合适的方法解决问题，常见的用导数解决恒成立的方法有分离变量法、分类讨论法、等价转化法等，下面进行举例说明．
类型1 分离变量法
【例1】 设函数f (x)＝x3＋x2－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]有f (x)A．(9，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(11，＋∞) D．(12，＋∞)
C [f ′(x)＝3x2＋x－2，令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝．当－1≤x<时，f ′(x)<0，当0，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
因为f (－1)＝，f (2)＝11，所以f (x)max＝11．
因为对任意的x∈[－1，2]有f (x)所以f (x)max11．故选C．]
类型2 分类讨论法
【例2】 已知函数f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－4，4]
D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
A [f ′(x)＝3＋cos 2x＋a sin x＝3＋1－2sin2x＋a sinx＝4－2sin2x＋a sinx，
函数f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上单调递增，所以f ′(x)≥0在R上恒成立，令t＝sin x(－1≤t≤1)，即4－2t2＋at≥0在R上恒成立，即2t2－at－4≤0在－1≤t≤1上恒成立．
当t＝0时，不等式显然成立．
当0当－1≤t<0时，a≤2t－，由y＝2t－在[－1，0)上单调递增，得t＝－1时，ymin＝2，所以a≤2．
综上：a的取值范围是[－2，2]．
故选A．]
类型3 等价转化法
【例3】 已知函数f (x)＝ex－k－k ln x，g(x)＝ex－kx， x∈(1，＋∞)，f (x)A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，e) D．(－∞，e]
D [由题意得ex－k－k ln x即eln x+1－k(ln x＋1)令h(x)＝ex－kx，则h(ln x＋1)令m(x)＝ln x－x＋1，x∈(1，＋∞)，
则m′(x)＝－1<0恒成立，
所以m(x)在(1，＋∞)单调递减，即m(x)＝ln x－x＋1所以h(x)单调递增，即h′(x)＝ex－k≥0， x∈(1，＋∞)恒成立，所以k≤e．故选D．]第5章 一元函数的导数及其应用 章末综合提升
类型1 导数的几何意义
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f (x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
【例1】 (1)曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为( )
A．1 B．e
C．－ D．
(2)设a∈R，函数f (x)＝ex＋a·e－x的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．
(3)求函数f (x)＝x3－x图象上过点(1，0)的切线方程．
(1)D (2)ln 2 [(1)设M(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝，所以切线斜率k＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e．所以k＝＝．
(2)由题意可得f ′(x)＝ex－是奇函数，所以f ′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，所以f (x)＝ex＋，f ′(x)＝ex－．
因为曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，
所以＝ex－，可得ex＝2(负舍)，所以x＝ln 2．]
(3)[解] 设函数f (x)＝x3－x图象上切点的坐标为－x0)，则切线斜率为k＝f ′(x0)＝－1，切线方程为－x0)＝－1)(x－x0)．
由于切线经过点(1，0)，所以－x0)＝－1)(1－x0)，整理得＋1＝0，
即－1)＝0，
所以2(x0－1)＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－．
所以P(1，0)或P，
所以切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋．
类型2 函数的单调性与导数
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f (x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f (x)求导，得到f ′(x)；
(2)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0．若f ′(x)＝0恒成立，则函数f (x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
【例2】 若函数f (x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，试求实数a的取值范围．
[解] f ′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f ′(x)≤0在区间(1，4)上恒成立，且f ′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f ′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0．
因为x∈(1，4)，所以x－1∈(0，3)，所以a≥＝x＋1．
因为x＋1∈(2，5)，而a≥x＋1恒成立，所以a≥5．
由f ′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0．
因为x∈(6，＋∞)，所以x－1＞5，所以a≤＝x＋1．
因为x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，
所以a≤7．
经检验，a＝5和a＝7都符合题意，
所以实数a的取值范围是[5，7]．
类型3 函数的极值与导数
1．已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤
(1)求函数的导数f ′(x)；
(2)由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数．
2．对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
【例3】 (1)函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a在x＝2处取得极值8，则a＝( )
A．－4或6 B．－4
C．6 D．4或－6
(2)设a∈R，若函数y＝x＋a ln x在区间有极值点，则a取值范围为( )
A．
B．
C．∪(e，＋∞)
D．(－∞，－e)∪
(1)B (2)B [(1)对函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a，求导得，f ′(x)＝3x2－2ax－b．
又∵在x＝2处有极值为8，∴
解得或
①当时，f ′(x)＝3x2＋8x－28＝0，
解得x1＝2，x2＝－，
∴有两个不等的实根，满足题意；
②当时，f ′(x)＝3x2－12x＋12＝0 3(x2－4x＋4)＝0 3(x－2)2＝0，
∴x有两个相等的实根，在此处无极值，不满足题意．故a的值是－4，故选B．
(2)函数y＝f (x)＝x＋a ln x在区间有极值点 y′＝0在区间有零点．f ′(x)＝1＋＝(x＞0)．
∴f ′·f ′(e)＜0，∴(e＋a)＜0，
解得－e＜a＜－．∴a的取值范围为．故选B．]
类型4 函数的最值与导数
求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
【例4】 已知函数f (x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1．
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)在[0，2]上的值域．
[解] (1)∵函数f (x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1，
∴f ′(x)＝3x2－6ax＋2b，f ′(1)＝3－6a＋2b＝0， ①
且f (1)＝1－3a＋2b＝－1， ②
联立①②，解得a＝，b＝－．
(2)由(1)得f (x)＝x3－x2－x，
∴f ′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)，x∈[0，2]．
由f ′(x)＝3x2－2x－1>0得1由f ′(x)＝3x2－2x－1<0得0≤x<1，
∴函数f (x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增．
又f (0)＝0，f (1)＝－1，f (2)＝8－4－2＝2，
∴f (x)在[0，2]上的值域为[－1，2]．
类型5 导数在生活中的应用
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
【例5】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距a m，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当a＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解] (1)设需要新建b个桥墩，则(b＋1)x＝a，即b＝－1．
因此，y＝f (x)＝256b＋(b＋1)x
＝256＋x
＝＋a＋2a－256(0(2)由(1)知，f ′(x)＝－＋＝．
令f ′(x)＝0，得＝512，所以x＝64．
当0当640，f (x)在区间(64，640)内单调递增．
所以f (x)在x＝64处取得最小值．
此时，b＝－1＝－1＝9．
即需新建9个桥墩才能使y最小．
类型6 与导数有关的综合性问题
1．导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具，从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
【例6】 已知函数f (x)＝x ln x．
(1)求f (x)的最小值；
(2)若对任意的x≥1都有f (x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
(3)若关于x的方程f (x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
[解] (1)f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋ln x，令f ′(x)>0，解得x>；
令f ′(x)<0，解得0故f (x)min＝f ＝ln ＝－．
(2)当x≥1时，f (x)≥ax－1恒成立，
等价于x ln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln x＋(x≥1)恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则当x≥1时a≤g(x)min恒成立．
∵g′(x)＝－＝，∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．
(3)若关于x的方程f (x)＝b恰有两个不相等的实数根，则y＝b的图象和y＝f (x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点．
由(1)知f (x)在上单调递减，在上单调递增，f (x)min＝f ＝ln ＝－，又当01时，f (x)>0，故当－即若关于x的方程f (x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－