湛江市霞山区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
答案和解析
1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B 8. D 9. ACD 10. AB 11. ACD 12. AD
13. 14. 15. 16. 36
3. 【解析】,是互斥事件,,,
.故选.
5. 【解析】本题主要考查基底的性质.显然,错误;对于,假设不是空间的一个基底,即,则,这与是空间的一个基底矛盾,故是空间的一个基底,故正确,错误.故选.
7. 【解析】如图，以为空间直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以
故，. 设与所成角为，
则. 故选：B
8. 【解析】由题意知，点的坐标为，当折叠后点与点重合时，；当折叠后点与点重合时，．要使点落在线段上，则．
9. 【解析】设正方体的棱长为，则，，.所以，.设向量是平面的法向量，则取，得，，则是平面的一个法向量.结合其他选项，检验可知只有B选项是平面的法向量.
10. 【解析】对于A，该直线过第一、二、四象限，所以，，故点在第二象限，A正确；对于B，直线的方程可化为点斜式，所以无论取何值，点都满足方程，B正确；对于C，由两平行线的距离知，应为，C错误；对于D，由斜截式方程得到所求直线方程为，D错误．故选AB．
11. 【解析】将点代入方程的左边，得，所以点在圆外，故A不正确；
由圆：知圆心，半径为，则圆心到直线的距离，故B正确；
将点代入方程的左边，得，所以点在圆外，故C不正确；圆心到直线的距离，故D不正确．故选ACD．
【解析】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，
，，，，
，，.
，A正确；
易得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
，B错误；，C错误；易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，
则，故D正确.
14. 【解析】建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则即
令,得.
又,
点到平面的距离.
15. 【解析】设，，，且，
易知，则，
，，，
.
与所成角的余弦值为.
16. 解：根据题意，设P（x，y），
则|PA|2+|PB|2=（x+3）2+y2+（x-3）2+y2=2x2+2y2+18=2（x2+y2）+18，
设t=，其几何意义为圆（x-3）2+（y-4）2=4上一点到原点的距离，
圆（x-3）2+（y-4）2=4的圆心为（3，4），半径r=2，则t的最小值为-2=3，
则有|PA|2+|PB|2=2（x2+y2）+18≥2×9+18=36，即|PA|2+|PB|2的最小值是36；
17. 【答案】
(1)由题意可知：直线l的斜率
直线的方程为：，则．
(2)与垂直
直线 的斜率为，方程为： ，即．
(3)与平行直线 的斜率为，方程为： ，
即．
18. (1)证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，，
，
.
解：，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设与平面所成角为，
则，
.
与平面所成角的余弦值为.
19.解：(1)设圆的方程为，
因为过，，三点，
所以，
所以圆的方程为，
所以圆的标准方程为；
(2)圆心到直线的距离为，
则，
所以的面积为.
20. 解： (1)因为，
所以， ......................1分
所以， ......................2分
所以，
整理得， ......................3分
因为， ......................4分
所以，即， ......................5分
由为三角形内角得，. ......................6分
（2）由余弦定理得， ......................8分
当且仅当时取等号， 故，
. ......................11分
故面积的最大值. ......................12分
21. 解：(1)由频率分布直方图可知,成绩在内的频率为,
则估计全校这次竞赛中"疫情防护达人"的人数约为. ..........3分
(2)由频率分布直方图可知,成绩在内的频率为,成绩在内的频率为,成绩在内的频率为,成绩在内的频率为,成绩在内的频率为,
所以成绩在分以下的学生所占的比例为,成绩在分以下的学生所占的比例为,
所以成绩的分位数一定在内,
, ......................7分
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数约为. ......................8分
(3)因为,,,所以从成绩在 ...................11分
,,内的学生中分别抽取了人,人,人. ......................12分
22. 解：(1)
证明：取中点，连接，，
因为四边形为菱形且.
所以， .
因为，所以，
又，
所以平面， ...............................2分
又因为平面 ，所以
同理可证，
因为，
所以平面. ...............................4分
(2)解：由（1）得平面，
所以平面平面，平面平面.
所以点到直线的距离即为点到平面的距离.
过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，
此时必过的中点，
因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为 ............6分
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，，
平面的一个法向量为， ....................8分
设平面的法向量为，
则即
取，则，
， . ...................10分
所以， ....................11分
所以面与面所成二面角的正弦值为. .....................12分
【解析】
（1）取中点，连接，，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为.
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.湛江市霞山区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考试时间：120分钟 满分：150
一、单选题(每题5分，共40分)
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，则 ( )
A. - B. C. D.
3. 若、是互斥事件,, , 则 ( )
A. B. C. D.
4. 直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合
5. 已知是空间的一个基底,若,,则( )
A. 是空间的一个基底
B. 是空间的一个基底
C. 是空间的一个基底
D. ,与,,中的任何一个都不能构成空间的一个基底
6. 下列命题正确的是( )
A. 零向量没有方向 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( ).
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点坐标分别为，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，多选0分，少选2分，共20分）
9. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线必过定点
C. 直线与直线的距离为
D. 斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为
11. 以下关于圆：的命题不正确的有( )
A. 点在圆内
B. 直线与圆相切
C. 点在圆上
D. 直线与圆相切
12. 在三棱锥A-BCD中， , A-BC-D是直二面角，DC=2BD, AB=AC,如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面的法向量与平面的法向量垂直
C. 异面直线与所成的角为
D. 直线与平面所成的角为
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 记圆的圆心坐标为，半径为，则____．
14. 正方体的棱长为,,分别是,的中点,则点到平面的距离为____.
如图所示，在正四面体中，，分别为，
的中点，则与所成角的余弦值为____.
16. 已知A（-3，0），B（3，0），点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是____．
四、解答题（共70分）
17（10分）. 已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程：
(1) 直线的倾斜角为；
(2)直线 与直线垂直．
(3)直线 与直线平行.
18.（12分） 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点.
(1)求证：；
(2)求与平面成角的余弦值.
19.（12分） 已知过，，三点.
(1)求的标准方程；
(2)直线：与相交于，两点，求的面积（为圆心）.
20.（12分） 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
21. （12分）为了抗击新冠肺炎疫情,普及防护知识,某校开展了"疫情防护网络知识竞赛"活动,现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名,统计他们的成绩(满分分),其中成绩不低于分的学生被评为"疫情防护达人",将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若该中学参加这次竞赛的共有名学生,
试估计全校这次竞赛中"疫情防护达人"的人数;
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数;
(3)若在抽取的名学生中,利用分层随机抽样
的方法从成绩不低于分的学生中随机抽
取人,则从成绩在,,内的
学生中分别抽取了多少人
22. （12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，
求面与面所成二面角的正弦值.
