4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示法
学习任务 1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象) 2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理) 3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理)
(1)传说中，古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
请同学们想一想，以上两组数有什么特征？
(2)某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝数 1 1 2 3 5 ？
知识点1 数列的概念及一般形式
表示数列时不要漏写“{ }”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母．
知识点2 数列的分类
分类 类别 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
若数列{an}满足a1
[提示] 不一定，因为只有部分项满足大小关系，不能确定数列的单调性．
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为：an＝f(n)．
知识点4 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表：
定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，3，5，7，…，2n是无穷数列． ( )
(2)－1，1，－1，1，…是一个摆动数列． ( )
[答案] (1)× (2)√
[提示] (1)无穷数列末尾带有“…”．
(2)满足摆动数列的定义．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列中能重复出现同一个数
B．1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C．1，1，1，1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
AD [由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A正确，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．]
3．若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝________，224是该数列的第______项．
99 15 [a10＝102－1＝99．令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项．]
4．根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，…；
(2)2，4，8，16，…．
[解] (1)an＝2n(n∈N*)；(2)an＝2n(n∈N*)．
类型1 数列的概念与分类
【例1】 (1)(多选)以下四个数列中的递增数列是( )
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
(2)给出下列说法：
①数列中的项数一定是无限的；②数列1，3，2，6，3，9，…是递增的无穷数列；③数列，，，，…是递减的无穷数列．
其中正确说法的序号是________．
(1)CD (2)③ [(1)A是递减数列；B是摆动数列；CD是递增数列．
(2)对于①，错误，数列中的项数可以是有限的或无限的；对于②，错误，该数列是无穷数列，但不是递增数列；对于③，正确．]
数列的判定方法及其分类
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的．
[跟进训练]
1．给出下列数列：
①2015—2022年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个构成数列，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
类型2 根据数列的前几项求通项公式
【例2】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，，－，，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解] (1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项加上1后，数列变成10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝10n－1．
(3)数列的符号负正相间，可用(－1)n调整，分数的分子依次为自然数，而分母则是分子加上1后的平方，故可表示为，所以该数列的通项公式为an＝(－1)n．
(4)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝＝，
即an＝＋．
根据数列的前几项求其通项公式的方法
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，，－，，－，…．
[解] (1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n．
(2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，因此数列的一个通项公式为an＝2n－1．
(3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，因此它的一个通项公式为
an＝
(4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n．
类型3 通项公式的应用
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是不是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是不是该数列的一项呢？
[思路引导] (1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值．
(2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可．
[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
[母题探究]
(变结论)若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
[解] (1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32．
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是该数列的第10项．
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项．
[跟进训练]
3．已知数列的通项公式为an＝．
(1)写出数列的前3项；
(2)和是不是它的项？如果是，是第几项？
[解] (1)数列的前3项：a1＝＝1，a2＝＝＝，a3＝＝＝．
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，因为n∈N*，故n＝－8舍去．
所以是数列的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－，
因为n∈N*，所以不是此数列中的项．
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
C [A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．]
2．有下列一列数：1，2，4，( )，16，32，…，按照规律，括号中的数应为( )
A．6 B．8
C．4 D．10
B [根据前三项和后两项的规律可知，从第二个数起，每个数与前一个数的比都是2，则括号中的数是8．]
3．(多选)下列叙述不正确的是( )
A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．1，3，1，3，…是常数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n
D．数列{2n＋1}是递增数列
ABC [A中，1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，因为数列是有顺序排列的一列数；B中，明显不是常数列；C中，0，1，2，3，…的通项公式为an＝n－1；D中{2n＋1}是递增数列，故选ABC．]
4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 022－a2 021＝__________，199是数列的第________项．
27 4 50 [a7＝4×7－1＝27，a2 022－a2 021＝(4×2 022－1)－(4×2 021－1)＝4．令4n－1＝199，解得n＝50．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？
[提示] 数列是按确定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征：有序性、确定性和可重复性．
(2)你是如何对数列进行分类的？相等数列应具备什么条件？
[提示] 按项数可分为：有穷数列和无穷数列．
按项的变化趋势可以分为：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．
相等数列是指项数相等，对应项也相等的数列．
(3)所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出1个例子？
[提示] 并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用
an＝
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示等．第2课时 数列的通项公式与递推关系
学习 任务 1．理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．(逻辑推理) 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算) 3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
自上而下：
第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？
知识点1 数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的首项(或前几项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
知识点2 数列递推公式与通项公式的关系
分类 递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
知识点3 数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
S1与a1是什么关系？S2呢？
[提示] 由于S1表示数列的前1项的和，因此S1与a1相等，而S2表示数列的前2项的和，因此S2＝a1＋a2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法． ( )
(2)所有的数列都有递推公式． ( )
(3)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (2)随机的一个数列就不一定有递推公式．
(3)只能确定相邻两项间的关系但无法确定{an}．
2．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n∈N*，n>1)，则a3＝________．
[由已知，得a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝．]
3．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________．
[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝]
类型1 由递推公式求数列中的项
【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解] (1)因为a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)因为＝＝＝＝－2，
所以＝－2．即an＋1＝－2an．
从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
类型2 由Sn求通项an
【例2】 根据下列数列的前n项和Sn求通项an．
(1)Sn＝2n2－n＋1；
(2)Sn＝2·3n－2．
[解] (1)由Sn＝2n2－n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3．
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3，
∴an＝
(2)由Sn＝2·3n－2，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n-1－2)＝4·3n-1．
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31-1，
∴an＝4·3n-1(n∈N*)．
由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用a1＝S1，求出a1；
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式；
(3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
[跟进训练]
2．(1)数列{an}的前n项和Sn＝3n2，则an＝________．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通项公式是________．
(1)6n－3 (2)an＝ [(1)①当n＝1时，a1＝S1＝3；
②当n≥2时Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，
an＝Sn－Sn－1＝6n－3，当n＝1时上式也符合，
所以an＝6n－3．
(2)①当n＝1时，a1＝S1＝2＋1－5＝－2；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n－5)－[2(n－1)2＋(n－1)－5]＝4n－1，
当n＝1时，4n－1＝4－1＝3≠－2，
综上，an＝]
类型3 根据递推公式求通项
【例3】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[思路引导] (1)先将递推公式变形为an＋1－an＝－，再利用累加法求通项公式；(2)先将递推公式化为＝，再利用累乘法求通项公式．
[解] (1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…；
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－．∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
[母题探究]
(变条件)将本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝，得＝＋，
即－＝．又∵a1＝1，
∴＝＋＋…＋＋＝＋1
＝＋1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝(n∈N*)．
1．由递推公式求通项公式常用的两种方法
(1)累加法：当an＝an－1＋f (n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
2．此类题在累加或累积时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而失分．
[跟进训练]
3．已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，求数列{an}的通项公式．
[解] 因为an＝an－1＋(n≥2)，
所以an－an－1＝＝，
所以a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－an－1＝(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝(n≥2)，所以an＝a1＋＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝适合an＝，故数列{an}的通项公式为an＝．
1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C [A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．故选C．]
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则a3＝________．
5 [由Sn＝n2＋3可知a3＝S3－S2＝32＋3－(22＋3)＝5．]
3．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
n [由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，
以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，
因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，
a1＝1也满足an＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．]
4．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，则an＝________．
[∵a1a2a3…an＝n2，∴n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴两式相除得an＝，
又∵a1＝12＝1，不适合an＝，
∴an＝]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
[提示] 数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式．
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
[提示] n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，这是因为当n＝1时Sn－1＝S0，数列中S0无意义．
(3)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累积法求通项an
[提示] ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累积法或迭代法．