4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习任务 1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式．(数学运算) 4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模)
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题．
1．我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…．
2．某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…．
3．全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5．
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
知识点1 等差数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？
[提示] 第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
知识点2 等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是 a＋b＝2A．
知识点3 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列{1－3n}的公差d＝1． ( )
(2)所有的等差数列都有通项公式． ( )
[答案] (1)× (2)√
[提示] (1)数列{1－3n}的公差为－3．
(2)由等差数列的定义可知正确．
2．3与5的等差中项为( )
A．2 B．4
C．8 D．
B [3与5的等差中项为＝4．]
3．(多选)下列数列是等差数列的是( )
A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，…
C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
AC [根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．]
4．等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________．
2n－5 [由题知，a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5．]
类型1 等差数列的通项公式的有关运算
【例1】 (1)已知a7＝，d＝－2，求a1；
(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．
[解] (1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝．
(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24．
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得解得
∴a75＝75×＋4＝24．
求等差数列的通项公式的两种思路
(1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．
(2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．
注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．
[跟进训练]
1．在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________；
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
(3)已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
(1)10 (2)－ (3)－ [(1)由题意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10．
(2)依题意可得
解得d＝－．
(3)法一：由得
解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
得－＝＋4d，解得d＝－．
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－．]
类型2 等差中项的应用
【例2】 (1)如果3是2a与a－6的等差中项，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
(2)一个等差数列的前4项是1，x，a，2x，则x＝________．
(3)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项是________．
(1)D (2)2 (3) [(1)由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4．
(2)由已知得可得2x＝1＋，
解得x＝2．
(3)因为a＝＝，b＝＝，所以＝． ]
等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝．
(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．
[跟进训练]
2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3．
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1．
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5．
∴该数列为：－1，1，3，5，7．
类型3 等差数列的判定与证明
【例3】 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[思路引导] 先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝．
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2．
[母题探究]
本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．”，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝两边取倒数，可得＝，即＝＋，所以－＝，因此数列是公差为的等差数列．
因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，因此＝＋(n－1)＝n，故an＝．
等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)已知数列{an}中，an－1＝，在n≥3时恒成立，求证：{an}是等差数列．
[证明] 因为an－1＝ 2an－1＝an＋an－2 an－an－1＝an－1－an－2，所以an－an－1＝an－1－an－2＝an－2－an－3＝…＝a2－a1．
因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2
ABD [选项A，B，D满足等差数列的定义，是等差数列；选项C中，因为24－25≠23－24，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．]
2．在等差数列{an}中，若a1＝2，a2＝4，则a4＝( )
A．6 B．8
C．16 D．32
B [因为等差数列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，则a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8．]
3．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是( )
A．该数列为等差数列
B．公差为3
C．a5＝15
D．－3是该数列的第11项
ACD [由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11，故ACD正确．]
4．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
3 [由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8．
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10．
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6．
所以m和n的等差中项为＝3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示] 等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解．
(2)任何两个数都有等差中项吗？
[提示] 任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为．
(3)如何判断数列为等差数列？
[提示] 判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法：an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b．(d，b为常数)．第2课时 等差数列的性质及应用
学习任务 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理) 2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
知识点1 等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
1．等差数列的单调性与公差有何关系？
[提示] 若{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
知识点2 等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；
d＝0 {an}为常数列．
2．若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？
[提示] 不一定．如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．
推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列对应的图象是一条直线． ( )
(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可以看成an关于n的一次函数．
( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)等差数列对应的图象是一列孤立的点．
(2)当d＝0时数列为常数列也是等差数列．
2．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝0
BCD [∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又 ∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴101a51＝0，
∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0．]
类型1 等差数列的设法与求解
【例1】 (1)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
(2)已知四个数依次成等差数列，且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
[解] (1)设{an}的公差为d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5．
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，
解得d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105．
(2)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
因为该数列是递增数列，所以d>0，
所以解得
故此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1．
设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d．
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d．
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q．
[跟进训练]
1．已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数分别为a，b，c，则
解得故这三个数分别为4，6，8．
法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2．
∵该数列是递增的，
∴d＝2，
∴这三个数分别为4，6，8．
类型2 等差数列的性质
【例2】 (1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[思路引导] 根据各个题的特征，选择相应等差数列的性质求解．
[解] (1)法一：设{an}的公差为d，
则解得
故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40．
法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．
法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．
(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，
所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，
故a1＋a9＝2a5＝28．
(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．
[母题探究]
(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
[解] 法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．
[跟进训练]
2．(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
(2)设等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9．
①求a3；
②若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求数列{an}的通项公式．
(1)20 [3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20．]
(2)[解] ①因为等差数列{an}中，满足a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
所以a3＝3．
②设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，
所以3a2，3a5，3a8是公差为18的等差数列，
所以a8－a5＝3d＝6，所以d＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3．
类型3 等差数列的实际应用
【例3】 (1)(2022·厦门高二检测)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男、子、伯、侯、公．现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子，则m＝________．
(2)高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为________．
(1)3 (2)12 [(1)设男、子、伯、侯、公各分得x－2m，x－m，x，x＋m，x＋2m个橘子，由已知，5x＝80，即x＝16，又16－2m>0且m为正整数，
所以m＝{1，2，3，4，5，6，7}，若“子”恰好分得13个橘子，则16－m＝13，即m＝3．
(2)设经过n次考试后该学生的成绩为an，
则an＝5(n－1)＋69，由5(n－1)＋69≥120，得n≥＝11 ，所以至少要经过12次考试．]
等差数列在实际应用中的解法
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息，若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列，合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35 cm，第5级的宽为43 cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，求其余3级的宽度．
[解] 法一：依题意，a1＝35，a5＝43．
设公差为d，则35＋4d＝43，解得d＝2．
从而a2＝35＋2＝37，
a3＝37＋2＝39，
a4＝39＋2＝41．
因此，其余3级的宽度分别为37 cm，39 cm，41 cm．
法二：因为等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，共5项．
又因为2×3＝1＋5，所以2a3＝a1＋a5＝35＋43＝78，
即a3＝39．
类似地，有2a2＝a1＋a3＝35＋39＝74，2a4＝a3＋a5＝39＋43＝82，所以a2＝37，a4＝41．
因此，其余3级的宽度分别为37 cm，39 cm，41 cm．
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5．]
2．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位) ( )
A．0.9升 B．1升
C．1.1升 D．2.1升
B [不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列{an}，公差为d．依题意得
故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故选B．]
3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．
12 [在等差数列{an}中，a1＋a15＝2a8，∵a1＋3a8＋a15＝60，
∴5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝2a8，∴a2－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]
4．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是________．
－2，0，2，4 [设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，∴d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在等差数列{an}中，任意两项an与am之间的关系是什么？
[提示] 在等差数列{an}中，an－am＝(n－m)d．
(2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？
[提示]
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d
性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列
性质6 若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
学习任务 1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算) 2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系．(数学运算) 3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．(数学运算)
为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？
知识点1 等差数列的前n项和公式及推导
等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d
推导方法 倒序相加法
推导过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．① 再把项的次序反过来，Sn又可以写成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．② ①②两边分别相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝
注：等差数列的前n项和的公式是用倒序相加法推导的．
知识点2 等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝．
(3)若等差数列{an}的项数为2n，则
S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝．
(4)若等差数列{an}的项数为2n－1，则
S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，
S奇－S偶＝an，＝．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． ( )
(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝． ( )
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn． ( )
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． ( )
(5)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)正确．由a1＋an＝a2＋an－1可知其正确．
(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．
2．(1)在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________．
(2)在等差数列{an}中 ，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝________．
(1)24 (2)3或－1 [(1)∵S10＝＝120，∴a1＋a10＝24．
(2)由题意得a1＋(n－1)×2＝11， ①
Sn＝na1＋×2＝35， ②
由①②解得a1＝3或－1．]
3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4，5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．]
类型1 等差数列前n项和的有关计算
【例1】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝( )
A．－2 021 B．2 021
C．2 022 D．2 023
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
(1)D (2)BC [(1)设等差数列{an}的公差为d．
∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，
∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2．
则S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023．故选D．
(2)由a1＋a15＝2a8，a1＋a8＋a15为定值，可得a8是定值，S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值，故选BC．]
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．
(2)利用等差数列的性质解题．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)(1)已知等差数列{an}的公差为2，且a20＝29，求这个等差数列前20项的和S20．
(2)求等差数列5，12，19，26，…，201，208的各项之和．
[解] (1)由等差数列的通项公式可得29＝a1＋19×2，由此可解得a1＝－9．因此S20＝＝200．
(2)可以看出，所求数列是公差为7的等差数列．
设共有n项，则208＝5＋(n－1)×7，解得n＝30．因此各项之和为＝3 195．
类型2 等差数列前n项和的性质及应用
【例2】 (1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于( )
A．10 B．100 C．110 D．120
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
[思路引导] 根据题目的条件，灵活的选择等差数列前n项和的性质解题．
(1)B [∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴也是等差数列且首项为＝1．
又－＝2，
∴的公差是1，
∴＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100．]
(2)[解] 法一：在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．
法二：在等差数列中，，，成等差数列，
所以＝＋．
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210．
(3)[解] ＝＝＝＝＝．
[母题探究]
(变结论)在本例(3)条件不变的情况下，求．
[解] 设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt．
则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，
b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t．
∴＝＝．
等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．71
C．99 D．117
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，其中a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，a2＋a4＋…＋a2n＝3，则n的值为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
(1)C (2)A [(1)由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又因为S3＝9，S6＝63，
则解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99．
(2)由a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，得(n＋1)an＋1＝4，由a2＋a4＋…＋a2n＝3，得nan＋1＝3，＝，解得n＝3．]
类型3 求数列{|an|}的前n项和问题
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn．
[思路引导] 先求出通项an，再确定数列中项的正负，去掉绝对值号，利用Sn求解．
[解] a1＝S1＝－×12＋×1＝101，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34．
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0．
(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n．
(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3 502．
故Tn＝
已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定通项公式an；
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负；
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式；
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．
[跟进训练]
3．等差数列{an}的通项公式为an＝3n－23，求数列{|an|}的前n项和．
[解] 因为an＝3n－23，所以a1＝3×1－23＝－20，d＝an－an－1＝3n－23－3(n－1)＋23＝3．令3n－23≥0，得n≥，所以当n≤7时，an<0；当n≥8时，an>0．
因此当n≤7时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－＝－n2＋n；
当n≥8时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋…＋an＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋…＋an＝n2－n＋154．
所以Tn＝
1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn＝20，S2n＝80，则S3n＝( )
A．130 B．180 C．210 D．260
B [在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即20，60，S3n－80成等差数列．∴20＋(S3n－80)＝2×60．
∴S3n＝180．故选B．]
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．
A [∵＝，∴＝＝＝×＝1．故选A．]
3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且＝，则＝________．
[由等差数列前n项和的性质得＝＝＝．]
4．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
75 [因为an＝2n＋1，所以a1＝3．
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列的前n项和公式有几种形式？
[提示] Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn形式．
(2)等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？
[提示] 推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
(3)常用的数列求和公式有哪些？
[提示] 1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
高斯的故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795—1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了．第2课时 等差数列前n项和的最值及应用
学习任务 能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模)
等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时)
Sn＝n2＋n．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
根据公式能否求出等差数列前n项和的最大值或最小值？
知识点1 等差数列前n项和的函数特征
等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值
等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． ①当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． ②当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． ③当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0)
知识点2 等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
－1 [∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．]
2．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最____________(填“大”或“小”)值为____________．
大 26 [由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值．
由得n＝4，
则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26．]
类型1 等差数列前n项和最值问题的判断
【例1】 (多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是( )
A．若S3＝S11，则必有S14＝0
B．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C．若S7>S8，则必有S8>S9
D．若S7>S8，则必有S6>S8
ABC [根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，
S14＝＝7(a7＋a8)＝0，A正确；
根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是＝7，且d<0，那么S7是最大值，B正确；
若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9，C正确；
S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符号不确定，D错误．故选ABC．]
一般地，在等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
[跟进训练]
1．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
ABD [∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0．
∴d<0．
∴S6与S7圴为Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0．
∴S9类型2 等差数列前n项和Sn的最大(小)值
【例2】 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大？
[思路引导] (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．
[解] (1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，
由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，又a17＝0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]
(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d
＝17×25＋d，
解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169．
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，
(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
[解] (1)当n＝1时，有a1＝S1＝－28．
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立，因此数列的通项公式为an＝4n－32.
因为an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4，
所以{an}是等差数列．
(2)法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝－，
又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112.
法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28<0.
令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0.
由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是＝－112.
类型3 等差数列求和的实际应用
【例3】 7月份，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？
[解] (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)．
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
[跟进训练]
3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，
∴在24小时内能构筑成第二道防线．
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B．
C．2 D．3
C [设{an}的公差为d，首项为a1，
由题意得解得]
2．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．5或6 D．11
C [由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，
所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
B [由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n.
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝.
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14.]
4．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有________个座位．
270 [从第1排开始每排座位数形成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.
∴该电影院共有＝270个座位．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
[提示] ①通项法：
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，
其中n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，
则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定．
②二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．
③图象法：借助二次函数的图象的对称性来求解．
(2)应用等差数列解决实际问题的一般思路是什么？
[提示]
